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--- tecnica_costruzioni:cls:sl_dimensionamento_travi_slu [2012/12/15 19:33]
mickele [Analisi adimensionale della sezione a SLU]
+++ tecnica_costruzioni:cls:sl_dimensionamento_travi_slu [2021/06/13 13:09] (versione attuale)
@@ Linea 26: / Linea 26: @@
 La relazione che esprime l'equilibrio a traslazione diventa
-$$\nu = - \beta_1 \, \xi + \kappa \, \omega$$
+$$\nu = - \beta_1 \, \xi + \kappa \, \omega_{0}$$
 Essendo l'elemento da progettare soggetto a sola flessione, l'equazione che esprime l'equilibrio a traslazione diventa
-$$ 0 = - \beta_1 \, \xi + \kappa \, \omega$$
+$$ 0 = - \beta_1 \, \xi + \kappa \, \omega_{0}$$
-$k$ può essere espresso in funzione di $\xi$. Infatti se siamo nel campo 3,
+$\kappa$ può essere espresso in funzione di $\xi$. Infatti se siamo nel campo 3,
 $$ \frac{\varepsilon_{cu2}}{x} = \frac{\varepsilon_s}{d - x} \Longrightarrow
@@ Linea 43: / Linea 43: @@
 Quindi
-$$k =
+$$\kappa =
 \begin{cases}
-\left( \frac{1}{\xi} - 1 \right) \frac{\varepsilon_{cu2}}{\varepsilon_{yd}}  & \left( \frac{1}{\xi} - 1 \right)\varepsilon_{cu2} \le \varepsilon_{yd} \\\\
+\left( \frac{1}{\xi} - 1 \right) \frac{\varepsilon_{cu2}}{\varepsilon_{yd}}  & \left( \frac{1}{\xi} - 1 \right) \le \frac{\varepsilon_{yd}}{\varepsilon_{cu2}} \\\\
-& \left( \frac{1}{\xi} - 1 \right)\varepsilon_{cu2} > \varepsilon_{yd}
+& \left( \frac{1}{\xi} - 1 \right) > \frac{\varepsilon_{yd}}{\varepsilon_{cu2}}
 \end{cases}$$
-Possiamo allora esprimere $\omega$ in funzione di $\xi$ con la relazione
+in cui
-$$ \omega = \frac{\beta_1 \xi}{\kappa} $$
+$$\kappa = \frac{f_{yd}}{E_S} $$
+Possiamo allora esprimere $\omega_0$ in funzione di $\xi$ con la relazione
+$$ \omega_{0} = \frac{\beta_1 \xi}{\kappa} $$
 L'equilibrio a rotazione ci permette di scrivere
@@ Linea 61: / Linea 65: @@
   * momento resistente adimensionale
-$$\mu_d = \frac{M_{Rd}}{b d^2 f_{cd}}$$
+$$\mu_{d,0}= \frac{M_{Rd}}{b d^2 f_{cd}}$$
 arriviamo a scrivere
-$$ \mu_{d} = \beta_1 \xi \left( 1 - \beta_2 \, \xi \right)$$
+$$ \mu_{d,0} = \beta_1 \xi \left( 1 - \beta_2 \, \xi \right)$$
 relazione che lega $\mu_{d}$ a $\xi$
@@ Linea 71: / Linea 75: @@
 Possiamo allora scrivere una tabella in cui, in funzione dell'altezza utile adimensionale $\xi$, abbiamo i corrispondenti valori della percentuale meccanica di armatura $\omega$ e del momento resistente adimensionale $\mu_d$
-^  $\xi$  ^  $\mu_d$  ^  $\kappa$  ^  $\omega$  ^
+^  $\xi$  ^  $\kappa$  ^  $\mu_{d,0}$  ^  $\omega_{0}$  ^
-|  0,05  |  0,0396343537  |  1  |  0,0404761905  |
+|  0,05  |  1  |  0,0396343537  |  0,0404761905  |
-|  0,06  |  0,0473591837  |  1  |  0,0485714286  |
+|  0,06  |  1  |  0,0473591837  |  0,0485714286  |
-|  0,07  |  0,0550166667  |  1  |  0,0566666667  |
+|  0,07  |  1  |  0,0550166667  |  0,0566666667  |
-|  0,08  |  0,0626068027  |  1  |  0,0647619048  |
+|  0,08  |  1  |  0,0626068027  |  0,0647619048  |
-|  0,09  |  0,0701295918  |  1  |  0,0728571429  |
+|  0,09  |  1  |  0,0701295918  |  0,0728571429  |
-|  0,1  |  0,077585034  |  1  |  0,080952381  |
+|  0,10  |  1  |  0,077585034  |  0,080952381  |
-|  0,11  |  0,0849731293  |  1  |  0,089047619  |
+|  0,11  |  1  |  0,0849731293  |  0,089047619  |
-|  0,12  |  0,0922938776  |  1  |  0,0971428571  |
+|  0,12  |  1  |  0,0922938776  |  0,0971428571  |
-|  0,13  |  0,0995472789  |  1  |  0,1052380952  |
+|  0,13  |  1  |  0,0995472789  |  0,1052380952  |
-|  0,14  |  0,1067333333  |  1  |  0,1133333333  |
+|  0,14  |  1  |  0,1067333333  |  0,1133333333  |
-|  0,15  |  0,1138520408  |  1  |  0,1214285714  |
+|  0,15  |  1  |  0,1138520408  |  0,1214285714  |
-|  0,16  |  0,1209034014  |  1  |  0,1295238095  |
+|  0,16  |  1  |  0,1209034014  |  0,1295238095  |
-|  0,17  |  0,127887415  |  1  |  0,1376190476  |
+|  0,17  |  1  |  0,127887415  |  0,1376190476  |
-|  0,18  |  0,1348040816  |  1  |  0,1457142857  |
+|  0,18  |  1  |  0,1348040816  |  0,1457142857  |
-|  0,19  |  0,1416534014  |  1  |  0,1538095238  |
+|  0,19  |  1  |  0,1416534014  |  0,1538095238  |
-|  0,2  |  0,1484353741  |  1  |  0,1619047619  |
+|  0,20  |  1  |  0,1484353741  |  0,1619047619  |
-|  0,21  |  0,15515  |  1  |  0,17  |
+|  0,21  |  1  |  0,15515  |  0,17  |
-|  0,22  |  0,1617972789  |  1  |  0,1780952381  |
+|  0,22  |  1  |  0,1617972789  |  0,1780952381  |
-|  0,23  |  0,1683772109  |  1  |  0,1861904762  |
+|  0,23  |  1  |  0,1683772109  |  0,1861904762  |
-|  0,24  |  0,1748897959  |  1  |  0,1942857143  |
+|  0,24  |  1  |  0,1748897959  |  0,1942857143  |
-|  0,25  |  0,181335034  |  1  |  0,2023809524  |
+|  0,25  |  1  |  0,181335034  |  0,2023809524  |
-|  0,26  |  0,1877129252  |  1  |  0,2104761905  |
+|  0,26  |  1  |  0,1877129252  |  0,2104761905  |
-|  0,27  |  0,1940234694  |  1  |  0,2185714286  |
+|  0,27  |  1  |  0,1940234694  |  0,2185714286  |
-|  0,28  |  0,2002666667  |  1  |  0,2266666667  |
+|  0,28  |  1  |  0,2002666667  |  0,2266666667  |
-|  0,29  |  0,206442517  |  1  |  0,2347619048  |
+|  0,29  |  1  |  0,206442517  |  0,2347619048  |
-|  0,3  |  0,2125510204  |  1  |  0,2428571429  |
+|  0,30  |  1  |  0,2125510204  |  0,2428571429  |
-|  0,31  |  0,2185921769  |  1  |  0,250952381  |
+|  0,31  |  1  |  0,2185921769  |  0,250952381  |
-|  0,32  |  0,2245659864  |  1  |  0,259047619  |
+|  0,32  |  1  |  0,2245659864  |  0,259047619  |
-|  0,33  |  0,230472449  |  1  |  0,2671428571  |
+|  0,33  |  1  |  0,230472449  |  0,2671428571  |
-|  0,34  |  0,2363115646  |  1  |  0,2752380952  |
+|  0,34  |  1  |  0,2363115646  |  0,2752380952  |
-|  0,35  |  0,2420833333  |  1  |  0,2833333333  |
+|  0,35  |  1  |  0,2420833333  |  0,2833333333  |
-|  0,36  |  0,2477877551  |  1  |  0,2914285714  |
+|  0,36  |  1  |  0,2477877551  |  0,2914285714  |
-|  0,37  |  0,2534248299  |  1  |  0,2995238095  |
+|  0,37  |  1  |  0,2534248299  |  0,2995238095  |
-|  0,38  |  0,2589945578  |  1  |  0,3076190476  |
+|  0,38  |  1  |  0,2589945578  |  0,3076190476  |
-|  0,39  |  0,2644969388  |  1  |  0,3157142857  |
+|  0,39  |  1  |  0,2644969388  |  0,3157142857  |
-|  0,4  |  0,2699319728  |  1  |  0,3238095238  |
+|  0,40  |  1  |  0,2699319728  |  0,3238095238  |
-|  0,41  |  0,2752996599  |  1  |  0,3319047619  |
+|  0,41  |  1  |  0,2752996599  |  0,3319047619  |
-|  0,42  |  0,2806  |  1  |  0,34  |
+|  0,42  |  1  |  0,2806  |  0,34  |
-|  0,43  |  0,2858329932  |  1  |  0,3480952381  |
+|  0,43  |  1  |  0,2858329932  |  0,3480952381  |
-|  0,44  |  0,2909986395  |  1  |  0,3561904762  |
+|  0,44  |  1  |  0,2909986395  |  0,3561904762  |
-|  0,45  |  0,2960969388  |  1  |  0,3642857143  |
+|  0,45  |  1  |  0,2960969388  |  0,3642857143  |
-|  0,46  |  0,3011278912  |  1  |  0,3723809524  |
+|  0,46  |  1  |  0,3011278912  |  0,3723809524  |
-|  0,47  |  0,3060914966  |  1  |  0,3804761905  |
+|  0,47  |  1  |  0,3060914966  |  0,3804761905  |
-|  0,48  |  0,3109877551  |  1  |  0,3885714286  |
+|  0,48  |  1  |  0,3109877551  |  0,3885714286  |
-|  0,49  |  0,3158166667  |  1  |  0,3966666667  |
+|  0,49  |  1  |  0,3158166667  |  0,3966666667  |
-|  0,5  |  0,3205782313  |  1  |  0,4047619048  |
+|  0,50  |  1  |  0,3205782313  |  0,4047619048  |
-|  0,51  |  0,325272449  |  1  |  0,4128571429  |
+|  0,51  |  1  |  0,325272449  |  0,4128571429  |
-|  0,52  |  0,3298993197  |  1  |  0,420952381  |
+|  0,52  |  1  |  0,3298993197  |  0,420952381  |
-|  0,53  |  0,3344588435  |  1  |  0,429047619  |
+|  0,53  |  1  |  0,3344588435  |  0,429047619  |
-|  0,54  |  0,3389510204  |  1  |  0,4371428571  |
+|  0,54  |  1  |  0,3389510204  |  0,4371428571  |
-|  0,55  |  0,3433758503  |  1  |  0,4452380952  |
+|  0,55  |  1  |  0,3433758503  |  0,4452380952  |
-|  0,56  |  0,3477333333  |  1  |  0,4533333333  |
+|  0,56  |  1  |  0,3477333333  |  0,4533333333  |
-|  0,57  |  0,3520234694  |  1  |  0,4614285714  |
+|  0,57  |  1  |  0,3520234694  |  0,4614285714  |
-|  0,58  |  0,3562462585  |  1  |  0,4695238095  |
+|  0,58  |  1  |  0,3562462585  |  0,4695238095  |
-|  0,59  |  0,3604017007  |  1  |  0,4776190476  |
+|  0,59  |  1  |  0,3604017007  |  0,4776190476  |
-|  0,6  |  0,3644897959  |  1  |  0,4857142857  |
+|  0,60  |  1  |  0,3644897959  |  0,4857142857  |
-|  0,61  |  0,3685105442  |  1  |  0,4938095238  |
+|  0,61  |  1  |  0,3685105442  |  0,4938095238  |
-|  0,62  |  0,3724639456  |  1  |  0,5019047619  |
+|  0,62  |  1  |  0,3724639456  |  0,5019047619  |
-|  0,63  |  0,37635  |  1  |  0,51  |
+|  0,63  |  1  |  0,37635  |  0,51  |
-|  0,64  |  0,3801687075  |  1  |  0,5180952381  |
+|  0,64  |  1  |  0,3801687075  |  0,5180952381  |
-|  0,65  |  0,383920068  |  0,9632478632  |  0,546266954  |
+|  0,65  |   0,9632478632  |  0,383920068  |   0,546266954  |
 ==== Formule di progetto in caso di flessione semplice ====
@@ Linea 138: / Linea 142: @@
 === Flessione semplice ===
-In fase di dimensionamento fissiamo un valore di $\xi$. Per garantire un comportamento duttile dovremo avere $\xi \le 0,45$. Imponendo $\xi = 0,45$ abbiamo $\mu_{d,lim} = 0,296$ e $\omega_{lim} = 0,364$.
+In fase di dimensionamento fissiamo un valore di $\xi$. Per garantire un comportamento duttile dovremo avere $\xi \le 0,45$. Imponendo $\xi = 0,45$ abbiamo $\mu_{d,0,lim} = 0,296$ e $\omega_{0,lim} = 0,364$.
 Con tali valori possiamo procedere al dimensionamento della nostra sezione, imponendo
-$$\mu_{d,lim} = \frac{M_{Ed}}{b \, d^2 \, f_{cd}}$$
+$$\mu_{d,0,lim} = \frac{M_{Ed}}{b \, d^2 \, f_{cd}}$$
@@ Linea 155: / Linea 159: @@
 Dimensioniamo la sezione in cls imponendo
-$$\mu_{d,lim} = \frac{M^*_{Ed}}{ b \, d^2 \, f_{cd}} $$
+$$\mu_{d,0,lim} = \frac{M^*_{Ed}}{ b \, d^2 \, f_{cd}} $$
-Per l'armatura dovremo sommare all'armatura $\omega_{lim}$ corrispondente a $\mu_{d,lim}$, l'armatura $\Delta \omega$ necessaria per assorbire lo sforzo normale.
+Dovremo sommare all'armatura $\omega_{0,lim}$ corrispondente a $\mu_{d,0,lim}$, l'armatura $\Delta \omega$ necessaria per assorbire lo sforzo normale.
 Per determinare $\Delta \omega$ calcoliamo lo sforzo normale ridotto usando il valore dello sforzo normale agente
@@ Linea 167: / Linea 171: @@
 $$\nu = \kappa \Delta \omega \Longrightarrow \Delta \omega = \frac{\nu}{\kappa}$$
-L'armatura della sezione sarà $\omega_{lim} + \Delta \omega$.
+L'armatura della sezione sarà quindi
+$$\omega = \omega_{0,lim} + \Delta \omega $$
 ===== Sezione doppiamente armata =====
+$$N_{Ed} = - \beta_1 \, b \, x \, f_{cd} + \sigma_s \, A_{sl} - \sigma'_s \, A'_{sl} $$
+  * percentuale meccanica di armatura compressa
+$$\omega' = \frac{A'_{sl} \, f_{yd}}{b \, d \, f_{cd}}$$
+  * rapporto di tensione dell'armatura compressa
+$$\kappa' = \frac{\sigma'_s}{f_{yd}}$$
+  * copriferro adimensionale dell'armatura compressa
+  $$\delta = \frac{d'}{d} $$
+La relazione che esprime l'equilibrio a traslazione diventa
+$$\nu = - \beta_1 \, \xi + \kappa \, \omega - \kappa' \, \omega'$$
+Anche in questo caso $\kappa'$ può essere espresso in funzione di $\xi$. Infatti, se siamo nel campo 3,
+$$ \frac{\varepsilon_{cu2}}{x} = \frac{\varepsilon'_s}{x - d'} \Longrightarrow
+\epsilon'_s = \left( 1 - \frac{d'}{x} \right)\varepsilon_{cu2}$$
+da cui
+$$\epsilon'_s = \left( 1 - \frac{\delta}{\xi} \right)\varepsilon_{cu2}$$
+Quindi
+$$\kappa' =
+\begin{cases}
+\left( 1 - \frac{\delta}{\xi} \right) \frac{\varepsilon_{cu2}}{\varepsilon_{yd}}  & \left( 1 - \frac{\delta}{\xi} \right)\varepsilon_{cu2} \le \varepsilon_{yd} \\\\
+& \left( 1 - \frac{\delta}{\xi} \right)\varepsilon_{cu2} > \varepsilon_{yd}
+\end{cases}$$
+L'analisi dell'equilibrio a rotazione calcoato rispetto al baricentro dell'armatura tesa ci permette di scrivere
 $$\mu_d = \beta_1 \xi \left( 1 - \xi \right) +  \left( 1 - \delta \right) \kappa ' \omega '$$
+==== Formule di progetto in caso di flessione semplice ====
+=== Flessione semplice ===
+Calcoliamo il momento agente ridotto
+$$\mu_{d} = \frac{M_{Ed}}{b \, d^2 \, f_{cd}}$$
+Una quota di tale momento sarà assorbita da una sezione in c.a. semplicemente armata con armatura $\omega_{0,lim}$ in zona tesa. La quota rimanente sarà assobita da una sezione ideale costituita da un'armatura tesa $\Delta \omega$ ed una compressa $\omega '$.
+In formule scriveremo
+$$\mu_{d} = \mu_{d,0,lim} + \left( 1 - \delta \right) \kappa' \omega'$$
+Con la quale possiamo calcolare l'armatura compressa
+$$\omega' = \frac{ \mu_{d} - \mu_{d,lim}}{\left( 1 - \delta \right) \kappa'} $$
+Determinata $\omega '$, calcoliamo $\Delta \omega$ osservando che, per garantire l'equilibrio a traslazione della sezione finale
+$$\kappa \Delta \omega = \kappa ' \omega'
+\Longrightarrow
+\Delta \omega = \frac{\kappa '}{\kappa} \omega'$$
+=== Pressoflessione contenuta ===
+Anche per la sezione doppiamente armata in presenza di un debole sforzo normale procediamo a ricollocare lo sforzo normale ed il momento all'altezza dell'armatura tesa.
+Sempre nell'ipotesi che $M_{Ed}$ sia riferito al baricentro della sezione in calcestruzzo, avremo
+$$M^*_{Ed} = M_{Ed} - N_{Ed} \left( d - \frac{h}{2} \right)$$
+cui assoceremo il momento ridotto
+$$\mu^*_{d} = \frac{M^*_{Ed}}{ b \, d^2 \, f_{cd}} $$
+Per l'equilibrio a rotazione avremo
+$$M^*_{Ed} = \beta_1 \, b \, x \, f_{cd} \left( d - \beta_2 x\right) + \left( d - d' \right) \sigma'_s \, A'_{sl}$$
+Analogamente a quanto visto sopra, assorbiremo tale momento sommando due sezioni: una sezione in c.a. semplicemente armata con aramtua $\omega_0$ ed una sezione composta da due armature, una compressa $\omega'$ ed una tesa $\Delta omega_1$.
+Adimensionalmente scriviamo
+$$\mu_d = \beta_1 \, \xi \left( 1 - \beta_2 \xi \right) + \left( 1 - \delta \right) \kappa ' \omega'$$
+$$\beta_1 \, \xi \left( 1 - \beta_2 \xi \right)$$ sarà assorbito dalla sezione semplicemente armata, secondo quanto visto sopra. La differenza $\mu_d - \mu_{d,0,lim}$ sarà assorbita dalla sezione fittizia composta dalle due armature
+$$\omega' = \frac{\mu_d - \mu_{d,0,lim}}{\left( 1 - \delta \right) \kappa ' } $$
+Dovremo aggiungere infine un ulteriore armatura in zona tesa per assorbire lo sforzo normale ricollocatovi
+Imponendo l'equilibrio a traslazione, troviamo
+$$\nu = \kappa \Delta \omega_2 \Longrightarrow \Delta \omega_2 = \frac{\nu}{\kappa}$$
+L'armatura finale della sezione in zona tesa sarà data dalla somma
+$$\omega = \omega_{0,lim} + \Delta \omega_1  + \Delta \omega_2$$

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