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====== Statica e cinematica di un sistema di travi ======

===== Matrice cinematica =====

Dividiamo la struttura nelle singole travi che la compongono. Per ciascuna trave individuiamo un punto, di coordinate $x_P, y_P$, che chiameremo polo.

Lo spostamento di ciascuna trave sarà individuata da un vettore di tre componenti

$$ \left(  \begin{matrix} u \\\\ v \\\\ \varphi \end{matrix} \right) $$

in cui ($u$ e $v$) sono le componenti traslative della trasformazione e ($\varphi$) è l'angolo di rotazione attorno alo polo. Chiameremo tali componenti spostamenti polari.

Con queste posizioni possiamo scrivere gli spostamenti dei punti di ciascuna trave in funzione degli spostamenti polari. Ci interessano in particolare gli spostamenti dei punti vincolati con l'esterno o con le altre travi. Dopo avere calcolato tali spostamenti imponiamo i vincoli: nel caso dei vincoli esterni, gli spostamenti dei relativi punti di applicazione di solito hanno valore nullo, ma potremmoe immaginare di avere cedimenti vincolari diversi da zero; nel caso dei vincoli interni potremmo imporre spostamenti relativi nulli (come di solito accade nei nostri sistemi) o anche in questo cvaso potremmo pensare a spostamenti relativi diversi da zero.

Raggruppando gli spostamenti vincolari in un unico vettore $\boldsymbol{\gamma}$ e gli spostamenti polari nel vettore $\boldsymbol{\eta}$, ricorrendo alla notazione matriciale possiamo scrivere

$$\begin{bmatrix}C\end{bmatrix} \left( \eta_P \right) = \left( \gamma \right)$$

in cui $\begin{bmatrix}C\end{bmatrix}$ è detta **matrice cinematica** del sistema di travi.

===== Matrice statica =====

Dividiamo la struttura nelle singole travi che la compongono.

Per ciascuna trave scriviamo le equazioni cardinali della statica. L'equilibrio a rotazione viene calcolato rispetto ad un punto diverso per ciascuna trave, di coordinate $x_P, y_P$, che chiameremo polo .

Ciascuna trave è soggetta a reazioni vincolari (esterne/interne) $R_{H,i}$, $R_{V,i}, $R_{M,i}$ applicate nei punti $x_{R,i}, y_{R,i}$, e forze esterne  $F_{H,j}$, $F_{V,j}, $F_{M,j}$ applicate nei punti $x_{F,j}, y_{F,j}$

$$\rightarrow \; \sum \limits_{i=1}^{n} R_{H,i} + \sum \limits_{j=1}^{m} F_{H,j} = 0$$
$$\uparrow \; \sum \limits_{i=1}^{n} R_{V,i} + \sum \limits_{j=1}^{m} F_{V,j} = 0$$
$$\circlearrowleft \; \sum \limits_{i=1}^{n} \left[ R_{V,i} (x_{R,i} - x_P) - R_{H,i} (y_{R,i} - y_P) + R_{M,i}\right]+ \sum \limits_{j=1}^{m} \left[ F_{V,j} (x_{F,j} - x_P) - F_{H,j} (y_{F,j} - y_P) + F_{M,j}\right] = 0$$

Unendo tutte le equazioni di equilibrio e ricorrendo alla notazione matriciale possiamo scrivere

$$\begin{bmatrix}S\end{bmatrix} \left( r \right) + \left( f_P \right) = \left( 0 \right)$$

in cui

  * $\begin{bmatrix}S\end{bmatrix}$ è la matrice statica
  * $\left( r \right)$ è il vettore delle reazioni vincolari
  * $\left( f_P \right)$ è il vettore delle forze esterne ridotte ai poli
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