scienza_costruzioni:winkler
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scienza_costruzioni:winkler [2013/11/02 16:33] mickele [Equazione della deformata] |
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|---|---|---|---|
| Linea 1: | Linea 1: | ||
| - | ====== Trave su suolo elastico ====== | + | Painga spostata all'indirizzo |
| - | + | ||
| - | ===== Reazione del terreno ===== | + | |
| - | + | ||
| - | Il terreno esercita sulla trave una reazione $r(x)$ pari a | + | |
| - | + | ||
| - | $$r(x) = - k_s \, b \, w(x) = - k'_s \, w(x)$$ | + | |
| - | + | ||
| - | in cui: | + | |
| - | + | ||
| - | * $b$ è la larghezza della sezione a contatto con il suolo elastico | + | |
| - | * $k_s$ è la pressione esercitata dal terreno a seguito di un abbassamento unitario; è chiamata costante di reazione o costante elastica di sottofondo; ha dimensioni $F \cdot L^{-3}$ | + | |
| - | * $k'_s$ è la forza per unità di lunghezza di trave esercitata dal terreno a seguito di un abbassamento unitario della trave; è chiamata modulo di reazione ed ha dimensioni $F \cdot L^{-2}$ | + | |
| - | + | ||
| - | Si riportano di seguito alcuni valori indicativi della costante elastica di sottofondo, tratti dal testo di Bowles (JE Bowles - Fondazioni - McGraw-Hill - 1998 - Milano; pag. 439) | + | |
| - | + | ||
| - | ^ Terreno | + | |
| - | | sabbia | sciolta | + | |
| - | | ::: | mediamente compatta | + | |
| - | | ::: | compatta | + | |
| - | | ::: | argillosa mediamente compatta | + | |
| - | | ::: | limosa mediamente compatta | + | |
| - | | argilla | $q_u \le 200 kPa$ | $12.000 \div 24.000$ | + | |
| - | | ::: | $200 kPa < q_u \le 400 kPa$ | $24.000 \div 48.000$ | | + | |
| - | | ::: | $q_u > 400 kPa$ | $> 48.000$ | + | |
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | ===== Equazione della deformata ===== | + | |
| - | + | ||
| - | Trascurando l' | + | |
| - | + | ||
| - | $$EJ \frac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}x^2} = - M(x)$$ | + | |
| - | + | ||
| - | che derivata due volte diventa | + | |
| - | + | ||
| - | $$EJ \frac{\mathrm{d}^4 w}{\mathrm{d}x^4} = q(x)$$ | + | |
| - | + | ||
| - | Nel caso di trave su suolo elastico, la $q(x)$ è pari ad un eventuale carico distribuito $q_0(x)$ cui si somma la reazione del terreno $-r(x)= - k'_s \, w(x)$, vale a dire | + | |
| - | + | ||
| - | $$EJ \frac{\mathrm{d}^4 w}{\mathrm{d}x^4} + k'_s \, w(x) = q_0(x)$$ | + | |
| - | + | ||
| - | che, con la posizione | + | |
| - | + | ||
| - | $$\alpha^4 = \frac{k' | + | |
| - | + | ||
| - | diventa | + | |
| - | + | ||
| - | $$\frac{\mathrm{d}^4 w}{\mathrm{d}x^4} + 4 \alpha^4 \, w(x) = q_0(x)$$ | + | |
| - | + | ||
| - | La soluzione di questa equazione differenziale di quarto ordine è | + | |
| - | + | ||
| - | $$w(x) = e^{- \alpha x} \left( C_1 \sin \alpha x + C_2 \cos \alpha x \right) + e^{\alpha x} \left( C_3 \sin \alpha x + C_4 \cos \alpha x \right) + w_p(x)$$ | + | |
| - | + | ||
| - | in cui $w_p(x)$ è un suo integrale particolare. | + | |
scienza_costruzioni/winkler.1383406411.txt.gz · Ultima modifica: 2021/06/13 13:07 (modifica esterna)
