La viscosità del calcestruzzo dipende:

• dall’umidità dell’ambiente
• dalle dimensioni dell’elemento
• dalla composizione del calcestruzzo.
• dalla maturazione del calcestruzzo al momento della prima applicazione del carico
• dalla durata e dall’entità del carico.

In generale la relazione che lega le deformazioni viscose alle tensioni non è di tipo lineare. Per poter supporre un comportamento viscoelastico lineare è necessario che il calcestruzzo non sia soggetto a una tensione di compressione maggiore di $0,45 f_{ck}(t_0)$, in cui $f_{ck}(t_0)$ è la resistenza caratteristica su provino cilindrico valutata al momento in cui il carico è applicato.

Sotto tale ipotesi

$$\varepsilon_{cc}(t,t_0) = \varphi (t,t_0) \frac{\sigma_c}{E_c}$$

in cui $E_c$ è il modulo di elasticità tangenziale, correlabile al modulo di elasticità secante $E_{cm}$ mediante la relazione

$$E_c = 1,05 \, E_{cm}$$

Il coefficiente di viscosità nell'ambito di ipotesi di comportamento lineare, seguendo le indicazioni dell'appendice B della UNI EN 1992-1-1, viene ottenuto dalla relazione

$$\varphi (t,t_0) = \varphi_0 \, \beta_c(t,t_0)$$

$$\varphi_0 = \varphi_{RH} \, \beta(f_{cm}) \, \beta(t_{0})$$

$$ \varphi_{RH} = \begin{cases} 1+ \frac{1- \frac{RH}{100}}{0,1 \sqrt[3]{h_0}} & f_{cm} \le 35 MPa$ \\
1+ \frac{1- \frac{RH}{100}}{0,1 \sqrt[3]{h_0}} \alpha_1 \alpha_2 & f_{cm} > 35 MPa \end{cases} $$ $$ \beta(f_{cm}) = \frac{16,8}{ \sqrt{f_{cm}}} $$ $$ \beta(t_0) = \frac{1}{0,1 + t_0^{0,20}}$$ $$ h_{0} = \frac{2 A_c}{u}$$ $$\beta_{c}(t,t_0) = \left( \frac{t - t_0}{ \beta_H + t - t_0} \right)^{0,3}$$ $$ \beta_{H} = \begin{cases} 1,5 \left[ 1 + (0,012 \cdot RH)^{18} \right] h_0 + 250 \le 1500 & f_{cm} \le 35 MPa$ \\
1,5 \left[ 1 + (0,012 \cdot RH)^{18} \right] h_0 + 250 \, \alpha_3 \le 1500 \, \alpha_3 & f_{cm} > 35 MPa \end{cases}$$ $$ \alpha_1 = \left( \frac{35}{f_{cm}} \right)^{0,7}$$ $$ \alpha_2 = \left( \frac{35}{f_{cm}} \right)^{0,2}$$ $$ \alpha_3 = \left( \frac{35}{f_{cm}} \right)^{0,5}$$ in cui: * $\varphi_{0}$ è il coefficiente nominale di viscosità

• $\varphi_{RH}$ tiene conto dell’effetto dell’umidità relativa
• $RH$ è l’umidità ambientale relativa, in percentuale
• $f_{cm}$ è la resistenza media a compressione del calcestruzzo, in MPa, a 28 giorni
• $\beta(t_0)$ tiene conto dell’effetto dell’età del calcestruzzo al momento di applicazione del carico
• $h_0$ è la dimensione fittizia dell’elemento, in mm
• $A_c$ è l’area della sezione trasversale
• $u$ è il perimetro della sezione a contatto con l’atmosfera
• $\beta_{c}(t,t_0)$ descrive l’evoluzione della viscosità nel tempo dopo l’applicazione del carico
• $t$ è l’età del calcestruzzo, in giorni, al momento considerato
• $t_0$ è l’età del calcestruzzo, in giorni, al momento dell’applicazione del carico
• $t - t_0$ è la durata non corretta del carico, in giorni
• $\beta_H$ dipende da $RH$ e da $h_{0}$
• $\alpha_{1/2/3}$ pemettono di valutare l’influenza della resistenza del calcestruzzo

E' possibile tener conto dell’effetto del tipo di cemento modificando l’età del carico $t_0$ secondo:

$$t_0 = t_{0,T} \left( \frac{9}{2 \, t_{0,T}^{1,2}} + 1 \right)^\alpha \ge 0,5$$

dove:

• $t_{0,T}$ è l’età del calcestruzzo, in giorni, al momento dell’applicazione del carico, corretta in funzione della temperatura come si vedrà di seguito;
• $\alpha$ dipende dal tipo di cemento:
  • $= -1$ per cemento di Classe S
  • $= 0$ per cemento di Classe N
  • $= 1$ per cemento di Classe R

L’effetto di temperature elevate o ridotte comprese nell’intervallo 0-80 °C sulla maturazione del calcestruzzo può essere preso in conto correggendo l’età del calcestruzzo con l'espressione:

$$ t_T = \sum \limits_{i=1}^{n} e^{–\left\{ 4000 / \left[ 273 + T(\Delta t_i) \right] – 13,65 \right\} } \, \Delta t_i$$

dove:

• $t_T$ è l’età del calcestruzzo, corretta in funzione della temperatura, che sostituisce $t$ nelle corrispondenti espressioni
• $T (\Delta t_i)$ è la temperatura, in gradi centigradi, durante il periodo di tempo $\Delta t_i$;
• $\Delta t_i$ è il numero di giorni in cui risulta prevalente la temperatura $T$.

Nel caso di comportamento non lineare, l'eurocodice 2 ci dà indicazioni per il calcolo del coefficiente di viscosità a tempo infinito, che è pari a

$$\varphi_{k}(\infty,t_0) = \varphi (\infty,t_0) e^{1,5 (k_\sigma - 0,45)}$$

dove

• $\varphi_k(\infty,t_0)$ è il coefficiente di viscosità non lineare a tempo infinito
• $\varphi(\infty,t_0)$ è il coefficiente di viscosità lineare a tempo infinito
• $k_\sigma$ è il rapporto tensioni-resistenza $\frac{\sigma_c}{f_{cm}(t_0)}$, dove $\sigma_c$ è la tensione di compressione e $f_{cm}(t_0)$ è il valore medio della tensione di compressione sul calcestruzzo al momento $t_0$ in cui il carico è applicato.

Il coefficiente di variazione medio dei dati di viscosità stimati con le espressioni viste fin qui è dell’ordine del 20%.

La deformazione totale da ritiro è formata da due componenti:

• la deformazione da ritiro per essiccamento $\varepsilon_{cd}$, funzione della migrazione dell’acqua attraverso il calcestruzzo indurito, che si sviluppa lentamente;
• la deformazione da ritiro autogeno $\varepsilon_{ca}$, che si sviluppa invece durante l’indurimento del calcestruzzo e quindi nei primi giorni successivi al getto e che è una funzione lineare della resistenza del calcestruzzo; viene considerata specificatamente quando un calcestruzzo fresco è gettato contro un calcestruzzo già indurito.

Perciò i valori della deformazione totale da ritiro sono dati da

$$\varepsilon_{cs} = \varepsilon_{cd} + \varepsilon_{ca}$$

dove:

• $\varepsilon_{cs}$ è la deformazione totale da ritiro;
• $\varepsilon_{cd}$ è la deformazione da ritiro per essiccamento;
• $\varepsilon_{ca}$ è la deformazione da ritiro autogeno.

Il ritiro per essiccamento è dato da

$$\varepsilon_{cd}(t ) = \beta_{\beta_ds}(t, t_s) · k_h \varepsilon_{cd,0}$$

$$\beta_{ds}(t,t_s) = \frac{t - t_s}{(t - t_s) + 0,04 \, \sqrt{h_0^3} }$$

$$ \varepsilon_{cd,0} = 0,85 (220 + 110 \cdot \alpha_{ds1}) e^{-\alpha_{ds2} \frac{f_{cm}}{f_{cm0}}} 10^{-6} \, \beta_{RH}$$

$$\beta_{RH} = 1,55 \left[ 1 - \left( \frac{RH}{RH_0}\right)^3 \right]$$

dove:

• $k_h$ è un coefficiente che dipende dalla dimensione convenzionale $h_0$ secondo il prospetto

• $t$ è l’età del calcestruzzo, espressa in giorni, al momento considerato;
• $t_s$ è l’età del calcestruzzo (in giorni) all’inizio del ritiro per essiccamento (o rigonfiamento); generalmente questo avviene alla fine della maturazione;
• $h_0$ è la dimensione convenzionale (in millimetri) della sezione trasversale $= 2 \, \frac{A_c}{u}$.
• $A_c$ è l’area della sezione trasversale di calcestruzzo;
• $u$ è il perimetro della parte di sezione trasversale esposta ad essiccamento.
• \varepsilon_{cd,0} è la deformazione di base dovuta al ritiro per essiccamento
• $f_{cm}$ è la resistenza media a compressione espressa in MPa;
• $f_{cm0} = 10 MPa$;
• $RH$ è l’umidità relativa ambientale (in percentuale)
• $RH_0 = 100\%$
• $\alpha_{ds1}$ e $\alpha_{ds2}$ dipendono dal tipo di cemento secondo la tabella

Il valore finale della deformazione da ritiro per essiccamento, $\varepsilon_{cd,\infty}$, è uguale a $k_h \cdot \varepsilon_{cd,0}$.

La deformazione da ritiro autogeno è data da:

$$\varepsilon_{ca} (t) = \beta_{as} (t) \varepsilon_{ca}(\infty)$$

$$\varepsilon_{ca}(\infty) = 2,5 (f_{ck} - 10) 10^{-6}$$

$$\beta_{as}(t) = 1 - e^{-0,2 \, t^{0,5}}$$

con $t$ espresso in giorni