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tecnica_costruzioni:cls:sl_dimensionamento_travi

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tecnica_costruzioni:cls:sl_dimensionamento_travi [2013/07/11 05:29]
mickele 		tecnica_costruzioni:cls:sl_dimensionamento_travi [2021/06/13 13:09] (versione attuale)
Linea 62: Linea 62:
 che diventa  che diventa 
  
-$$\mu_{d,0} = \kappa \, \omega \left(1 - \beta_2 \, \xi_u \right)$$+$$\mu_{d,0} = \kappa \, \omega_0 \left(1 - \beta_2 \, \xi_u \right)$$
  
 Per determinare il valore del coefficiente $\kappa$ dobbiamo calcolare il valore della deformazione nell'armatura tesa. Con osservazioni di tipo geometrico, ricordando che lo stato deformativo analizzato si trova nel campo 3, troviamo Per determinare il valore del coefficiente $\kappa$ dobbiamo calcolare il valore della deformazione nell'armatura tesa. Con osservazioni di tipo geometrico, ricordando che lo stato deformativo analizzato si trova nel campo 3, troviamo
Linea 171: Linea 171:
 ==== Pressoflessione ==== ==== Pressoflessione ====
  
-Le formule viste per la flessione semplice possono essere applicate anche alla pressoflessione, con alcune accortezze. Usualmente $N_{Ed}$ e $M_{Ed}$ sono calcolati rispetto al baricento della sezione in calcestruzzo, quindi per sezioni rettangolari sono calcolati ad ${h}/{2}$. +Le formule viste per la flessione semplice possono essere applicate anche in presenza di sforzo normale di lieve entità, o, per essere più precisi, in presenza di eccentricità significative del carico agente. 
 + 
 +Usualmente $N_{Ed}$ e $M_{Ed}$ sono calcolati rispetto al baricento della sezione in calcestruzzo, quindi per sezioni rettangolari sono calcolati ad ${h}/{2}$. 
  
 Supponendo $N_{Ed}$ e $M_{Ed}$ positivi, ricalcoliamo $M_{Ed}$ rispetto al punto in cui è localizzata l'armatura tesa, ottenendo Supponendo $N_{Ed}$ e $M_{Ed}$ positivi, ricalcoliamo $M_{Ed}$ rispetto al punto in cui è localizzata l'armatura tesa, ottenendo
Linea 179: Linea 181:
 Dividendo per $b \, d^2 \, f_{cd}$ Dividendo per $b \, d^2 \, f_{cd}$
  
-$$\mu_{d}^{*} = \mu_{d} - \nu_{d} \, \left( 1 - \frac{h}{2 \, d} \right) $$+$$\mu_{d}^{*} = \mu_{d} - \nu_{d} \, \left( 1 - \frac{\eta}{2} \right) $$
    
 A questo punto effettuiamo il dimensionamento della sezione usando il metodo già visto per la flessione semplice, usando il valore $\mu_{d}^{*}$. In questo modo riusciamo a definire le dimensioni della sezione in calcestruzzo e l'area minima per l'armatura tesa $A_{s,min}^{*}$. A quest'ultimo valore dobbiamo aggiungere l'area necessaria per assorbire lo sforzo normale $N_{Ed}$, ottenendo A questo punto effettuiamo il dimensionamento della sezione usando il metodo già visto per la flessione semplice, usando il valore $\mu_{d}^{*}$. In questo modo riusciamo a definire le dimensioni della sezione in calcestruzzo e l'area minima per l'armatura tesa $A_{s,min}^{*}$. A quest'ultimo valore dobbiamo aggiungere l'area necessaria per assorbire lo sforzo normale $N_{Ed}$, ottenendo
Linea 185: Linea 187:
 $$ A_{s,min} = A_{s,min}^{*} + \frac{N_{Ed}}{\sigma_s}$$ $$ A_{s,min} = A_{s,min}^{*} + \frac{N_{Ed}}{\sigma_s}$$
  
-esprimibile anche nella forma+che in forma adimensionale diventa
  
 $$\omega = \omega^{*} + \frac{\nu_d}{k}$$ $$\omega = \omega^{*} + \frac{\nu_d}{k}$$
Linea 252: Linea 254:
 $$\frac{M_{Rk}}{M_{Rd}} = \frac{\sigma_s}{f_{yk}} \gamma_s \frac{\left( 1 - \xi_{el}/3 \right)}{k \, \left( 1 - \beta_2 \, \xi_{u} \right)}  $$ $$\frac{M_{Rk}}{M_{Rd}} = \frac{\sigma_s}{f_{yk}} \gamma_s \frac{\left( 1 - \xi_{el}/3 \right)}{k \, \left( 1 - \beta_2 \, \xi_{u} \right)}  $$
  
-Per quanto riguardo la verifica a deformazione, applicando il metodo indiretto abbiamo che 
  
-$$\left( \frac{l_n}{d} \right)_{lim} = \left( \frac{l}{K \, s} \frac{1}{d} \right)_{lim} = \frac{310}{\sigma_s} \left( \frac{l}{d} \right)_{lim,0}$$+=== Verifica deformazione ===
  
-da cui+Per quanto riguardo la verifica a deformazione, applicando il metodo indiretto (vedi relativo paragrafo su [[tecnica_costruzioni:cls:sle_inflessione|Stato limite di deformazione]] sappiamo di poter considerare soddisfatta la verifica se 
 + 
 +$$\frac{l_n}{d} = \frac{l}{K} \frac{1}{d} \le \left( \frac{l_n}{d} \right)_{lim} = \frac{310}{\sigma_s} \left( \frac{l}{d} \right)_{lim,0}$$ 
 + 
 +esprimibile anche nella forma
  
 $$\left( \frac{l_n}{d} \right)_{lim} = \frac{310}{f_{yk}} \frac{f_{yk}}{\sigma_s} \left( \frac{l}{d} \right)_{lim,0}$$ $$\left( \frac{l_n}{d} \right)_{lim} = \frac{310}{f_{yk}} \frac{f_{yk}}{\sigma_s} \left( \frac{l}{d} \right)_{lim,0}$$
  
-che diventa+Ricavando il rapporto $\sigma_s / f_{yk}$ dalla formula vista sopra possiamo scrivere
  
 $$\left( \frac{l_n}{d} \right)_{lim} = \frac{M_{Rd}}{M_{Rk}} \frac{310}{f_{yk}} \frac{\gamma_s \, \left( 1 - \xi_{el}/3 \right)}{k \, \left( 1 - \beta_2 \, \xi_{u} \right)} \left( \frac{l}{d} \right)_{lim,0}$$ $$\left( \frac{l_n}{d} \right)_{lim} = \frac{M_{Rd}}{M_{Rk}} \frac{310}{f_{yk}} \frac{\gamma_s \, \left( 1 - \xi_{el}/3 \right)}{k \, \left( 1 - \beta_2 \, \xi_{u} \right)} \left( \frac{l}{d} \right)_{lim,0}$$
Linea 276: Linea 281:
 Effettuando il calcolo rispetto alla risultante degli sforzi di compressione nel calcestruzzo Effettuando il calcolo rispetto alla risultante degli sforzi di compressione nel calcestruzzo
  
-$$M_{Rd} = b \, d^2  \, f_{yk} \frac{1}{\gamma_s} \left[ k \, \rho \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right) + k' \, \rho' \left( \beta_2 \, \xi_u - \delta \right) \right] $$+$$M_{Rd} = b \, d^2  \, f_{yk} \frac{1}{\gamma_s} \left[ k \, \rho_d \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right) + k' \, \rho_d' \left( \beta_2 \, \xi_u - \delta \right) \right] $$
  
 Calcoliamo gli stessi due momenti nella combinazione di SLE analizzata, ottenendo Calcoliamo gli stessi due momenti nella combinazione di SLE analizzata, ottenendo
  
-$$M_{Rk} = \sigma_c \, b \, d^2 \left[ \frac{\xi_{el}}{2} \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \alpha_e  \left( 1 - \frac{\delta}{\xi_{el}} \right) \, \rho' (1 - \delta) \right]$$+$$M_{Rk} = \sigma_c \, b \, d^2 \left[ \frac{\xi_{el}}{2} \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \alpha_e  \left( 1 - \frac{\delta}{\xi_{el}} \right) \, \rho_d' (1 - \delta) \right]$$
  
 e e
  
-$$M_{Rk} = \sigma_s \, b \, d^2 \left[ \rho \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \frac{\xi_{el} - \delta}{1-\xi_{el}} \, \rho' (1 - \delta)  \right]$$+$$M_{Rk} = \sigma_s \, b \, d^2 \left[ \rho_d \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \frac{\xi_{el} - \delta}{1-\xi_{el}} \, \rho_d' (1 - \delta)  \right]$$
  
 Dividendo i momenti nella combinazione di SLE per i momenti allo SLU, otteniamo Dividendo i momenti nella combinazione di SLE per i momenti allo SLU, otteniamo
  
-$$ \frac{M_{Rk}}{M_{Rd}} = \frac{\sigma_c }{f_{ck}} \frac{\gamma_c}{\alpha_{cc}} \, \frac{\frac{\xi_{el}}{2} \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \alpha_e  \left( 1 - \frac{\delta}{\xi_{el}} \right) \, \rho' (1 - \delta)}{\beta_1 \, \xi_{u} (1 - \beta_2 \, \xi_u)+ k' \, \omega' (1 - \delta) } $$+$$ \frac{M_{Rk}}{M_{Rd}} = \frac{\sigma_c }{f_{ck}} \frac{\gamma_c}{\alpha_{cc}} \, \frac{\frac{\xi_{el}}{2} \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \alpha_e  \left( 1 - \frac{\delta}{\xi_{el}} \right) \, \rho_d' (1 - \delta)}{\beta_1 \, \xi_{u} (1 - \beta_2 \, \xi_u)+ k' \, \omega' (1 - \delta) } $$
  
-$$ \frac{M_{Rk}}{M_{Rd}} = \frac{\sigma_s}{ f_{yk}} \gamma_s  \frac{\rho \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \frac{\xi_{el} - \delta}{1-\xi_{el}} \, \rho' (1 - \delta) }{k \, \rho (1 - \beta_2 \, \xi_u) + k' \, \rho' (\beta_2 \, \xi_u - \delta)} $$+$$ \frac{M_{Rk}}{M_{Rd}} = \frac{\sigma_s}{ f_{yk}} \gamma_s  \frac{\rho_d \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \frac{\xi_{el} - \delta}{1-\xi_{el}} \, \rho_d' (1 - \delta) }{k \, \rho_d (1 - \beta_2 \, \xi_u) + k' \, \rho_d' (\beta_2 \, \xi_u - \delta)} $$
  
 Per la verifica a deformazione abbiamo invece Per la verifica a deformazione abbiamo invece
  
-$$\left( \frac{l_n}{d} \right)_{lim} = \frac{310}{f_{yk}} \frac{M_{Rd}}{M_{Rk}} \frac{ \gamma_s \left[ \rho \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \frac{\xi_{el} - \delta}{1-\xi_{el}} \, \rho' (1 - \delta) \right]}{k \, \rho (1 - \beta_2 \, \xi) + k' \, \rho' (\beta_2 \, \xi - \delta)} \left( \frac{l}{d} \right)_{lim,0}$$+$$\left( \frac{l_n}{d} \right)_{lim} = \frac{310}{f_{yk}} \frac{M_{Rd}}{M_{Rk}} \frac{ \gamma_s \left[ \rho_d \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \frac{\xi_{el} - \delta}{1-\xi_{el}} \, \rho_d' (1 - \delta) \right]}{k \, \rho_d (1 - \beta_2 \, \xi) + k' \, \rho_d' (\beta_2 \, \xi - \delta)} \left( \frac{l}{d} \right)_{lim,0}$$ 
 + 
 + 
 +==== Valori ammissibili della profondità relativa dell'asse neutro ====  
 +  
 +In zona sismica la normativa impone  
 + 
 +$$\frac{1,4}{f_{yk}} < \rho < \rho' + \frac{3,5}{f_{yk}}$$ 
 +  
 +(vedi [[tecnica_costruzioni:cls:sl_limitazioni_armature|Limitazioni delle armature]]). 
 + 
 +Abbiamo visto che 
 + 
 +$$\omega = \frac{\beta_1 \, \xi_u}{\kappa - \kappa' \, \alpha_s}$$ 
 + 
 +Possiamo esprimere $\omega$ nella forma 
 + 
 +$$\omega = \frac{A_s f_{yd}}{b \; d \; f_{cd}} = \rho_d \frac{f_{yk}}{\gamma_s \; f_{cd}} = \rho \; \eta \frac{f_{yk}}{\gamma_s \; f_{cd}}$$ 
 + 
 +da cui ci è possibile ricavare $\rho$ in funzione di $\omega$ 
 + 
 +$$\rho = \omega \; \frac{1}{\eta} \frac{\gamma_s \; f_{cd}}{f_{yk}}$$ 
 + 
 +e, a seguire, $\rho$ in funzione di $\xi_u$ 
 + 
 +$$\rho = \frac{\beta_1 \, \xi_u}{\kappa - \kappa' \, \alpha_s} \; \frac{1}{\eta} \frac{\gamma_s \; f_{cd}}{f_{yk}}$$ 
 + 
 +Introducendo il rapporto delle aree delle armature $\alpha_s$ possiamo ricavarci la percentuale geomtrica dell'armatura compressa 
 + 
 +$$\rho' = \alpha_s \rho$$ 
 + 
 +Sostituendo le ultime due nella formula di normativa relativa alla limitazione delle armature, otteniamo 
 + 
 +$$\frac{\beta_1 \, \xi_u}{\kappa - \kappa' \, \alpha_s} \; \frac{1}{\eta} \frac{\gamma_s \; f_{cd}}{f_{yk}} > \frac{1,4}{f_{yk}}$$ 
 + 
 +$$\rho <  \alpha_s \; \rho + \frac{3,5}{f_{yk}} \Longrightarrow \frac{\beta_1 \, \xi_u}{\kappa - \kappa' \, \alpha_s} \; \frac{1}{\eta} \frac{\gamma_s \; f_{cd}}{f_{yk}} \left( 1 - \alpha_s \right) <  \frac{3,5}{f_{yk}} $$ 
 + 
 +Con alcuni semplici passaggi matematici otteniamo
  
 +$$1,4 \; \eta \frac{ \kappa - \kappa' \, \alpha_s}{\beta_1 \; \gamma_s \; f_{cd}} < \xi_u  <  3,5 \; \eta \frac{\kappa - \kappa' \, \alpha_s}{\beta_1 \left( 1 - \alpha_s \right) \gamma_s \; f_{cd} }$$
  
 ==== Predimensionamento ==== ==== Predimensionamento ====
Linea 303: Linea 346:
   - fisso il rapporto limite $\left( \sigma_s / f_{yk} \right)$ per ciascuna combinazione di SLE; la scelta di $\sigma_s$ deve essere fatta sulla base della verifica delle tensioni e della verifica dello stato fessurativo secondo il metodo indiretto (e.g. decidiamo di usare barre da 16 e troviamo per ciascuna combinazione il valore massimo della tensione compatibile col diametro scelto)   - fisso il rapporto limite $\left( \sigma_s / f_{yk} \right)$ per ciascuna combinazione di SLE; la scelta di $\sigma_s$ deve essere fatta sulla base della verifica delle tensioni e della verifica dello stato fessurativo secondo il metodo indiretto (e.g. decidiamo di usare barre da 16 e troviamo per ciascuna combinazione il valore massimo della tensione compatibile col diametro scelto)
   - analogamente fissiamo il rapporto limite $\left( \sigma_c / f_{ck} \right)$   - analogamente fissiamo il rapporto limite $\left( \sigma_c / f_{ck} \right)$
-  - fissiamo un valore di $\xi_{u,lim}$; un valore usualmente adottato è $0,45$; dobbiamo scegliere una delle tabelle che legano $\xi_{u,lim}$ ai parametri individuati sopra; se siamo in zona sismica, dovremo in ogni caso disporre un armatura in zona compressa che sia pari al 25% dell'armatura in zona tesa; pertanto possiamo utilizzare la tabella con $\alpha_s = 0,25$; in corrispondenza di $\xi_{u,lim}$ troviamo+  - fissiamo $\xi_{u,lim}$; sulla scorta delle consdierazioni viste al paaragrafo precedente potremmo assumere un valore pari a $3,5 \; \eta \frac{\kappa - \kappa' \, \alpha_s}{\beta_1 \left( 1 - \alpha_s \right) \gamma_s \; f_{cd} }$;  
 +  - rimane da fissare una valore per $\alpha_s$; se siamo in zona sismica, dovremo disporre un armatura in zona compressa pari al 25% dell'armatura in zona tesa; pertanto possiamo porre $\alpha_s = 0,25$;  
 +  - in corrispondenza del valore di $\xi_{u,lim}$ scelto troviamo
     * $\mu_{d,lim}$, $\omega_{lim}$     * $\mu_{d,lim}$, $\omega_{lim}$
     * $\left( M_{Rk} / M_{Rd} \right)_{rara}$, $\left( M_{Rk} / M_{Rd} \right)_{freq}$ e $\left( M_{Rk} / M_{Rd} \right)_{QP}$     * $\left( M_{Rk} / M_{Rd} \right)_{rara}$, $\left( M_{Rk} / M_{Rd} \right)_{freq}$ e $\left( M_{Rk} / M_{Rd} \right)_{QP}$
     * ${\left( l_n /d \right)_{lim}}$     * ${\left( l_n /d \right)_{lim}}$
   - determiniamo l'altezza utile minima usando il valore di ${\left( l_n /d \right)_{lim}}$ trovato   - determiniamo l'altezza utile minima usando il valore di ${\left( l_n /d \right)_{lim}}$ trovato
-  - a questo punto abbiamo due possibilità +  - abbiamo ora due casistiche 
-    * se per ciascuna combinazione di SLE $M_{Ek} / M_{Ed} \le M_{Rk} / M_{Rd}$, effettuiamo il predimensionamento della larghezza della sezione con la formula+    * se per ciascuna combinazione di SLE $M_{Ek} / M_{Ed} \le M_{Rk} / M_{Rd}$, effettuiamo il predimensionamento della larghezza della sezione mediante
       * $$b_{min} = \frac{M_{Ed}}{\mu_{d,lim} \, d^2 \, f_{cd}}$$       * $$b_{min} = \frac{M_{Ed}}{\mu_{d,lim} \, d^2 \, f_{cd}}$$
-    * se in almeno una combinazione di SLE $M_{Ek} / M_{Ed} > M_{Rk} / M_{Rd}$+    * se in almeno una combinazione di SLE $M_{Ek} / M_{Ed} > M_{Rk} / M_{Rd}$ usiamo invece
       * $$ k = \max \left\{ \left( \frac{M_{Ek}}{M_{Ed}} \frac{M_{Rd}}{M_{Rk}} \right)_{rara}, \left( \frac{M_{Ek}}{M_{Ed}} \frac{M_{Rd}}{M_{Rk}} \right)_{freq}, \left( \frac{M_{Ek}}{M_{Ed}} \frac{M_{Rd}}{M_{Rk}} \right)_{QP}  \right\} $$       * $$ k = \max \left\{ \left( \frac{M_{Ek}}{M_{Ed}} \frac{M_{Rd}}{M_{Rk}} \right)_{rara}, \left( \frac{M_{Ek}}{M_{Ed}} \frac{M_{Rd}}{M_{Rk}} \right)_{freq}, \left( \frac{M_{Ek}}{M_{Ed}} \frac{M_{Rd}}{M_{Rk}} \right)_{QP}  \right\} $$
       * $$b_{min} = k \frac{M_{Ed}}{\mu_{d,lim} \, d^2 \, f_{cd}}$$       * $$b_{min} = k \frac{M_{Ed}}{\mu_{d,lim} \, d^2 \, f_{cd}}$$
tecnica_costruzioni/cls/sl_dimensionamento_travi.1373513358.txt.gz · Ultima modifica: 2021/06/13 13:09 (modifica esterna)

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