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--- tecnica_costruzioni:cls:sl_dimensionamento_travi_slu [2012/12/15 23:03]
mickele [Formule di progetto in caso di flessione semplice]
+++ tecnica_costruzioni:cls:sl_dimensionamento_travi_slu [2021/06/13 13:09] (versione attuale)
@@ Linea 26: / Linea 26: @@
 La relazione che esprime l'equilibrio a traslazione diventa
-$$\nu = - \beta_1 \, \xi + \kappa \, \omega$$
+$$\nu = - \beta_1 \, \xi + \kappa \, \omega_{0}$$
 Essendo l'elemento da progettare soggetto a sola flessione, l'equazione che esprime l'equilibrio a traslazione diventa
-$$ 0 = - \beta_1 \, \xi + \kappa \, \omega$$
+$$ 0 = - \beta_1 \, \xi + \kappa \, \omega_{0}$$
 $\kappa$ può essere espresso in funzione di $\xi$. Infatti se siamo nel campo 3,
@@ Linea 43: / Linea 43: @@
 Quindi
-$$k =
+$$\kappa =
 \begin{cases}
-\left( \frac{1}{\xi} - 1 \right) \frac{\varepsilon_{cu2}}{\varepsilon_{yd}}  & \left( \frac{1}{\xi} - 1 \right)\varepsilon_{cu2} \le \varepsilon_{yd} \\\\
+\left( \frac{1}{\xi} - 1 \right) \frac{\varepsilon_{cu2}}{\varepsilon_{yd}}  & \left( \frac{1}{\xi} - 1 \right) \le \frac{\varepsilon_{yd}}{\varepsilon_{cu2}} \\\\
-& \left( \frac{1}{\xi} - 1 \right)\varepsilon_{cu2} > \varepsilon_{yd}
+& \left( \frac{1}{\xi} - 1 \right) > \frac{\varepsilon_{yd}}{\varepsilon_{cu2}}
 \end{cases}$$
-Possiamo allora esprimere $\omega$ in funzione di $\xi$ con la relazione
+in cui
-$$ \omega = \frac{\beta_1 \xi}{\kappa} $$
+$$\kappa = \frac{f_{yd}}{E_S} $$
+Possiamo allora esprimere $\omega_0$ in funzione di $\xi$ con la relazione
+$$ \omega_{0} = \frac{\beta_1 \xi}{\kappa} $$
 L'equilibrio a rotazione ci permette di scrivere
@@ Linea 61: / Linea 65: @@
   * momento resistente adimensionale
-$$\mu_d = \frac{M_{Rd}}{b d^2 f_{cd}}$$
+$$\mu_{d,0}= \frac{M_{Rd}}{b d^2 f_{cd}}$$
 arriviamo a scrivere
-$$ \mu_{d} = \beta_1 \xi \left( 1 - \beta_2 \, \xi \right)$$
+$$ \mu_{d,0} = \beta_1 \xi \left( 1 - \beta_2 \, \xi \right)$$
 relazione che lega $\mu_{d}$ a $\xi$
@@ Linea 155: / Linea 159: @@
 Dimensioniamo la sezione in cls imponendo
-$$\mu_{d,lim} = \frac{M^*_{Ed}}{ b \, d^2 \, f_{cd}} $$
+$$\mu_{d,0,lim} = \frac{M^*_{Ed}}{ b \, d^2 \, f_{cd}} $$
-Per l'armatura dovremo sommare all'armatura $\omega_{lim}$ corrispondente a $\mu_{d,lim}$, l'armatura $\Delta \omega$ necessaria per assorbire lo sforzo normale.
+Dovremo sommare all'armatura $\omega_{0,lim}$ corrispondente a $\mu_{d,0,lim}$, l'armatura $\Delta \omega$ necessaria per assorbire lo sforzo normale.
 Per determinare $\Delta \omega$ calcoliamo lo sforzo normale ridotto usando il valore dello sforzo normale agente
@@ Linea 167: / Linea 171: @@
 $$\nu = \kappa \Delta \omega \Longrightarrow \Delta \omega = \frac{\nu}{\kappa}$$
-L'armatura della sezione sarà $\omega_{lim} + \Delta \omega$.
+L'armatura della sezione sarà quindi
+$$\omega = \omega_{0,lim} + \Delta \omega $$
 ===== Sezione doppiamente armata =====
@@ Linea 213: / Linea 220: @@
 $$\mu_{d} = \frac{M_{Ed}}{b \, d^2 \, f_{cd}}$$
-Una quota di tale momento sarà assorbita da una sezione in c.a. con un'armatura $\omega_{lim}$ in zona tesa. La quota rimanente sarà assobita da una sezione ideale costituita da un'armatura tesa $\Delta omega$ ed una compressa $\omega '$
+Una quota di tale momento sarà assorbita da una sezione in c.a. semplicemente armata con armatura $\omega_{0,lim}$ in zona tesa. La quota rimanente sarà assobita da una sezione ideale costituita da un'armatura tesa $\Delta \omega$ ed una compressa $\omega '$.
-$$\mu_{d} = \mu_{d,lim} + \left( 1 - \delta \right) \kappa' \omega'
+In formule scriveremo
-\longrightarrow
-\omega' = \frac{ \mu_{d} - \mu_{d,lim}}{\left( 1 - \delta \right) \kappa'} $$
-Determinata $\omega '$, calcoliamo
+$$\mu_{d} = \mu_{d,0,lim} + \left( 1 - \delta \right) \kappa' \omega'$$
-Per calcolare l'area dell'armatura compressa aggiuntiva
+Con la quale possiamo calcolare l'armatura compressa
+$$\omega' = \frac{ \mu_{d} - \mu_{d,lim}}{\left( 1 - \delta \right) \kappa'} $$
+Determinata $\omega '$, calcoliamo $\Delta \omega$ osservando che, per garantire l'equilibrio a traslazione della sezione finale
+$$\kappa \Delta \omega = \kappa ' \omega'
+\Longrightarrow
+\Delta \omega = \frac{\kappa '}{\kappa} \omega'$$
 === Pressoflessione contenuta ===
-Nel caso la sezione sia soggetta ad un debole sforzo normale (con debole intendiamo che a SLU l'asse neutro continua a tagliare la sezione), ricollochiamo lo sforzo normale ed il momento nel baricentro dell'armatura tesa: $N_{Ed}$ rimarrà invariato, $M_{Ed}$ cambierà.
+Anche per la sezione doppiamente armata in presenza di un debole sforzo normale procediamo a ricollocare lo sforzo normale ed il momento all'altezza dell'armatura tesa.
-Nel caso $M_{Ed}$ sia stato riferito al baricentro della sezione in calcestruzzo, avremo
+Sempre nell'ipotesi che $M_{Ed}$ sia riferito al baricentro della sezione in calcestruzzo, avremo
 $$M^*_{Ed} = M_{Ed} - N_{Ed} \left( d - \frac{h}{2} \right)$$
-Dimensioniamo la sezione in cls imponendo
+cui assoceremo il momento ridotto
-$$\mu_{d,lim} = \frac{M^*_{Ed}}{ b \, d^2 \, f_{cd}} $$
+$$\mu^*_{d} = \frac{M^*_{Ed}}{ b \, d^2 \, f_{cd}} $$
-Per l'armatura dovremo sommare all'armatura $\omega_{lim}$ corrispondente a $\mu_{d,lim}$, l'armatura $\Delta \omega$ necessaria per assorbire lo sforzo normale.
-Per determinare $\Delta \omega$ calcoliamo lo sforzo normale ridotto usando il valore dello sforzo normale agente
+Per l'equilibrio a rotazione avremo
-$$\nu = \frac{N_{Ed}}{b \, d \, f_{cd}}$$
+$$M^*_{Ed} = \beta_1 \, b \, x \, f_{cd} \left( d - \beta_2 x\right) + \left( d - d' \right) \sigma'_s \, A'_{sl}$$
+Analogamente a quanto visto sopra, assorbiremo tale momento sommando due sezioni: una sezione in c.a. semplicemente armata con aramtua $\omega_0$ ed una sezione composta da due armature, una compressa $\omega'$ ed una tesa $\Delta omega_1$.
+Adimensionalmente scriviamo
+$$\mu_d = \beta_1 \, \xi \left( 1 - \beta_2 \xi \right) + \left( 1 - \delta \right) \kappa ' \omega'$$
+$$\beta_1 \, \xi \left( 1 - \beta_2 \xi \right)$$ sarà assorbito dalla sezione semplicemente armata, secondo quanto visto sopra. La differenza $\mu_d - \mu_{d,0,lim}$ sarà assorbita dalla sezione fittizia composta dalle due armature
+$$\omega' = \frac{\mu_d - \mu_{d,0,lim}}{\left( 1 - \delta \right) \kappa ' } $$
+Dovremo aggiungere infine un ulteriore armatura in zona tesa per assorbire lo sforzo normale ricollocatovi
 Imponendo l'equilibrio a traslazione, troviamo
-$$\nu = \kappa \Delta \omega \Longrightarrow \Delta \omega = \frac{\nu}{\kappa}$$
+$$\nu = \kappa \Delta \omega_2 \Longrightarrow \Delta \omega_2 = \frac{\nu}{\kappa}$$
+L'armatura finale della sezione in zona tesa sarà data dalla somma
-L'armatura della sezione sarà $\omega_{lim} + \Delta \omega$.
+$$\omega = \omega_{0,lim} + \Delta \omega_1  + \Delta \omega_2$$

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