scienza_costruzioni:travi:timoshenko
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scienza_costruzioni:travi:timoshenko [2021/06/13 13:09] |
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Linea 1: | Linea 1: | ||
- | ====== Trave di Timoshenko ====== | ||
- | ===== Ipotesi cinematica ===== | ||
- | |||
- | La teoria di Timoshenko analizza il comportamento di una trave rettilinea considerando l' | ||
- | L' | ||
- | |||
- | Pertanto, nel caso piano, gli spostamenti di un generico punto della trave sono esprimibili nella forma | ||
- | |||
- | $$u(x,z) = u_0(x) + \varphi(x) \; z$$ | ||
- | |||
- | $$w(x,z) = w_0(x)$$ | ||
- | |||
- | in cui: | ||
- | * $u_0(x)$ e $w_0(x)$ sono gli spostamenti del baricentro della sezione; ricordiamo che l' | ||
- | * $\varphi(x)$ è la rotazione della sezione rispetto alla verticale. | ||
- | |||
- | Noti gli spostamenti, | ||
- | |||
- | $$\gamma = \frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\mathrm{d}w_0}{\mathrm{d} x} + \varphi$$ | ||
- | |||
- | $$\varepsilon = \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\mathrm{d}u_0}{\mathrm{d} x} + \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d}x} z $$ | ||
- | |||
- | Togliendo il pedice $0$ a $u_0(x)$ e $w_0(x)$ è possibile allora scrivere la seguente relazione | ||
- | |||
- | $$\bar{\gamma} = \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d}x} + \varphi$$ | ||
- | |||
- | $$\varepsilon = \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d} x} + \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d}x} z $$ | ||
- | |||
- | che lega: | ||
- | * lo scorrimento angolare medio $\bar{\gamma}$ | ||
- | * la rotazione della sezione rispetto alla verticale $\varphi$ | ||
- | * lo spostamento lungo l'asse della trave $u(x)$ | ||
- | * lo spostamento trasversale dell' | ||
- | |||
- | ===== Linea elastica ===== | ||
- | |||
- | Analizziamo nello spazio bidimensionale una trave considerando l' | ||
- | |||
- | Sotto le ipotesi di comportamento elastico lineare, esistono i seguenti legami: | ||
- | |||
- | * tra momento e rotazione della sezione | ||
- | $$M = E J \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d}x}$$ | ||
- | |||
- | * tra taglio e scorrimento angolare medio | ||
- | |||
- | $$T = \frac{G A}{\chi} \bar{\gamma}$$ | ||
- | |||
- | * tra sforzo normale e deformazione assiale | ||
- | |||
- | $$N = E A \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d}x}$$ | ||
- | |||
- | Supponiamo inoltre che sulla trave agiscano carichi distribuiti con un andamento lineare, secondo le relazioni | ||
- | |||
- | * carichi assiali | ||
- | $$p(x) = p_1 + \frac{p_2 - p_1}{l} x = p_1 + \frac{\Delta p}{l} x$$ | ||
- | |||
- | * carichi trasversali | ||
- | $$q(x) = q_1 + \frac{q_2 - q_1}{l} x = q_1 + \frac{\Delta q}{l} x$$ | ||
- | |||
- | * coppie | ||
- | $$m(x) = m_1 + \frac{m_2 - m_1}{l} x = m_1 + \frac{\Delta m}{l} x$$ | ||
- | |||
- | L' | ||
- | |||
- | $$\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} + q(x) = 0 | ||
- | \Longrightarrow | ||
- | \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} = - q(x)$$ | ||
- | |||
- | Analizzando l' | ||
- | |||
- | $$- T + \frac{\mathrm{d} M}{\mathrm{d}x} + m = 0 | ||
- | \Longrightarrow | ||
- | \frac{\mathrm{d} M}{\mathrm{d}x} = T - m$$ | ||
- | |||
- | Derivando otteniamo | ||
- | |||
- | $$\frac{\mathrm{d^2} M}{\mathrm{d}x^2} = \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} - \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x} \Longrightarrow | ||
- | \frac{\mathrm{d^2} M}{\mathrm{d}x^2} = - \left( q(x) + \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x} \right)$$ | ||
- | |||
- | Ricorrendo al legame visto sopra tra momento e curvatura, nell' | ||
- | |||
- | $$\frac{\mathrm{d^3} \varphi}{\mathrm{d}x^3} = - \frac{1}{EJ} \left( q(x) + \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x} \right)$$ | ||
- | |||
- | Sostituendo le espressioni dei carichi distribuiti | ||
- | |||
- | $$\frac{\mathrm{d^3} \varphi}{\mathrm{d}x^3} = - \frac{1}{EJ} \left( \frac{\Delta q}{l} x + q_1 + \frac{\Delta m}{l} \right)$$ | ||
- | |||
- | Integrando due volte tale relazione otteniamo | ||
- | |||
- | $$\frac{\mathrm{d^2} \varphi}{\mathrm{d}x^2} = - \frac{1}{EJ} \left[ \frac{\Delta q}{2 l} x^2 + \left( q_1 + \frac{\Delta m}{l} \right) x \right] + C_1$$ | ||
- | |||
- | $$\frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d}x} = - \frac{1}{EJ} \left[ \frac{\Delta q}{6 l} x^3 + \left( q_1 + \frac{\Delta m}{l} \right) \frac{x^2}{2} \right] + C_1 \, x + C_2 $$ | ||
- | |||
- | Le ipotesi di Timoshenko ci permettono di scrivere | ||
- | |||
- | $$\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}x} = - \varphi + \bar{\gamma} | ||
- | \Longrightarrow | ||
- | \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}x} = - \varphi + \frac{\chi}{G A} T$$ | ||
- | |||
- | che derivata diventa | ||
- | |||
- | $$\frac{\mathrm{d^2}w}{\mathrm{d}x^2} = - \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d} x} + \frac{\chi}{G A} \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d} x} | ||
- | \Longrightarrow | ||
- | \frac{\mathrm{d^2}w}{\mathrm{d}x^2} = - \left( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d} x} + \frac{\chi}{G A} q(x) \right)$$ | ||
- | |||
- | Sostituendo il valore di ${\mathrm{d}\varphi}/ | ||
- | |||
- | $$\frac{\mathrm{d^2}w}{\mathrm{d}x^2} = \frac{1}{EJ} \left[ \frac{\Delta q}{6 l} x^3 + \left( q_1 + \frac{\Delta m}{l} \right) \frac{x^2}{2} | ||
- | |||
- | Integrando due volte questa espressione troviamo | ||
- | |||
- | $$\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{EJ} \left[ \frac{\Delta q}{24 l} x^4 + \left( q_1 + \frac{\Delta m}{l} \right) \frac{x^3}{6} \right] - \frac{\chi}{G A} \left(q_1 \, x + \frac{\Delta q }{2 l} x^2 \right) - \frac{C_1}{2} x^2 - C_2 \, x + C_3 $$ | ||
- | |||
- | e infine | ||
- | |||
- | $$w(x) = \frac{1}{EJ} \left[ \frac{\Delta q}{120 \,l} x^5 + \left( q_1 + \frac{\Delta m}{l} \right) \frac{x^4}{24} \right] - \frac{\chi}{G A} \left(\frac{\Delta q }{6 l} x^3 + \frac{q_1}{2} x^2 \right) - \frac{C_1}{6} x^3 - \frac{C_2}{2} x^2 + C_3 \, x + C_4$$ | ||
- | |||
- | Per ottenere $\varphi(x)$, | ||
- | |||
- | $$\varphi (x) = - \frac{\mathrm{d}w }{\mathrm{d}x} + \frac{\chi}{G A} T $$ | ||
- | |||
- | Il taglio è dato da | ||
- | |||
- | $$T(x) = \frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x} + m (x) = EJ \frac{\mathrm{d^2}\varphi}{\mathrm{d}x^2} + m(x) \Longrightarrow | ||
- | T(x) = - \frac{\Delta q}{2 l} x^2 - q_1 \, x + C_1 \, EJ + m_1$$ | ||
- | |||
- | Sostituendo la seconda nella prima | ||
- | |||
- | $$\varphi(x) = - \frac{1}{EJ} \left[ \frac{\Delta q}{24 \, l} x^4 + \left( q_1 + \frac{\Delta m}{l} \right) \frac{x^3}{6} \right] + \frac{\chi}{G A} \left( C_1 \, E J + m_1 \right) + \frac{C_1}{2} x^2 + C_2 \, x - C_3 $$ | ||
- | |||
- | Rimane da determinare il momento, che sarà pari a | ||
- | |||
- | $$M(x) = EJ \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = - \frac{\Delta q}{6 l} x^3 - \left( q_1 + \frac{\Delta m}{l} \right) \frac{x^2}{2} + EJ \left( C_1 \, x + C_2 \right) $$ | ||
- | |||
- | Passiamo ora al calcolo della componente dello spostamento lungo l'asse x. Si parte stavolta dall' | ||
- | |||
- | $$\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}x} = - p(x) = - \left( \frac{\Delta p}{l} x + p_1 \right)$$ | ||
- | |||
- | Integrando otteniamo | ||
- | |||
- | $$N(x) = - \frac{\Delta p}{2 l} x^2 - p_1 \, x + C_5$$ | ||
- | |||
- | Ricordando la relazione tra sforzo normale e derivata prima dello spostamento assiale scriviamo | ||
- | |||
- | $$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{EA} \left( - \frac{\Delta p}{2 l} x^2 - p_1 \, x + C_5 \right)$$ | ||
- | |||
- | che integrata dà | ||
- | |||
- | $$u(x) = \frac{1}{EA} \left( - \frac{\Delta p}{6 l} x^3 - \frac{p_1}{2} x^2 + C_5 \, x \right) + C_6$$ | ||
- | |||
- | Ricapitolando, | ||
- | |||
- | $$u(x) = \frac{1}{EA} \left( - \frac{\Delta p}{6 l} x^3 - \frac{p_1}{2} x^2 + C_5 \, x \right) + C_6$$ | ||
- | |||
- | $$w(x) = \frac{1}{EJ} \left[ \frac{\Delta q}{120 \,l} x^5 + \left( q_1 + \frac{\Delta m}{l} \right) \frac{x^4}{24} \right] - \frac{\chi}{G A} \left(\frac{\Delta q }{6 l} x^3 + \frac{q_1}{2} x^2 \right) - \frac{C_1}{6} x^3 - \frac{C_2}{2} x^2 + C_3 \, x + C_4$$ | ||
- | |||
- | $$\varphi(x) = - \frac{1}{EJ} \left[ \frac{\Delta q}{24 \, l} x^4 + \left( q_1 + \frac{\Delta m}{l} \right) \frac{x^3}{6} \right] + \frac{\chi}{G A} \left( C_1 \, E J + m_1 \right) + \frac{C_1}{2} x^2 + C_2 \, x - C_3 $$ | ||
- | |||
- | e le caratteristiche di sollecitazione | ||
- | |||
- | $$N(x) = - \frac{\Delta p}{2 l} x^2 - p_1 \, x + C_5$$ | ||
- | |||
- | $$T(x) = - \frac{\Delta q}{2 l} x^2 - q_1 \, x + m_1 + C_1 \, EJ$$ | ||
- | |||
- | $$M(x) = - \frac{\Delta q}{6 l} x^3 - \left( q_1 + \frac{\Delta m}{l} \right) \frac{x^2}{2} + EJ \left( C_1 \, x + C_2 \right) $$ | ||
- | |||
- | Per determinare le costanti di integrazione $C_1$, $C_2$, $C_3$, $C_4$, $C_5$ e $C_6$, dobbiamo imporre 6 condizioni al contorno, ciascuna delle quali potrà essere: | ||
- | * di tipo // | ||
- | * di tipo // |
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