====== Dimensionamento di elementi inflessi a Stato Limite Ultimo ======

===== Sezione semplicemente armata =====

==== Analisi adimensionale della sezione a SLU ====

Consideriamo una sezione rettangolare di base $b$ e altezza utile $d$, con un armatura $A_{sl}$ disposta inferiormente.

Essendo l'elemento da progettare soggetto a sola flessione,

$$N_{Ed} = - \beta_1 \, b \, x \, f_{cd} + \sigma_s \, A_{sl}$$

Dividiamo primo e secondo membro per $b \, d \, f_{cd}$ e introduciamo le grandezze adimensionali

  * altezza adimensionale dell'asse neutro 
$$\xi = \frac{x}{d}$$

  * percentuale meccanica di armatura
$$\omega = \frac{A_{sl} \, f_{yd}}{b \, d \, f_{cd}}$$

$$\kappa = \frac{\sigma_s}{f_{yd}}$$

  * sforzo normale ridotto
$$\nu = \frac{N_Ed}{b \, d \, f_{cd}}$$

La relazione che esprime l'equilibrio a traslazione diventa

$$\nu = - \beta_1 \, \xi + \kappa \, \omega_{0}$$

Essendo l'elemento da progettare soggetto a sola flessione, l'equazione che esprime l'equilibrio a traslazione diventa

$$ 0 = - \beta_1 \, \xi + \kappa \, \omega_{0}$$

$\kappa$ può essere espresso in funzione di $\xi$. Infatti se siamo nel campo 3,

$$ \frac{\varepsilon_{cu2}}{x} = \frac{\varepsilon_s}{d - x} \Longrightarrow
\epsilon_s = \left( \frac{d}{x} - 1 \right)\varepsilon_{cu2}$$

da cui

$$\epsilon_s = \left( \frac{1}{\xi} - 1 \right)\varepsilon_{cu2}$$

Quindi

$$\kappa = 
\begin{cases}
\left( \frac{1}{\xi} - 1 \right) \frac{\varepsilon_{cu2}}{\varepsilon_{yd}}  & \left( \frac{1}{\xi} - 1 \right) \le \frac{\varepsilon_{yd}}{\varepsilon_{cu2}} \\\\
1 & \left( \frac{1}{\xi} - 1 \right) > \frac{\varepsilon_{yd}}{\varepsilon_{cu2}}
\end{cases}$$

in cui

$$\kappa = \frac{f_{yd}}{E_S} $$

Possiamo allora esprimere $\omega_0$ in funzione di $\xi$ con la relazione

$$ \omega_{0} = \frac{\beta_1 \xi}{\kappa} $$

L'equilibrio a rotazione ci permette di scrivere

$$ M_{Rd} = \beta_1 \, b \, x \, f_{cd} \left( d - \beta_2 \, x \right)$$

Dividendo anche stavola per $b \, d \, f_{cd}$ e introducendo la grandezza adimensionale

  * momento resistente adimensionale
 
$$\mu_{d,0}= \frac{M_{Rd}}{b d^2 f_{cd}}$$

arriviamo a scrivere

$$ \mu_{d,0} = \beta_1 \xi \left( 1 - \beta_2 \, \xi \right)$$

relazione che lega $\mu_{d}$ a $\xi$

Possiamo allora scrivere una tabella in cui, in funzione dell'altezza utile adimensionale $\xi$, abbiamo i corrispondenti valori della percentuale meccanica di armatura $\omega$ e del momento resistente adimensionale $\mu_d$

^  $\xi$  ^  $\kappa$  ^  $\mu_{d,0}$  ^  $\omega_{0}$  ^
|  0,05  |  1  |  0,0396343537  |  0,0404761905  |
|  0,06  |  1  |  0,0473591837  |  0,0485714286  |
|  0,07  |  1  |  0,0550166667  |  0,0566666667  |
|  0,08  |  1  |  0,0626068027  |  0,0647619048  |
|  0,09  |  1  |  0,0701295918  |  0,0728571429  |
|  0,10  |  1  |  0,077585034  |  0,080952381  |
|  0,11  |  1  |  0,0849731293  |  0,089047619  |
|  0,12  |  1  |  0,0922938776  |  0,0971428571  |
|  0,13  |  1  |  0,0995472789  |  0,1052380952  |
|  0,14  |  1  |  0,1067333333  |  0,1133333333  |
|  0,15  |  1  |  0,1138520408  |  0,1214285714  |
|  0,16  |  1  |  0,1209034014  |  0,1295238095  |
|  0,17  |  1  |  0,127887415  |  0,1376190476  |
|  0,18  |  1  |  0,1348040816  |  0,1457142857  |
|  0,19  |  1  |  0,1416534014  |  0,1538095238  |
|  0,20  |  1  |  0,1484353741  |  0,1619047619  |
|  0,21  |  1  |  0,15515  |  0,17  |
|  0,22  |  1  |  0,1617972789  |  0,1780952381  |
|  0,23  |  1  |  0,1683772109  |  0,1861904762  |
|  0,24  |  1  |  0,1748897959  |  0,1942857143  |
|  0,25  |  1  |  0,181335034  |  0,2023809524  |
|  0,26  |  1  |  0,1877129252  |  0,2104761905  |
|  0,27  |  1  |  0,1940234694  |  0,2185714286  |
|  0,28  |  1  |  0,2002666667  |  0,2266666667  |
|  0,29  |  1  |  0,206442517  |  0,2347619048  |
|  0,30  |  1  |  0,2125510204  |  0,2428571429  |
|  0,31  |  1  |  0,2185921769  |  0,250952381  |
|  0,32  |  1  |  0,2245659864  |  0,259047619  |
|  0,33  |  1  |  0,230472449  |  0,2671428571  |
|  0,34  |  1  |  0,2363115646  |  0,2752380952  |
|  0,35  |  1  |  0,2420833333  |  0,2833333333  |
|  0,36  |  1  |  0,2477877551  |  0,2914285714  |
|  0,37  |  1  |  0,2534248299  |  0,2995238095  |
|  0,38  |  1  |  0,2589945578  |  0,3076190476  |
|  0,39  |  1  |  0,2644969388  |  0,3157142857  |
|  0,40  |  1  |  0,2699319728  |  0,3238095238  |
|  0,41  |  1  |  0,2752996599  |  0,3319047619  |
|  0,42  |  1  |  0,2806  |  0,34  |
|  0,43  |  1  |  0,2858329932  |  0,3480952381  |
|  0,44  |  1  |  0,2909986395  |  0,3561904762  |
|  0,45  |  1  |  0,2960969388  |  0,3642857143  |
|  0,46  |  1  |  0,3011278912  |  0,3723809524  |
|  0,47  |  1  |  0,3060914966  |  0,3804761905  |
|  0,48  |  1  |  0,3109877551  |  0,3885714286  |
|  0,49  |  1  |  0,3158166667  |  0,3966666667  |
|  0,50  |  1  |  0,3205782313  |  0,4047619048  |
|  0,51  |  1  |  0,325272449  |  0,4128571429  |
|  0,52  |  1  |  0,3298993197  |  0,420952381  |
|  0,53  |  1  |  0,3344588435  |  0,429047619  |
|  0,54  |  1  |  0,3389510204  |  0,4371428571  |
|  0,55  |  1  |  0,3433758503  |  0,4452380952  |
|  0,56  |  1  |  0,3477333333  |  0,4533333333  |
|  0,57  |  1  |  0,3520234694  |  0,4614285714  |
|  0,58  |  1  |  0,3562462585  |  0,4695238095  |
|  0,59  |  1  |  0,3604017007  |  0,4776190476  |
|  0,60  |  1  |  0,3644897959  |  0,4857142857  |
|  0,61  |  1  |  0,3685105442  |  0,4938095238  |
|  0,62  |  1  |  0,3724639456  |  0,5019047619  |
|  0,63  |  1  |  0,37635  |  0,51  |
|  0,64  |  1  |  0,3801687075  |  0,5180952381  |
|  0,65  |   0,9632478632  |  0,383920068  |   0,546266954  |

==== Formule di progetto in caso di flessione semplice ====

=== Flessione semplice ===

In fase di dimensionamento fissiamo un valore di $\xi$. Per garantire un comportamento duttile dovremo avere $\xi \le 0,45$. Imponendo $\xi = 0,45$ abbiamo $\mu_{d,0,lim} = 0,296$ e $\omega_{0,lim} = 0,364$. 

Con tali valori possiamo procedere al dimensionamento della nostra sezione, imponendo

$$\mu_{d,0,lim} = \frac{M_{Ed}}{b \, d^2 \, f_{cd}}$$


=== Pressoflessione contenuta ===

Nel caso la sezione sia soggetta ad un debole sforzo normale (con debole intendiamo che a SLU l'asse neutro continua a tagliare la sezione), ricollochiamo lo sforzo normale ed il momento nel baricentro dell'armatura tesa: $N_{Ed}$ rimarrà invariato, $M_{Ed}$ cambierà. 

Nel caso $M_{Ed}$ sia stato riferito al baricentro della sezione in calcestruzzo, avremo

$$M^*_{Ed} = M_{Ed} - N_{Ed} \left( d - \frac{h}{2} \right)$$

Dimensioniamo la sezione in cls imponendo

$$\mu_{d,0,lim} = \frac{M^*_{Ed}}{ b \, d^2 \, f_{cd}} $$

Dovremo sommare all'armatura $\omega_{0,lim}$ corrispondente a $\mu_{d,0,lim}$, l'armatura $\Delta \omega$ necessaria per assorbire lo sforzo normale.

Per determinare $\Delta \omega$ calcoliamo lo sforzo normale ridotto usando il valore dello sforzo normale agente

$$\nu = \frac{N_{Ed}}{b \, d \, f_{cd}}$$

Imponendo l'equilibrio a traslazione, troviamo

$$\nu = \kappa \Delta \omega \Longrightarrow \Delta \omega = \frac{\nu}{\kappa}$$

L'armatura della sezione sarà quindi

$$\omega = \omega_{0,lim} + \Delta \omega $$

===== Sezione doppiamente armata =====

$$N_{Ed} = - \beta_1 \, b \, x \, f_{cd} + \sigma_s \, A_{sl} - \sigma'_s \, A'_{sl} $$

  * percentuale meccanica di armatura compressa
$$\omega' = \frac{A'_{sl} \, f_{yd}}{b \, d \, f_{cd}}$$

  * rapporto di tensione dell'armatura compressa
$$\kappa' = \frac{\sigma'_s}{f_{yd}}$$

  * copriferro adimensionale dell'armatura compressa
  $$\delta = \frac{d'}{d} $$
La relazione che esprime l'equilibrio a traslazione diventa

$$\nu = - \beta_1 \, \xi + \kappa \, \omega - \kappa' \, \omega'$$

Anche in questo caso $\kappa'$ può essere espresso in funzione di $\xi$. Infatti, se siamo nel campo 3,

$$ \frac{\varepsilon_{cu2}}{x} = \frac{\varepsilon'_s}{x - d'} \Longrightarrow
\epsilon'_s = \left( 1 - \frac{d'}{x} \right)\varepsilon_{cu2}$$

da cui

$$\epsilon'_s = \left( 1 - \frac{\delta}{\xi} \right)\varepsilon_{cu2}$$

Quindi

$$\kappa' = 
\begin{cases}
\left( 1 - \frac{\delta}{\xi} \right) \frac{\varepsilon_{cu2}}{\varepsilon_{yd}}  & \left( 1 - \frac{\delta}{\xi} \right)\varepsilon_{cu2} \le \varepsilon_{yd} \\\\
1 & \left( 1 - \frac{\delta}{\xi} \right)\varepsilon_{cu2} > \varepsilon_{yd}
\end{cases}$$

L'analisi dell'equilibrio a rotazione calcoato rispetto al baricentro dell'armatura tesa ci permette di scrivere

$$\mu_d = \beta_1 \xi \left( 1 - \xi \right) +  \left( 1 - \delta \right) \kappa ' \omega '$$

==== Formule di progetto in caso di flessione semplice ====

=== Flessione semplice ===

Calcoliamo il momento agente ridotto

$$\mu_{d} = \frac{M_{Ed}}{b \, d^2 \, f_{cd}}$$

Una quota di tale momento sarà assorbita da una sezione in c.a. semplicemente armata con armatura $\omega_{0,lim}$ in zona tesa. La quota rimanente sarà assobita da una sezione ideale costituita da un'armatura tesa $\Delta \omega$ ed una compressa $\omega '$.

In formule scriveremo

$$\mu_{d} = \mu_{d,0,lim} + \left( 1 - \delta \right) \kappa' \omega'$$

Con la quale possiamo calcolare l'armatura compressa 

$$\omega' = \frac{ \mu_{d} - \mu_{d,lim}}{\left( 1 - \delta \right) \kappa'} $$

Determinata $\omega '$, calcoliamo $\Delta \omega$ osservando che, per garantire l'equilibrio a traslazione della sezione finale

$$\kappa \Delta \omega = \kappa ' \omega' 
\Longrightarrow
\Delta \omega = \frac{\kappa '}{\kappa} \omega'$$


=== Pressoflessione contenuta ===

Anche per la sezione doppiamente armata in presenza di un debole sforzo normale procediamo a ricollocare lo sforzo normale ed il momento all'altezza dell'armatura tesa. 

Sempre nell'ipotesi che $M_{Ed}$ sia riferito al baricentro della sezione in calcestruzzo, avremo

$$M^*_{Ed} = M_{Ed} - N_{Ed} \left( d - \frac{h}{2} \right)$$

cui assoceremo il momento ridotto

$$\mu^*_{d} = \frac{M^*_{Ed}}{ b \, d^2 \, f_{cd}} $$


Per l'equilibrio a rotazione avremo

$$M^*_{Ed} = \beta_1 \, b \, x \, f_{cd} \left( d - \beta_2 x\right) + \left( d - d' \right) \sigma'_s \, A'_{sl}$$

Analogamente a quanto visto sopra, assorbiremo tale momento sommando due sezioni: una sezione in c.a. semplicemente armata con aramtua $\omega_0$ ed una sezione composta da due armature, una compressa $\omega'$ ed una tesa $\Delta omega_1$.

Adimensionalmente scriviamo

$$\mu_d = \beta_1 \, \xi \left( 1 - \beta_2 \xi \right) + \left( 1 - \delta \right) \kappa ' \omega'$$

$$\beta_1 \, \xi \left( 1 - \beta_2 \xi \right)$$ sarà assorbito dalla sezione semplicemente armata, secondo quanto visto sopra. La differenza $\mu_d - \mu_{d,0,lim}$ sarà assorbita dalla sezione fittizia composta dalle due armature

$$\omega' = \frac{\mu_d - \mu_{d,0,lim}}{\left( 1 - \delta \right) \kappa ' } $$

Dovremo aggiungere infine un ulteriore armatura in zona tesa per assorbire lo sforzo normale ricollocatovi

Imponendo l'equilibrio a traslazione, troviamo

$$\nu = \kappa \Delta \omega_2 \Longrightarrow \Delta \omega_2 = \frac{\nu}{\kappa}$$

L'armatura finale della sezione in zona tesa sarà data dalla somma

$$\omega = \omega_{0,lim} + \Delta \omega_1  + \Delta \omega_2$$