scienza_costruzioni:travi:winkler
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Linea 79: | Linea 79: | ||
Determineremo le quattro costanti $C_1$, $C_2$, $C_3$ e $C_4$ imponendo le condizioni al contorno. | Determineremo le quattro costanti $C_1$, $C_2$, $C_3$ e $C_4$ imponendo le condizioni al contorno. | ||
+ | |||
===== Esempi applicativi ===== | ===== Esempi applicativi ===== | ||
Linea 126: | Linea 127: | ||
- | ===== Equazione della deformata con deformabilità a taglio ===== | + | ===== Equazione della deformata con influenza del taglio ===== |
- | Dall' | + | Calcoleremo ora l' |
+ | |||
+ | Dall' | ||
$$m(x) + \frac{\mathrm{d} M}{\mathrm{d}x} - T(x) = 0$$ | $$m(x) + \frac{\mathrm{d} M}{\mathrm{d}x} - T(x) = 0$$ | ||
Linea 148: | Linea 151: | ||
$$\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x} + \frac{\mathrm{d}^2 M}{\mathrm{d}x^2} + q_0(x) - k_s' \, w (x)= 0$$ | $$\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x} + \frac{\mathrm{d}^2 M}{\mathrm{d}x^2} + q_0(x) - k_s' \, w (x)= 0$$ | ||
- | La trattazione del De Saint venant | + | Le ipotesi di De Saint Venant |
- | $$\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x} | + | $$M = E \, J \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d}x} $$ |
+ | |||
+ | che sotituita nella precedente equazione ci dà | ||
+ | |||
+ | $$\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x} | ||
L' | L' | ||
Linea 160: | Linea 167: | ||
$$\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{\chi}{G A} \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} - \frac{\mathrm{d}^2w}{\mathrm{d}x^2}$$ | $$\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{\chi}{G A} \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} - \frac{\mathrm{d}^2w}{\mathrm{d}x^2}$$ | ||
- | Sostituendo l' | + | Sostituendo l' |
$$\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{\chi}{G A} \left( - q_0(x) + k_s' \, w \right) - \frac{\mathrm{d}^2w}{\mathrm{d}x^2}$$ | $$\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{\chi}{G A} \left( - q_0(x) + k_s' \, w \right) - \frac{\mathrm{d}^2w}{\mathrm{d}x^2}$$ | ||
- | Deriviamola tre volte | + | che, derivata due volte, diventa |
+ | |||
+ | $$\frac{\mathrm{d}^3\varphi}{\mathrm{d}x^3} = \frac{\chi}{G A} \left( - \frac{\mathrm{d}^2 q_0}{\mathrm{d}x^2} + k_s' \, \frac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}x^2} \right) - \frac{\mathrm{d}^4w}{\mathrm{d}x^4}$$ | ||
+ | |||
+ | Sostituiamo il valore della derivata terza di $\varphi$ nella relazione scritta prima, ottenendo | ||
+ | |||
+ | $$\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x} - \chi \frac{E \, J }{G \, A} \frac{\mathrm{d}^2 q_0}{\mathrm{d}x^2} + \chi \frac{E \, J }{G \, A} k_s' \frac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}x^2} - E \, J \frac{\mathrm{d}^4w}{\mathrm{d}x^4} + q_0(x) - k_s' \, w (x)= 0$$ | ||
+ | |||
+ | esprimibile anche nella forma | ||
+ | |||
+ | $$\frac{\mathrm{d}^4w}{\mathrm{d}x^4} - k_s' \frac{\chi}{G \, A} \frac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}x^2} + \frac{k_s' | ||
+ | |||
+ | Sostituendo il valore di $\alpha$ visto ai paragrafi precedenti e introducendo il parametro $\beta$ così definito | ||
+ | |||
+ | $$\beta^4 = \frac{1}{4} k_s' \frac{\chi}{G \, A}$$ | ||
+ | |||
+ | l' | ||
+ | |||
+ | $$\frac{\mathrm{d}^4w}{\mathrm{d}x^4} - 4 \beta^4 \frac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}x^2} + 4 \alpha^4 \, w (x) = \frac{1}{E \, J} \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x} - \frac{\chi}{G \, A} \frac{\mathrm{d}^2 q_0}{\mathrm{d}x^2} + \frac{1}{E \, J} q_0(x)$$ | ||
+ | |||
+ | Anche in questo caso l' | ||
+ | |||
+ | Le soluzioni dell' | ||
+ | |||
+ | $$w_0 (x) = e^{p x} $$ | ||
+ | |||
+ | con $p \in \mathbb{C}$ | ||
+ | |||
+ | Si costruiscono le derivate successive della funzione e si sostituisce nell' | ||
+ | |||
+ | $$p^4 - 4 \beta^4 \, p^2 + 4 \, \alpha^4 = 0$$ | ||
+ | |||
+ | le cui radici sono | ||
- | $$\frac{\mathrm{d}^4\varphi}{\mathrm{d}x^4} | + | $$p_{1,2}^2 = \left( |
====== Limiti della teoria ====== | ====== Limiti della teoria ====== | ||
Linea 175: | Linea 214: | ||
* una trave continua soggetta a soli carichi distribuiti, | * una trave continua soggetta a soli carichi distribuiti, | ||
- | Ciononostante il modello di Winkler trova larghissimo impiego per la progettazione di strutture di fondazioni superficiali | + | Ciononostante il modello di Winkler trova larghissimo impiego per valutare l' |
scienza_costruzioni/travi/winkler.1390425510.txt.gz · Ultima modifica: 2021/06/13 13:09 (modifica esterna)