Differenze

Queste sono le differenze tra la revisione selezionata e la versione attuale della pagina.

--- scienza_costruzioni:travi:winkler [2014/01/22 22:23]
mickele
+++ scienza_costruzioni:travi:winkler [2021/06/13 13:09] (versione attuale)
@@ Linea 127: / Linea 127: @@
-===== Equazione della deformata considerando influenza taglio =====
+===== Equazione della deformata con influenza del taglio =====
+Calcoleremo ora l'equazione della linea elastica della trave su suolo elastico, considerando l'influenza del taglio. Poiché le trave di fondazione sono travi tozze, la seguente trattazione dovrebbe avere un significativo riscontro applicativo. Di fatto la maggior precisione del presente modello si perde nell'estrema variabilità della costante di sottofondo.
 Dall'equilibrio a rotazione di un concio infinitesimo
@@ Linea 172: / Linea 174: @@
 $$\frac{\mathrm{d}^3\varphi}{\mathrm{d}x^3} = \frac{\chi}{G A} \left( - \frac{\mathrm{d}^2 q_0}{\mathrm{d}x^2} + k_s' \, \frac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}x^2} \right) - \frac{\mathrm{d}^4w}{\mathrm{d}x^4}$$
+Sostituiamo il valore della derivata terza di $\varphi$ nella relazione scritta prima, ottenendo
+$$\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x} - \chi \frac{E \, J }{G \, A} \frac{\mathrm{d}^2 q_0}{\mathrm{d}x^2} + \chi \frac{E \, J }{G \, A} k_s' \frac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}x^2} - E \, J \frac{\mathrm{d}^4w}{\mathrm{d}x^4} + q_0(x) - k_s' \, w (x)= 0$$
+esprimibile anche nella forma
+$$\frac{\mathrm{d}^4w}{\mathrm{d}x^4} - k_s' \frac{\chi}{G \, A} \frac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}x^2} + \frac{k_s'}{E \, J} \, w (x) = \frac{1}{E \, J} \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x} - \frac{\chi}{G \, A} \frac{\mathrm{d}^2 q_0}{\mathrm{d}x^2} + \frac{1}{E \, J} q_0(x)$$
+Sostituendo il valore di $\alpha$ visto ai paragrafi precedenti e introducendo il parametro $\beta$ così definito
+$$\beta^4 = \frac{1}{4} k_s' \frac{\chi}{G \, A}$$
+l'equazione diventa
+$$\frac{\mathrm{d}^4w}{\mathrm{d}x^4} - 4 \beta^4 \frac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}x^2} + 4 \alpha^4 \, w (x) = \frac{1}{E \, J} \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x} - \frac{\chi}{G \, A} \frac{\mathrm{d}^2 q_0}{\mathrm{d}x^2} + \frac{1}{E \, J} q_0(x)$$
+Anche in questo caso l'integrale del'equazione sarà pari all'integrale generale dell'omogena associata più un integrale particolare.
+Le soluzioni dell'omogenea associata sono sempre funzioni esponenziali del tipo
+$$w_0 (x) = e^{p x} $$
+con $p \in \mathbb{C}$
+Si costruiscono le derivate successive della funzione e si sostituisce nell'equazione, ottenendo l'equazione caratteristica associata
+$$p^4 - 4 \beta^4 \, p^2 + 4 \, \alpha^4 = 0$$
+le cui radici sono
+$$p_{1,2}^2 = \left( 2 \beta^4 \pm 2 i \sqrt{ \alpha^4 - \beta^8 } \right) $$
 ====== Limiti della teoria ======
@@ Linea 180: / Linea 214: @@
   * una trave continua soggetta a soli carichi distribuiti, sulla base della teoria appena vista, avrebbe una reazione vincolare speculare al carico, e, conseguentemente, sollecitazioni nulle.
-Ciononostante il modello di Winkler trova larghissimo impiego per la progettazione di strutture di fondazioni superficiali per la sua semplicità. Modelli più complessi presuppongono indagini geotecniche articolate e costose che forniscono parametri comunque affetti da errori che spesso vanificano la maggiore complessità dell'analisi. Può essere allora preferibile utilizzare il modello su suolo elastico assumendo per la costante di sottofondo, piuttosto che un unico valore, un intervallo di variazione; conseguentemente otterremo un inviluppo delle sollecitazioni agenti.
+Ciononostante il modello di Winkler trova larghissimo impiego per valutare l'interazione suolo-struttura per la sua semplicità. Modelli più complessi presuppongono indagini geotecniche articolate e costose che forniscono parametri comunque affetti da errori che spesso vanificano la maggiore complessità dell'analisi. Può essere allora preferibile utilizzare il modello su suolo elastico assumendo per la costante di sottofondo, piuttosto che un unico valore, un intervallo di variazione; conseguentemente otterremo un inviluppo delle sollecitazioni agenti.

Il wiki di IngegneriaLibera

Strumenti Utente

Strumenti Sito

Differenze

Strumenti Pagina