scienza_costruzioni:travi:winkler
Differenze
Queste sono le differenze tra la revisione selezionata e la versione attuale della pagina.
Entrambe le parti precedenti la revisione Revisione precedente Prossima revisione | Revisione precedente | ||
scienza_costruzioni:travi:winkler [2014/01/19 18:34] mickele [Trave illimitata sottoposta ad un carico P] |
scienza_costruzioni:travi:winkler [2021/06/13 13:09] (versione attuale) |
||
---|---|---|---|
Linea 26: | Linea 26: | ||
- | ===== Equazione della deformata ===== | + | ===== Equazione della deformata |
+ | |||
+ | Effettueremo una prima analisi del fenomeno trascurando l' | ||
+ | |||
+ | Trascurando quindi l' | ||
+ | |||
+ | $$\varphi (x) = - \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d} x}$$ | ||
- | Trascurando l' | ||
$$EJ \frac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}x^2} = - M(x)$$ | $$EJ \frac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}x^2} = - M(x)$$ | ||
Linea 48: | Linea 54: | ||
$$\frac{\mathrm{d}^4 w}{\mathrm{d}x^4} + 4 \alpha^4 \, w(x) = q_0(x)$$ | $$\frac{\mathrm{d}^4 w}{\mathrm{d}x^4} + 4 \alpha^4 \, w(x) = q_0(x)$$ | ||
- | La soluzione di questa equazione differenziale di quarto ordine è | + | La soluzione di questa equazione differenziale di quarto ordine è ottenibile sommando all' |
- | $$w(x) = e^{- \alpha x} \left( C_1 \sin \alpha x + C_2 \cos \alpha x \right) + e^{\alpha x} \left( C_3 \sin \alpha x + C_4 \cos \alpha | + | $$w(x) = w_0 (x) + w_p(x)$$ |
- | in cui $w_p(x)$ è un suo integrale particolare. | + | Possiamo verificare agevolmente che l' |
+ | |||
+ | $$w_0(x) = e^{- \alpha x} \left( C_1 \sin \alpha x + C_2 \cos \alpha x \right) + e^{\alpha x} \left( C_3 \sin \alpha x + C_4 \cos \alpha x \right)$$ | ||
Supponiamo $q_0(x)$ sia un polinomio al massimo del terzo ordine della variabile x | Supponiamo $q_0(x)$ sia un polinomio al massimo del terzo ordine della variabile x | ||
Linea 58: | Linea 66: | ||
$$q_o (x) = a_0 + a_1 \, x + a_2 \, x^2 + a_3 \, x^3 $$ | $$q_o (x) = a_0 + a_1 \, x + a_2 \, x^2 + a_3 \, x^3 $$ | ||
- | Notiamo | + | Osserviamo |
- | La scleta appena fatta nasce dall' | + | $$\frac{\mathrm{d}^4 q_0}{\mathrm{d}x^4} = 0 $$ |
- | $$\frac{\mathrm{d}^4 q_o}{\mathrm{d}x^4} = 0 $$ | + | In questo modo l' |
- | In questo modo infatti l' | + | $$ w_p(x) = \frac{1}{4 \, \alpha^4} q_0(x)$$ |
- | $$ w_p(x) = \frac{1}{4 \, \alpha^4} q_o(x)$$ | + | L' |
- | ===== Casistica | + | $$w(x) |
+ | |||
+ | Determineremo le quattro costanti $C_1$, $C_2$, $C_3$ e $C_4$ imponendo le condizioni al contorno. | ||
+ | |||
+ | ===== Esempi applicativi | ||
Si consideri una trave infinita soggetta ad azioni localizzate su un punto. Per $z \to \infty$, $w(x) = 0$. Per verificare questa condizione dovremo avere, conriferimento ai coefficienti della soluzione generale vista al paragrafo precedente, $C_3 = C_4 = 0$. La soluzione diventa quindi | Si consideri una trave infinita soggetta ad azioni localizzate su un punto. Per $z \to \infty$, $w(x) = 0$. Per verificare questa condizione dovremo avere, conriferimento ai coefficienti della soluzione generale vista al paragrafo precedente, $C_3 = C_4 = 0$. La soluzione diventa quindi | ||
Linea 80: | Linea 92: | ||
$$ M(x) = - E \, I_{yy} \, \frac{\mathrm{d^2}w}{\mathrm{d}x^2} = - 2 \, E \, I_{yy} \, \alpha^2 \, e^{- \alpha x} \left( C_2 \sin \alpha x - C_1 \cos \alpha x \right) $$ | $$ M(x) = - E \, I_{yy} \, \frac{\mathrm{d^2}w}{\mathrm{d}x^2} = - 2 \, E \, I_{yy} \, \alpha^2 \, e^{- \alpha x} \left( C_2 \sin \alpha x - C_1 \cos \alpha x \right) $$ | ||
- | $$T(x) = \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}x} = - 2 \, E \, I_{yy} \, \alpha^3 \, e^{- \alpha x} \left[ \left( C_1 - C_2 \right) \sin \alpha x + \left( C_1 + C_2 \right) \cos \alpha x \right] $$ | + | $$T(x) = \frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x} = - 2 \, E \, I_{yy} \, \alpha^3 \, e^{- \alpha x} \left[ \left( C_1 - C_2 \right) \sin \alpha x + \left( C_1 + C_2 \right) \cos \alpha x \right] $$ |
==== Trave illimitata sottoposta ad un carico P ==== | ==== Trave illimitata sottoposta ad un carico P ==== | ||
Linea 102: | Linea 115: | ||
$$- 2 \, E \, I_{yy} \, \alpha^3 \left( C_1 + C_2 \right) = - \frac{P}{2} \Longrightarrow C_1 = C_2 = \frac{1}{8} \frac{P}{E \, I_{yy} \, \alpha^3} $$ | $$- 2 \, E \, I_{yy} \, \alpha^3 \left( C_1 + C_2 \right) = - \frac{P}{2} \Longrightarrow C_1 = C_2 = \frac{1}{8} \frac{P}{E \, I_{yy} \, \alpha^3} $$ | ||
+ | |||
+ | I valori cercati sono | ||
+ | |||
+ | $$w(x) = \frac{1}{8} \frac{P}{E \, I_{yy} \, \alpha^3} e^{- \alpha x} \left( \sin \alpha x + \cos \alpha x \right)$$ | ||
+ | |||
+ | $$\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}x} = - \frac{1}{4} \frac{P}{E \, I_{yy} \, \alpha^2} | ||
+ | |||
+ | $$ M(x) = - \frac{1}{4} \frac{P}{\alpha} | ||
+ | |||
+ | $$T(x) = - \frac{P}{2} e^{- \alpha x} \cos \alpha x $$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===== Equazione della deformata con influenza del taglio ===== | ||
+ | |||
+ | Calcoleremo ora l' | ||
+ | |||
+ | Dall' | ||
+ | |||
+ | $$m(x) + \frac{\mathrm{d} M}{\mathrm{d}x} - T(x) = 0$$ | ||
+ | |||
+ | che derivata una volta rispetto ad $x$ diventa | ||
+ | |||
+ | $$\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x} + \frac{\mathrm{d}^2 M}{\mathrm{d}x^2} - \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} = 0$$ | ||
+ | |||
+ | Dall' | ||
+ | |||
+ | $$ \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} + q(x) = 0 \Longrightarrow \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} = - q(x)$$ | ||
+ | |||
+ | che, sostituita nella prima dà | ||
+ | |||
+ | $$\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x} + \frac{\mathrm{d}^2 M}{\mathrm{d}x^2} + q(x) = 0$$ | ||
+ | |||
+ | Sostituendo il valore del carico distribuito nell' | ||
+ | |||
+ | $$\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x} + \frac{\mathrm{d}^2 M}{\mathrm{d}x^2} + q_0(x) - k_s' \, w (x)= 0$$ | ||
+ | |||
+ | Le ipotesi di De Saint Venant ci permettono di scrivere | ||
+ | |||
+ | $$M = E \, J \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d}x} $$ | ||
+ | |||
+ | che sotituita nella precedente equazione ci dà | ||
+ | |||
+ | $$\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x} + E \, J \frac{\mathrm{d}^3 \varphi}{\mathrm{d}x^3} + q_0(x) - k_s' \, w (x)= 0$$ | ||
+ | |||
+ | L' | ||
+ | |||
+ | $$\varphi(x) = \frac{\chi}{G A} T - \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}x}$$ | ||
+ | |||
+ | Deriviamola una volta | ||
+ | |||
+ | $$\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{\chi}{G A} \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} - \frac{\mathrm{d}^2w}{\mathrm{d}x^2}$$ | ||
+ | |||
+ | Sostituendo l' | ||
+ | |||
+ | $$\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{\chi}{G A} \left( - q_0(x) + k_s' \, w \right) - \frac{\mathrm{d}^2w}{\mathrm{d}x^2}$$ | ||
+ | |||
+ | che, derivata due volte, diventa | ||
+ | |||
+ | $$\frac{\mathrm{d}^3\varphi}{\mathrm{d}x^3} = \frac{\chi}{G A} \left( - \frac{\mathrm{d}^2 q_0}{\mathrm{d}x^2} + k_s' \, \frac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}x^2} \right) - \frac{\mathrm{d}^4w}{\mathrm{d}x^4}$$ | ||
+ | |||
+ | Sostituiamo il valore della derivata terza di $\varphi$ nella relazione scritta prima, ottenendo | ||
+ | |||
+ | $$\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x} - \chi \frac{E \, J }{G \, A} \frac{\mathrm{d}^2 q_0}{\mathrm{d}x^2} + \chi \frac{E \, J }{G \, A} k_s' \frac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}x^2} - E \, J \frac{\mathrm{d}^4w}{\mathrm{d}x^4} + q_0(x) - k_s' \, w (x)= 0$$ | ||
+ | |||
+ | esprimibile anche nella forma | ||
+ | |||
+ | $$\frac{\mathrm{d}^4w}{\mathrm{d}x^4} - k_s' \frac{\chi}{G \, A} \frac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}x^2} + \frac{k_s' | ||
+ | |||
+ | Sostituendo il valore di $\alpha$ visto ai paragrafi precedenti e introducendo il parametro $\beta$ così definito | ||
+ | |||
+ | $$\beta^4 = \frac{1}{4} k_s' \frac{\chi}{G \, A}$$ | ||
+ | |||
+ | l' | ||
+ | |||
+ | $$\frac{\mathrm{d}^4w}{\mathrm{d}x^4} - 4 \beta^4 \frac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}x^2} + 4 \alpha^4 \, w (x) = \frac{1}{E \, J} \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x} - \frac{\chi}{G \, A} \frac{\mathrm{d}^2 q_0}{\mathrm{d}x^2} + \frac{1}{E \, J} q_0(x)$$ | ||
+ | |||
+ | Anche in questo caso l' | ||
+ | |||
+ | Le soluzioni dell' | ||
+ | |||
+ | $$w_0 (x) = e^{p x} $$ | ||
+ | |||
+ | con $p \in \mathbb{C}$ | ||
+ | |||
+ | Si costruiscono le derivate successive della funzione e si sostituisce nell' | ||
+ | |||
+ | $$p^4 - 4 \beta^4 \, p^2 + 4 \, \alpha^4 = 0$$ | ||
+ | |||
+ | le cui radici sono | ||
+ | |||
+ | $$p_{1,2}^2 = \left( 2 \beta^4 \pm 2 i \sqrt{ \alpha^4 - \beta^8 } \right) $$ | ||
====== Limiti della teoria ====== | ====== Limiti della teoria ====== | ||
Linea 110: | Linea 214: | ||
* una trave continua soggetta a soli carichi distribuiti, | * una trave continua soggetta a soli carichi distribuiti, | ||
- | Ciononostante il modello di Winkler trova larghissimo impiego per la progettazione di strutture di fondazioni superficiali | + | Ciononostante il modello di Winkler trova larghissimo impiego per valutare l' |
scienza_costruzioni/travi/winkler.1390152846.txt.gz · Ultima modifica: 2021/06/13 13:09 (modifica esterna)