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Trave su suolo elastico
Reazione del terreno
Il terreno esercita sulla trave una reazione $r(x)$ pari a
$$r(x) = - k_s \, b \, w(x) = - k'_s \, w(x)$$
in cui:
- $b$ è la larghezza della sezione a contatto con il suolo elastico
- $k_s$ è la pressione esercitata dal terreno a seguito di un abbassamento unitario; è chiamata costante di reazione o costante elastica di sottofondo; ha dimensioni $F \cdot L^{-3}$
- $k'_s$ è la forza per unità di lunghezza di trave esercitata dal terreno a seguito di un abbassamento unitario della trave; è chiamata modulo di reazione ed ha dimensioni $F \cdot L^{-2}$
Si riportano di seguito alcuni valori indicativi della costante elastica di sottofondo, tratti dal testo di Bowles (JE Bowles - Fondazioni - McGraw-Hill - 1998 - Milano; pag. 439)
| Terreno | $k_s [kN/m^3]$ | |
|---|---|---|
| sabbia | sciolta | $4.800 \div 16.000$ |
| mediamente compatta | $9.600 \div 80.000$ | |
| compatta | $64.000 \div 128.000$ | |
| argillosa mediamente compatta | $32.000 \div 80.000$ | |
| limosa mediamente compatta | $24.000 \div 48.000$ | |
| argilla | $q_u \le 200 kPa$ | $12.000 \div 24.000$ |
| $200 kPa < q_u \le 400 kPa$ | $24.000 \div 48.000$ | |
| $q_u > 400 kPa$ | $> 48.000$ | |
Equazione della deformata
Trascurando l'influenza del taglio sulla linea elastica vale la relazione
$$EJ \frac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}x^2} = - M(x)$$
che derivata due volte diventa
$$EJ \frac{\mathrm{d}^4 w}{\mathrm{d}x^4} = q(x)$$
Sostituendo a $q(x)$ la reazione del terreno, otteniamo
$$EJ \frac{\mathrm{d}^4 w}{\mathrm{d}x^4} + k'_s \, w(x) = 0$$
che, con la posizione
$$\beta^4 = \frac{k'_s}{E J} $$
diventa
$$\frac{\mathrm{d}^4 w}{\mathrm{d}x^4} + \beta^4 \, w(x) = 0$$
