scienza_costruzioni:travi:winkler
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scienza_costruzioni:travi:winkler [2014/01/22 22:32] mickele [Equazione della deformata considerando influenza taglio] |
scienza_costruzioni:travi:winkler [2021/06/13 13:09] (versione attuale) |
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Linea 129: | Linea 129: | ||
===== Equazione della deformata con influenza del taglio ===== | ===== Equazione della deformata con influenza del taglio ===== | ||
- | Calcoleremo ora l' | + | Calcoleremo ora l' |
Dall' | Dall' | ||
Linea 174: | Linea 174: | ||
$$\frac{\mathrm{d}^3\varphi}{\mathrm{d}x^3} = \frac{\chi}{G A} \left( - \frac{\mathrm{d}^2 q_0}{\mathrm{d}x^2} + k_s' \, \frac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}x^2} \right) - \frac{\mathrm{d}^4w}{\mathrm{d}x^4}$$ | $$\frac{\mathrm{d}^3\varphi}{\mathrm{d}x^3} = \frac{\chi}{G A} \left( - \frac{\mathrm{d}^2 q_0}{\mathrm{d}x^2} + k_s' \, \frac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}x^2} \right) - \frac{\mathrm{d}^4w}{\mathrm{d}x^4}$$ | ||
+ | |||
+ | Sostituiamo il valore della derivata terza di $\varphi$ nella relazione scritta prima, ottenendo | ||
+ | |||
+ | $$\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x} - \chi \frac{E \, J }{G \, A} \frac{\mathrm{d}^2 q_0}{\mathrm{d}x^2} + \chi \frac{E \, J }{G \, A} k_s' \frac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}x^2} - E \, J \frac{\mathrm{d}^4w}{\mathrm{d}x^4} + q_0(x) - k_s' \, w (x)= 0$$ | ||
+ | |||
+ | esprimibile anche nella forma | ||
+ | |||
+ | $$\frac{\mathrm{d}^4w}{\mathrm{d}x^4} - k_s' \frac{\chi}{G \, A} \frac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}x^2} + \frac{k_s' | ||
+ | |||
+ | Sostituendo il valore di $\alpha$ visto ai paragrafi precedenti e introducendo il parametro $\beta$ così definito | ||
+ | |||
+ | $$\beta^4 = \frac{1}{4} k_s' \frac{\chi}{G \, A}$$ | ||
+ | |||
+ | l' | ||
+ | |||
+ | $$\frac{\mathrm{d}^4w}{\mathrm{d}x^4} - 4 \beta^4 \frac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}x^2} + 4 \alpha^4 \, w (x) = \frac{1}{E \, J} \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x} - \frac{\chi}{G \, A} \frac{\mathrm{d}^2 q_0}{\mathrm{d}x^2} + \frac{1}{E \, J} q_0(x)$$ | ||
+ | |||
+ | Anche in questo caso l' | ||
+ | |||
+ | Le soluzioni dell' | ||
+ | |||
+ | $$w_0 (x) = e^{p x} $$ | ||
+ | |||
+ | con $p \in \mathbb{C}$ | ||
+ | |||
+ | Si costruiscono le derivate successive della funzione e si sostituisce nell' | ||
+ | |||
+ | $$p^4 - 4 \beta^4 \, p^2 + 4 \, \alpha^4 = 0$$ | ||
+ | |||
+ | le cui radici sono | ||
+ | |||
+ | $$p_{1,2}^2 = \left( 2 \beta^4 \pm 2 i \sqrt{ \alpha^4 - \beta^8 } \right) $$ | ||
====== Limiti della teoria ====== | ====== Limiti della teoria ====== | ||
Linea 182: | Linea 214: | ||
* una trave continua soggetta a soli carichi distribuiti, | * una trave continua soggetta a soli carichi distribuiti, | ||
- | Ciononostante il modello di Winkler trova larghissimo impiego per la progettazione di strutture di fondazioni superficiali | + | Ciononostante il modello di Winkler trova larghissimo impiego per valutare l' |
scienza_costruzioni/travi/winkler.1390426368.txt.gz · Ultima modifica: 2021/06/13 13:09 (modifica esterna)