Differenze

Queste sono le differenze tra la revisione selezionata e la versione attuale della pagina.

--- tecnica_costruzioni:cls:sl_dimensionamento_travi [2012/12/04 15:54]
mickele [Predimensionamento]
+++ tecnica_costruzioni:cls:sl_dimensionamento_travi [2021/06/13 13:09] (versione attuale)
@@ Linea 1: / Linea 1: @@
 ====== Dimensionamento di elementi inflessi ======
-===== Stati Limite Ultimi =====
+Nel seguito analizzeremo alcuni strumenti utili per la progettazione di sezioni rettangolari in c.a. di travi inflesse.
-==== Notazioni ====
+Per comodità di trattazione introduciamo le seguenti grandezze adimensionali:
-Per affrontare il dimensionamento di una sezione rettangolare introduciamo le seguenti grandezze adimensionali:
+^  Simbolo  ^ Denominazione  ^
+|  $\xi_u = \frac{x_u}{d} $  | Profondità relativa asse neutro allo SLU  |
+|  $\nu_d = \frac{N_{Ed}}{b \, d \, f_{cd}}$  | Sforzo normale ridotto allo SLU  |
+|  $\mu_d = \frac{M_{Ed}}{b \, d^2 \, f_{cd}}$  | Momento flettente ridotto allo SLU  |
+|  $\mu_{d,0} = \frac{M_{Ed}}{b \, d^2 \, f_{cd}}$  | Momento flettente ridotto allo SLU di una sezione semplicemente armata  |
+|  $\omega = \frac{A_s \, f_{yd}}{b \, d \, f_{cd}}$  | Rapporto meccanico dell'armatura tesa  |
+|  $\omega_0 = \frac{A_s \, f_{yd}}{b \, d \, f_{cd}}$  | Rapporto meccanico dell'armatura tesa di una sezione semplicemente armata  |
+|  $\delta=\frac{d'}{d}$  | Distanza ridotta dell'armatura compressa dal lembo superiore compresso  |
+|  $\omega' = \frac{A'_s \, f_{yd}}{b \, d \, f_{cd}}$  | Rapporto meccanico dell'armatura compressa  |
+|  $k = \frac{\sigma_s}{f_{yd}} $  | Tensione ridotta armatura tesa allo SLU  |
+|  $k' = - \frac{\sigma'_s}{f_{yd}}$  | Tensione ridotta armatura compressa allo SLU  |
+|  $\alpha_s = \frac{A'_s}{A_s} = \frac{\rho'}{\rho} = \frac{\omega'}{\omega}$  | Rapporto delle aree delle armature  |
+|  $\xi_{el} = \frac{x_{el}}{d} $  | Profondità relativa asse neutro allo SLE  |
+|  $\alpha_e = \frac{E_s}{E_c} $  | Coefficiente di omogeneizzazione allo SLE  |
+|  $\eta = \frac{h}{d} > 1 $  | Altezza ridotta della sezione  |
+|  $\rho = \frac{A_s}{b \, h}$  | Rapporto geometrico dell'armatura tesa  |
+|  $\rho' = \frac{A'_s}{b \, h}$  | Rapporto geometrico dell'armatura compressa  |
+|  $\rho_d = \frac{A_s}{b \, d} = \rho \; \eta$  | Rapporto geometrico dell'armatura tesa, riferito all'altezza utile  |
+|  $\rho_d' = \frac{A'_s}{b \, d} = \rho' \; \eta$  | Rapporto geometrico dell'armatura compressa, riferito all'altezza utile  |
-  * Distanza ridotta dell'armatura compressa dal lembo superiore compresso
-$$\delta = \frac{d'}{d} $$
-  * Rapporto geometrico dell'armatura tesa
+===== Stato Limite Ultimo =====
-$$\rho = \frac{A_s}{b \, d}$$
-  * Rapporto geometrico dell'armatura compressa
-$$\rho' = \frac{A'_s}{b \, d}$$
-  * Rapporto meccanico dell'armatura tesa
-$$\omega = \frac{A_s \, f_{yd}}{b \, d \, f_{cd}}$$
-  * Rapporto meccanico dell'armatura compressa
-$$\omega' = \frac{A'_s \, f_{yd}}{b \, d \, f_{cd}}$$
-  * Rapporto delle aree delle armature
-$$\alpha_s = \frac{A'_s}{A_s} = \frac{\rho'}{\rho} = \frac{\omega'}{\omega}$$
-  * Profondità relativa asse neutro allo SLU
-$$\xi_u = \frac{x_u}{d} $$
-  * Sforzo normale ridotto allo SLU
-$$\nu_d = \frac{N_{Ed}}{b \, d \, f_{cd}}$$
-  * Momento flettente ridotto allo SLU
-$$\mu_d = \frac{M_{Ed}}{b \, d^2 \, f_{cd}}$$
-  * Rapporto tensione armatura tesa allo SLU
-$$k = \frac{\sigma_s}{f_{yd}} $$
-  * Rapporto tensione armatura compressa allo SLU
-$$k' = - \frac{\sigma'_s}{f_{yd}} $$
-  * Coefficiente di omogeneizzazione allo SLE
-$$\alpha_e = \frac{E_s}{E_c} $$
-  * Profondità relativa asse neutro allo SLE
-$$\xi_{el} = \frac{x_{el}}{d} $$
 ==== Flessione retta ====
@@ Linea 58: / Linea 40: @@
 $$0 = - b \, \beta_1 \, x_u \, f_{cd} + \sigma_s \, A_s$$
-dividendo per $b \, d \, f_{cd}$ e introducendo $k$ possiamo scrivere
+dividendo per $b \, d \, f_{cd}$ e introducendo $\kappa$ possiamo scrivere
-$$0 = - \beta_1 \, \xi_u$$
+$$0 = - \beta_1 \, \xi_u + \kappa \, \omega_0$$
 da cui
-$$\xi_u = k \frac{\omega}{\beta_1}$$
+$$\xi_u = \kappa \frac{\omega_0}{\beta_1}$$
 Calcoliamo il momento resistente corrispondente rispetto all'armatura tesa, ottenendo
@@ Linea 72: / Linea 54: @@
 che passando alle grandezze ridotte diventa
-$$\mu_{d} = \beta_1 \, \xi_u \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right)$$
+$$\mu_{d,0} = \beta_1 \, \xi_u \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right)$$
 Calcolando invece il momento resistente rispetto alla risultante dello sforzo nel calcestruzzo
-$$M_{Rd} = k \, f_{yd} \, A_s (d - \beta_2 \, x)$$
+$$M_{Rd} = \kappa \, f_{yd} \, A_s (d - \beta_2 \, x)$$
 che diventa
-$$\mu_{d} = k \, \omega \left(1 - \beta_2 \, \xi_u \right)$$
+$$\mu_{d,0} = \kappa \, \omega_0 \left(1 - \beta_2 \, \xi_u \right)$$
-Per determinare il valore del coefficiente $k$ dobbiamo calcolare il valore della deformazione nell'armatura tesa. Con osservazioni di tipo geometrico, ricordando che lo stato deformativo analizzato si trova nel campo 3, troviamo
+Per determinare il valore del coefficiente $\kappa$ dobbiamo calcolare il valore della deformazione nell'armatura tesa. Con osservazioni di tipo geometrico, ricordando che lo stato deformativo analizzato si trova nel campo 3, troviamo
 $$ \varepsilon_s = \varepsilon_{cu2} \left( \frac{1}{\xi_u} - 1 \right) $$
@@ Linea 88: / Linea 70: @@
 da cui infine
-$$k =
+$$\kappa =
 \begin{cases}
-\frac{\varepsilon_{cu2}}{\varepsilon_{yd}} \left( \frac{1}{\xi_u} - 1 \right) & \left| \varepsilon_{cu2} \left( \frac{1}{\xi_u} - 1 \right) \right| < \varepsilon_{yd} \\\\
+\frac{\varepsilon_{cu2}}{\varepsilon_{yd}} \left( \frac{1}{\xi_u} - 1 \right) & \left( \frac{1}{\xi_u} - 1 \right) < \frac{\varepsilon_{yd}}{\varepsilon_{cu2} } \\\\
-& \left| \varepsilon_{cu2} \left( \frac{1}{\xi_u} - 1 \right) \right| \ge \varepsilon_{yd}
+& \left( \frac{1}{\xi_u} - 1 \right) \ge \frac{\varepsilon_{yd}}{\varepsilon_{cu2}}
 \end{cases} $$
@@ Linea 100: / Linea 82: @@
 Ai fini del dimensionamento di una sezione, le formule di interesse pratico sono
-$$\omega_0 = \frac{\beta_1}{k} \xi_u$$
+$$\omega_0 = \frac{\beta_1}{\kappa} \xi_u$$
-$$\mu_{d0} = \beta_1 \, \xi_u \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right)$$
+$$\mu_{d,0} = \beta_1 \, \xi_u \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right)$$
 Dovendo invece calcolare la percentuale meccanica di armatura noto $\mu_d$ ricorriamo all'espressione
-$$\mu_{d0} = k \, \omega_0 \left( 1 - \frac{\beta_2}{\beta_1} k \, \omega_0 \right) \Longrightarrow
+$$\mu_{d,0} = \kappa \, \omega_0 \left( 1 - \frac{\beta_2}{\beta_1} \kappa \, \omega_0 \right) \Longrightarrow
-\omega_0 = \frac{\frac{\beta_1}{\beta_2} k - \sqrt{\left(\frac{\beta_1}{\beta_2 }\right)^2 k^2 - 4 k^2 \frac{\beta_1}{\beta_2} \mu_{d0} }}{2 k^2}$$
+\omega_0 = \frac{\frac{\beta_1}{\beta_2} \kappa - \sqrt{\left(\frac{\beta_1}{\beta_2 }\right)^2 \kappa^2 - 4 k^2 \frac{\beta_1}{\beta_2} \mu_{d,0} }}{2 \kappa^2}$$
 che può essere approssimata nella forma
-$$\omega_0 = \mu_{d0} \left( 1 + \mu_{d0} \right)  $$
+$$\omega_0 = \mu_{d,0} \left( 1 + \mu_{d,0} \right)  $$
 più conservativa ma di più facile calcolo.
-In questo modo possiamo diagrammare $\mu_{d0}$ ed $\omega_{0}$ in funzione di $\xi_u$.
+In questo modo possiamo diagrammare $\mu_{d,0}$ ed $\omega_{0}$ in funzione di $\xi_u$.
 === Armatura doppia ===
@@ Linea 129: / Linea 111: @@
 Passando alle grandezze ridotte possiamo scrivere
-$$0 = - \beta_1 \, \xi_u + k \, \omega - k' \, \omega' = - \beta_1 \, \xi_u + \omega ( k - k' \, \alpha_s)$$
+$$0 = - \beta_1 \, \xi_u + \kappa \, \omega - \kappa' \, \omega' = - \beta_1 \, \xi_u + \omega ( \kappa - \kappa' \, \alpha_s)$$
 da cui
-$$\omega = \frac{\beta_1 \, \xi_u}{k - k' \, \alpha_s} $$
+$$\omega = \frac{\beta_1 \, \xi_u}{\kappa - \kappa' \, \alpha_s} $$
 che ci permette di calcolare l'armatura necessaria nella sezione noto $\xi_{u}$.
@@ Linea 143: / Linea 125: @@
 che può essere scritto anche nella forma
-$$\mu_{d} = \beta_1 \, \xi_u \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right) + k' \, \omega' \, (1 - \delta)$$
+$$\mu_{d} = \beta_1 \, \xi_u \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right) + \kappa' \, \omega' \, (1 - \delta)$$
 Calcolando invece il momento resistente rispetto alla risultante degli sforzi nel calcestruzzo
-$$M_{Rd} = k \, f_{yd} \, A_s (d - \beta_2 \, x_u) + k' \, f_{yd} \, A'_s (\beta_2 \, x_u - d')$$
+$$M_{Rd} = \kappa \, f_{yd} \, A_s (d - \beta_2 \, x_u) + \kappa' \, f_{yd} \, A'_s (\beta_2 \, x_u - d')$$
 che diventa
-$$\mu_{d} = k \, \omega (1 - \beta_2 \, \xi_u) + k' \, \omega' (\beta_2 \, \xi_u - \delta) =
+$$\mu_{d} = \kappa \, \omega (1 - \beta_2 \, \xi_u) + \kappa' \, \omega' (\beta_2 \, \xi_u - \delta) =
  \omega \left[ k (1 - \beta_2 \, \xi_u) + k' \, \alpha_s (\beta_2 \, \xi_u - \delta) \right]$$
-Rimane da determinare il valore di $k'$ che, analogamente a quanto fatto per $k$, si calcola a partire da $\varepsilon'_s$
+Rimane da determinare il valore di $\kappa'$ che, analogamente a quanto fatto per $\kappa$, si calcola a partire da $\varepsilon'_s$
 $$ \varepsilon'_s = \varepsilon_{cu2} \left( 1 - \frac{\delta}{\xi_u} \right) $$
@@ Linea 160: / Linea 142: @@
 da cui
-$$k' =
+$$\kappa' =
 \begin{cases}
-\frac{\varepsilon_{cu2}}{\varepsilon_{yd}} \left( 1 - \frac{\delta}{\xi_u} \right) & \left| \varepsilon_{cu2} \left(1 -  \frac{\delta}{\xi_u} \right) \right| < \varepsilon_{yd} \\\\
+\frac{\varepsilon_{cu2}}{\varepsilon_{yd}} \left( 1 - \frac{\delta}{\xi_u} \right) & \left(1 -  \frac{\delta}{\xi_u} \right) < \frac{\varepsilon_{yd}}{\varepsilon_{cu2}} \\\\
-& \left| \varepsilon_{cu2} \left( 1 - \frac{\delta}{\xi_u} \right) \right| \ge \varepsilon_{yd}
+& \left( 1 - \frac{\delta}{\xi_u} \right) \ge \frac{\varepsilon_{yd}}{\varepsilon_{cu2} }
 \end{cases} $$
@@ Linea 170: / Linea 152: @@
 Le formule di interesse pratico in fase di dimensionamento sono
-$$\omega = \frac{\beta_1 \, \xi_u}{k - k' \, \alpha_s} $$
+$$\omega = \frac{\beta_1 \, \xi_u}{\kappa - \kappa' \, \alpha_s} $$
-$$\mu_{d} = \beta_1 \, \xi_u \left[ \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right) + \frac{k' \, \alpha_s}{k - k' \, \alpha_s} (1 - \delta) \right] = \beta_1 \, \xi_u \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right) + k' \, \alpha_s \, \omega \left( 1 - \delta \right) $$
+$$\mu_{d} = \beta_1 \, \xi_u \left[ \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right) + \frac{\kappa' \, \alpha_s}{\kappa - \kappa' \, \alpha_s} (1 - \delta) \right] = \beta_1 \, \xi_u \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right) + \kappa' \, \alpha_s \, \omega \left( 1 - \delta \right) $$
 Per calcolare il rapporto geometrico di armatura noto $\mu_d$ dobbiamo risolvere l'equazione
-$$\frac{\beta_2}{\beta_1} \left( k - k' \alpha_s \right)^2 \omega^2
+$$\frac{\beta_2}{\beta_1} \left( \kappa - \kappa' \alpha_s \right)^2 \omega^2
-- \left[ \left( k - k' \, \alpha_s \right) + k' \, \alpha_s \left( 1 - \delta \right) \right] \omega + \mu_d = 0$$
+- \left[ \left( \kappa - \kappa' \, \alpha_s \right) + \kappa' \, \alpha_s \left( 1 - \delta \right) \right] \omega + \mu_d = 0$$
 da cui
 $$\omega =
-\frac{\left[ \left( k - k' \, \alpha_s \right) + k' \, \alpha_s \left( 1 - \delta \right) \right] -
+\frac{\left[ \left( \kappa - \kappa' \, \alpha_s \right) + \kappa' \, \alpha_s \left( 1 - \delta \right) \right] -
-\sqrt{\left[ \left( k - k' \, \alpha_s \right) + k' \, \alpha_s \left( 1 - \delta \right) \right]^2 -
+\sqrt{\left[ \left( \kappa - \kappa' \, \alpha_s \right) + \kappa' \, \alpha_s \left( 1 - \delta \right) \right]^2 -
-\frac{\beta_2}{\beta_1} \left( k - k' \alpha_s \right)^2 \mu_d }}
+\frac{\beta_2}{\beta_1} \left( \kappa - \kappa' \alpha_s \right)^2 \mu_d }}
-{2 \, \frac{\beta_2}{\beta_1} \left( k - k' \alpha_s \right)^2} $$
+{2 \, \frac{\beta_2}{\beta_1} \left( \kappa - \kappa' \alpha_s \right)^2} $$
 ==== Pressoflessione ====
-Le formule viste per la flessione semplice possono essere applicate anche alla pressoflessione, con alcune accortezze. Usualmente $N_{Ed}$ e $M_{Ed}$ sono calcolati rispetto al baricento della sezione in calcestruzzo, quindi per sezioni rettangolari sono calcolati ad ${h}/{2}$.
+Le formule viste per la flessione semplice possono essere applicate anche in presenza di sforzo normale di lieve entità, o, per essere più precisi, in presenza di eccentricità significative del carico agente.
+Usualmente $N_{Ed}$ e $M_{Ed}$ sono calcolati rispetto al baricento della sezione in calcestruzzo, quindi per sezioni rettangolari sono calcolati ad ${h}/{2}$.
 Supponendo $N_{Ed}$ e $M_{Ed}$ positivi, ricalcoliamo $M_{Ed}$ rispetto al punto in cui è localizzata l'armatura tesa, ottenendo
@@ Linea 197: / Linea 181: @@
 Dividendo per $b \, d^2 \, f_{cd}$
-$$\mu_{d}^{*} = \mu_{d} - \nu_{d} \, \left( 1 - \frac{h}{2 \, d} \right) $$
+$$\mu_{d}^{*} = \mu_{d} - \nu_{d} \, \left( 1 - \frac{\eta}{2} \right) $$
 A questo punto effettuiamo il dimensionamento della sezione usando il metodo già visto per la flessione semplice, usando il valore $\mu_{d}^{*}$. In questo modo riusciamo a definire le dimensioni della sezione in calcestruzzo e l'area minima per l'armatura tesa $A_{s,min}^{*}$. A quest'ultimo valore dobbiamo aggiungere l'area necessaria per assorbire lo sforzo normale $N_{Ed}$, ottenendo
@@ Linea 203: / Linea 187: @@
 $$ A_{s,min} = A_{s,min}^{*} + \frac{N_{Ed}}{\sigma_s}$$
-esprimibile anche nella forma
+che in forma adimensionale diventa
 $$\omega = \omega^{*} + \frac{\nu_d}{k}$$
@@ Linea 270: / Linea 254: @@
 $$\frac{M_{Rk}}{M_{Rd}} = \frac{\sigma_s}{f_{yk}} \gamma_s \frac{\left( 1 - \xi_{el}/3 \right)}{k \, \left( 1 - \beta_2 \, \xi_{u} \right)}  $$
-Per quanto riguardo la verifica a deformazione, applicando il metodo indiretto abbiamo che
-$$\left( \frac{l_n}{d} \right)_{lim} = \left( \frac{l}{K \, s} \frac{1}{d} \right)_{lim} = \frac{310}{\sigma_s} \left( \frac{l}{d} \right)_{lim,0}$$
+=== Verifica deformazione ===
-da cui
+Per quanto riguardo la verifica a deformazione, applicando il metodo indiretto (vedi relativo paragrafo su [[tecnica_costruzioni:cls:sle_inflessione|Stato limite di deformazione]] sappiamo di poter considerare soddisfatta la verifica se
+$$\frac{l_n}{d} = \frac{l}{K} \frac{1}{d} \le \left( \frac{l_n}{d} \right)_{lim} = \frac{310}{\sigma_s} \left( \frac{l}{d} \right)_{lim,0}$$
+esprimibile anche nella forma
 $$\left( \frac{l_n}{d} \right)_{lim} = \frac{310}{f_{yk}} \frac{f_{yk}}{\sigma_s} \left( \frac{l}{d} \right)_{lim,0}$$
-che diventa
+Ricavando il rapporto $\sigma_s / f_{yk}$ dalla formula vista sopra possiamo scrivere
 $$\left( \frac{l_n}{d} \right)_{lim} = \frac{M_{Rd}}{M_{Rk}} \frac{310}{f_{yk}} \frac{\gamma_s \, \left( 1 - \xi_{el}/3 \right)}{k \, \left( 1 - \beta_2 \, \xi_{u} \right)} \left( \frac{l}{d} \right)_{lim,0}$$
@@ Linea 294: / Linea 281: @@
 Effettuando il calcolo rispetto alla risultante degli sforzi di compressione nel calcestruzzo
-$$M_{Rd} = b \, d^2  \, f_{yk} \frac{1}{\gamma_s} \left[ k \, \rho \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right) + k' \, \rho' \left( \beta_2 \, \xi_u - \delta \right) \right] $$
+$$M_{Rd} = b \, d^2  \, f_{yk} \frac{1}{\gamma_s} \left[ k \, \rho_d \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right) + k' \, \rho_d' \left( \beta_2 \, \xi_u - \delta \right) \right] $$
 Calcoliamo gli stessi due momenti nella combinazione di SLE analizzata, ottenendo
-$$M_{Rk} = \sigma_c \, b \, d^2 \left[ \frac{\xi_{el}}{2} \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \alpha_e  \left( 1 - \frac{\delta}{\xi_{el}} \right) \, \rho' (1 - \delta) \right]$$
+$$M_{Rk} = \sigma_c \, b \, d^2 \left[ \frac{\xi_{el}}{2} \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \alpha_e  \left( 1 - \frac{\delta}{\xi_{el}} \right) \, \rho_d' (1 - \delta) \right]$$
 e
-$$M_{Rk} = \sigma_s \, b \, d^2 \left[ \rho \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \frac{\xi_{el} - \delta}{1-\xi_{el}} \, \rho' (1 - \delta)  \right]$$
+$$M_{Rk} = \sigma_s \, b \, d^2 \left[ \rho_d \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \frac{\xi_{el} - \delta}{1-\xi_{el}} \, \rho_d' (1 - \delta)  \right]$$
 Dividendo i momenti nella combinazione di SLE per i momenti allo SLU, otteniamo
-$$ \frac{M_{Rk}}{M_{Rd}} = \frac{\sigma_c }{f_{ck}} \frac{\gamma_c}{\alpha_{cc}} \, \frac{\frac{\xi_{el}}{2} \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \alpha_e  \left( 1 - \frac{\delta}{\xi_{el}} \right) \, \rho' (1 - \delta)}{\beta_1 \, \xi_{u} (1 - \beta_2 \, \xi_u)+ k' \, \omega' (1 - \delta) } $$
+$$ \frac{M_{Rk}}{M_{Rd}} = \frac{\sigma_c }{f_{ck}} \frac{\gamma_c}{\alpha_{cc}} \, \frac{\frac{\xi_{el}}{2} \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \alpha_e  \left( 1 - \frac{\delta}{\xi_{el}} \right) \, \rho_d' (1 - \delta)}{\beta_1 \, \xi_{u} (1 - \beta_2 \, \xi_u)+ k' \, \omega' (1 - \delta) } $$
-$$ \frac{M_{Rk}}{M_{Rd}} = \frac{\sigma_s}{ f_{yk}} \gamma_s  \frac{\rho \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \frac{\xi_{el} - \delta}{1-\xi_{el}} \, \rho' (1 - \delta) }{k \, \rho (1 - \beta_2 \, \xi_u) + k' \, \rho' (\beta_2 \, \xi_u - \delta)} $$
+$$ \frac{M_{Rk}}{M_{Rd}} = \frac{\sigma_s}{ f_{yk}} \gamma_s  \frac{\rho_d \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \frac{\xi_{el} - \delta}{1-\xi_{el}} \, \rho_d' (1 - \delta) }{k \, \rho_d (1 - \beta_2 \, \xi_u) + k' \, \rho_d' (\beta_2 \, \xi_u - \delta)} $$
 Per la verifica a deformazione abbiamo invece
-$$\left( \frac{l_n}{d} \right)_{lim} = \frac{310}{f_{yk}} \frac{M_{Rd}}{M_{Rk}} \frac{ \gamma_s \left[ \rho \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \frac{\xi_{el} - \delta}{1-\xi_{el}} \, \rho' (1 - \delta) \right]}{k \, \rho (1 - \beta_2 \, \xi) + k' \, \rho' (\beta_2 \, \xi - \delta)} \left( \frac{l}{d} \right)_{lim,0}$$
+$$\left( \frac{l_n}{d} \right)_{lim} = \frac{310}{f_{yk}} \frac{M_{Rd}}{M_{Rk}} \frac{ \gamma_s \left[ \rho_d \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \frac{\xi_{el} - \delta}{1-\xi_{el}} \, \rho_d' (1 - \delta) \right]}{k \, \rho_d (1 - \beta_2 \, \xi) + k' \, \rho_d' (\beta_2 \, \xi - \delta)} \left( \frac{l}{d} \right)_{lim,0}$$
+==== Valori ammissibili della profondità relativa dell'asse neutro ====
+In zona sismica la normativa impone
+$$\frac{1,4}{f_{yk}} < \rho < \rho' + \frac{3,5}{f_{yk}}$$
+(vedi [[tecnica_costruzioni:cls:sl_limitazioni_armature|Limitazioni delle armature]]).
+Abbiamo visto che
+$$\omega = \frac{\beta_1 \, \xi_u}{\kappa - \kappa' \, \alpha_s}$$
+Possiamo esprimere $\omega$ nella forma
+$$\omega = \frac{A_s f_{yd}}{b \; d \; f_{cd}} = \rho_d \frac{f_{yk}}{\gamma_s \; f_{cd}} = \rho \; \eta \frac{f_{yk}}{\gamma_s \; f_{cd}}$$
+da cui ci è possibile ricavare $\rho$ in funzione di $\omega$
+$$\rho = \omega \; \frac{1}{\eta} \frac{\gamma_s \; f_{cd}}{f_{yk}}$$
+e, a seguire, $\rho$ in funzione di $\xi_u$
+$$\rho = \frac{\beta_1 \, \xi_u}{\kappa - \kappa' \, \alpha_s} \; \frac{1}{\eta} \frac{\gamma_s \; f_{cd}}{f_{yk}}$$
+Introducendo il rapporto delle aree delle armature $\alpha_s$ possiamo ricavarci la percentuale geomtrica dell'armatura compressa
+$$\rho' = \alpha_s \rho$$
+Sostituendo le ultime due nella formula di normativa relativa alla limitazione delle armature, otteniamo
+$$\frac{\beta_1 \, \xi_u}{\kappa - \kappa' \, \alpha_s} \; \frac{1}{\eta} \frac{\gamma_s \; f_{cd}}{f_{yk}} > \frac{1,4}{f_{yk}}$$
+$$\rho <  \alpha_s \; \rho + \frac{3,5}{f_{yk}} \Longrightarrow \frac{\beta_1 \, \xi_u}{\kappa - \kappa' \, \alpha_s} \; \frac{1}{\eta} \frac{\gamma_s \; f_{cd}}{f_{yk}} \left( 1 - \alpha_s \right) <  \frac{3,5}{f_{yk}} $$
+Con alcuni semplici passaggi matematici otteniamo
+$$1,4 \; \eta \frac{ \kappa - \kappa' \, \alpha_s}{\beta_1 \; \gamma_s \; f_{cd}} < \xi_u  <  3,5 \; \eta \frac{\kappa - \kappa' \, \alpha_s}{\beta_1 \left( 1 - \alpha_s \right) \gamma_s \; f_{cd} }$$
 ==== Predimensionamento ====
@@ Linea 321: / Linea 346: @@
   - fisso il rapporto limite $\left( \sigma_s / f_{yk} \right)$ per ciascuna combinazione di SLE; la scelta di $\sigma_s$ deve essere fatta sulla base della verifica delle tensioni e della verifica dello stato fessurativo secondo il metodo indiretto (e.g. decidiamo di usare barre da 16 e troviamo per ciascuna combinazione il valore massimo della tensione compatibile col diametro scelto)
   - analogamente fissiamo il rapporto limite $\left( \sigma_c / f_{ck} \right)$
-  - fissiamo un valore di $\xi_{u,lim}$; un valore usualmente adottato è $0,45$; dobbiamo scegliere una delle tabelle che legano $\xi_{u,lim}$ ai parametri individuati sopra; se siamo in zona sismica, dovremo in ogni caso disporre un armatura in zona compressa che sia pari al 25% dell'armatura in zona tesa; pertanto possiamo utilizzare la tabella con $\alpha_s = 0,25$; in corrispondenza di $\xi_{u,lim}$ troviamo
+  - fissiamo $\xi_{u,lim}$; sulla scorta delle consdierazioni viste al paaragrafo precedente potremmo assumere un valore pari a $3,5 \; \eta \frac{\kappa - \kappa' \, \alpha_s}{\beta_1 \left( 1 - \alpha_s \right) \gamma_s \; f_{cd} }$;
+  - rimane da fissare una valore per $\alpha_s$; se siamo in zona sismica, dovremo disporre un armatura in zona compressa pari al 25% dell'armatura in zona tesa; pertanto possiamo porre $\alpha_s = 0,25$;
+  - in corrispondenza del valore di $\xi_{u,lim}$ scelto troviamo
     * $\mu_{d,lim}$, $\omega_{lim}$
     * $\left( M_{Rk} / M_{Rd} \right)_{rara}$, $\left( M_{Rk} / M_{Rd} \right)_{freq}$ e $\left( M_{Rk} / M_{Rd} \right)_{QP}$
     * ${\left( l_n /d \right)_{lim}}$
   - determiniamo l'altezza utile minima usando il valore di ${\left( l_n /d \right)_{lim}}$ trovato
-  - a questo punto abbiamo due possibilità
+  - abbiamo ora due casistiche
-    * se per ciascuna combinazione di SLE $M_{Ek} / M_{Ed} \le M_{Rk} / M_{Rd}$, effettuiamo il predimensionamento della larghezza della sezione con la formula
+    * se per ciascuna combinazione di SLE $M_{Ek} / M_{Ed} \le M_{Rk} / M_{Rd}$, effettuiamo il predimensionamento della larghezza della sezione mediante
       * $$b_{min} = \frac{M_{Ed}}{\mu_{d,lim} \, d^2 \, f_{cd}}$$
-    * se in almeno una combinazione di SLE $M_{Ek} / M_{Ed} > M_{Rk} / M_{Rd}$
+    * se in almeno una combinazione di SLE $M_{Ek} / M_{Ed} > M_{Rk} / M_{Rd}$ usiamo invece
       * $$ k = \max \left\{ \left( \frac{M_{Ek}}{M_{Ed}} \frac{M_{Rd}}{M_{Rk}} \right)_{rara}, \left( \frac{M_{Ek}}{M_{Ed}} \frac{M_{Rd}}{M_{Rk}} \right)_{freq}, \left( \frac{M_{Ek}}{M_{Ed}} \frac{M_{Rd}}{M_{Rk}} \right)_{QP}  \right\} $$
       * $$b_{min} = k \frac{M_{Ed}}{\mu_{d,lim} \, d^2 \, f_{cd}}$$

Il wiki di IngegneriaLibera

Strumenti Utente

Strumenti Sito

Differenze

Strumenti Pagina