Differenze

Queste sono le differenze tra la revisione selezionata e la versione attuale della pagina.

--- scienza_costruzioni:travi:bernoulli [2014/01/22 22:09]
mickele
+++ scienza_costruzioni:travi:bernoulli [2021/06/13 13:09]
@@ Linea 1: / Linea 1: @@
-====== Trave di Eulero-Bernoulli ======
-Con l'espressione "trave di Eulero-Bernoulli" si intende riferirsi all'analisi di una trave rettilinea nella quale si trascuri l'influenza del taglio sulla linea elastica.
-===== Analisi cinematica =====
-Le ipotesi cinematicche alla base del modello di trave di Eulero-Bernoulli sono:
-  * conservazione delle sezioni piane
-  * ortogonalità tra sezione ed asse della trave
-Queste ipotesi ci permettono di scrivere
-$$\varphi (x) = - \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d} x}$$
-in cui:
-  * $\varphi (x)$ è l'angolo che la sezione forma con la verticale (positivo se antiorario, negativo se orario :-) )
-  * $w(x)$ è lo spostamento trasversale dell'asse della trave
-===== Analisi statica =====
-Dall'analisi dell'equilibrio di un concio infinitesimo di trave rettilinea otteniamo
-$$p(x) + \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}x} = 0$$
-$$q(x) + \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} = 0$$
-$$m(x) + \frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x} - T(x) = 0$$
-===== Linea elastica =====
-Analizziamo nello spazio bidimensionale una trave trascurando l'influenza del taglio sulla linea elastica secondo le ipotesi di Eulero-Bernoulli.
-Sotto le ipotesi di comportamento elastico lineare, esistono i seguenti legami:
-  * tra sforzo normale e spostamento lungo l'asse della trave
-$$\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d}x} = \frac{N (x)}{E A}$$
-  * tra momento e rotazione della sezione
-$$\frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{M (x)}{E J}$$
-Quest'ultima relazione, considerando la relazione vista al pragrafo precedente tra rotazione e spostamento trasversale, diventa
-$$\frac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}x^2} = - \frac{M (x)}{E J}$$
-Supponiamo inoltre che sulla trave agiscano carichi distribuiti con un andamento lineare, secondo le relazioni
-  * per i carichi assiali
-  $$p(x) = p_1 + \frac{p_2 - p_1}{l} x = p_1 + \frac{\Delta p}{l} x$$
-  * per i carichi trasversali
-  $$q(x) = q_1 + \frac{q_2 - q_1}{l} x = q_1 + \frac{\Delta q}{l} x$$
-  * per le coppie
-  $$m(x) = m_1 + \frac{m_2 - m_1}{l} x = m_1 + \frac{\Delta m}{l} x$$
-Analizzando l'equilibrio a traslazione verticale di un concio infinitesimo di trave troviamo
-$$\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} + q(x) = 0
-\Longrightarrow
-\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} = - q(x)$$
-L'equilibrio a rotazione dello stesso concio di permette di scrivere
-$$-T(x) + \frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x} + m(x) = 0
-\Longrightarrow
-T(x) = \frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x} + m(x)$$
-Sostituendo la seconda nella prima otteniamo
-$$\frac{\mathrm{d^2}M}{\mathrm{d}x^2} + \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x} = - q(x)
-\Longrightarrow
-\frac{\mathrm{d^2}M}{\mathrm{d}x^2} = - \left( q(x) + \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x}\right)$$
-Utilizzando la relazione tra momento $M(x)$ e spostamento trasversale $w(x)$ otteniamo
-$$- EJ \frac{\mathrm{d^4}w}{\mathrm{d}x^4} = - \left( q(x) + \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x}\right)
-\Longrightarrow
-\frac{\mathrm{d^4}w}{\mathrm{d}x^4} = \frac{1}{E J} \left( q(x) + \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x}\right)$$
-che, introducendo le espressioni dei carichi distribuiti, diventa
-$$\frac{\mathrm{d^4}w}{\mathrm{d}x^4} = \frac{1}{E J} \left( \frac{\Delta q}{l} x  + q_1 + \frac{\Delta m}{l}\right)$$
-Integrando tale relazione otteniamo
-$$\frac{\mathrm{d^3}w}{\mathrm{d}x^3} = \frac{1}{E J} \left[ \frac{\Delta q}{2 \, l} x^2 + \left( q_1 + \frac{\Delta m}{l}\right) x \right] + C_1 $$
-$$\frac{\mathrm{d^2}w}{\mathrm{d}x^2} = \frac{1}{E J} \left[ \frac{\Delta q}{6 \, l} x^3 + \left( q_1 + \frac{\Delta m}{l}\right) \frac{x^2}{2} \right] + C_1 \, x + C_2$$
-$$\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{E J} \left[ \frac{\Delta q}{24 \, l} x^4 + \left( q_1 + \frac{\Delta m}{l}\right) \frac{x^3}{6} \right] + \frac{C_1}{2} x^2 + C_2 \, x + C_3$$
-$$w(x) = \frac{1}{E J} \left[ \frac{\Delta q}{120 \, l} x^5 + \left( q_1 + \frac{\Delta m}{l}\right) \frac{x^4}{24} \right] + \frac{C_1}{6} x^3 + \frac{C_2}{2} x^2 + C_3 \, x + C_4$$
-Il momento è dato da
-$$M(x) = - EJ \frac{\mathrm{d^2}w}{\mathrm{d}x^2} = -\frac{\frac{x^3 \Delta q}{6} + \frac{x^2 \Delta m}{2}}{l} - E J (C_2 + x C_1) - \frac{x^2 q_1}{2}$$
-ed il taglio
-$$T(x) = m_1 - E J C_1 - x q_1 - \frac{x^2 \Delta q}{2 l}$$
-Passiamo ora al calcolo della componente dello spostamento lungo l'asse x. Si parte stavolta dall'equilibrio a traslazione orizzontale di un tratto infinitesimo di trave
-$$\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}x} = - p(x) = - \left( \frac{\Delta p}{l} x + p_1 \right)$$
-Integrando otteniamo
-$$N(x) = - \frac{\Delta p}{2 l} x^2 - p_1 \, x  + C_5$$
-Ricordando la relazione tra sforzo normale e derivata prima dello spostamento assiale scriviamo
-$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{EA} \left( - \frac{\Delta p}{2 l} x^2 - p_1 \, x  + C_5 \right)$$
-che integrata dà
-$$u(x) = \frac{1}{EA} \left( - \frac{\Delta p}{6 l} x^3 - \frac{p_1}{2} x^2  + C_5 \, x \right) + C_6$$
-Ricapitolando, abbiamo ottenuto gli spostamenti
-$$u(x) = \frac{1}{EA} \left( - \frac{\Delta p}{6 l} x^3 - \frac{p_1}{2} x^2  + C_5 \, x \right) + C_6$$
-$$w(x) = \frac{1}{E J} \left[ \frac{\Delta q}{120 \, l} x^5 + \left( q_1 + \frac{\Delta m}{l}\right) \frac{x^4}{24} \right] + \frac{C_1}{6} x^3 + \frac{C_2}{2} x^2 + C_3 \, x + C_4$$
-$$\theta (x) =
-- \frac{1}{E J} \left[ \frac{\Delta q}{24 \, l} x^4 + \left( q_1 + \frac{\Delta m}{l}\right) \frac{x^3}{6} \right] - \frac{C_1}{2} x^2 - C_2 \, x - C_3$$
-e le caratteristiche di sollecitazione
-$$N(x) = - \frac{\Delta p}{2 l} x^2 - p_1 \, x  + C_5$$
-$$T(x) = - \frac{\Delta q}{2 l} x^2 - q_1 x + m_1 - E J C_1 $$
-$$M(x) = - \frac{\Delta q}{6 l} x^3 - \left(  q_1 + \frac{\Delta m}{l} \right) \frac{x^2}{2}  - E J (C_1 x + C_2)$$
-Per determinare le costanti di integrazione $C_1$, $C_2$, $C_3$, $C_4$, $C_5$ e $C_6$, dobbiamo imporre 6 condizioni al contorno, ciascuna delle quali potrà essere:
-  * di tipo //cinematico//, se riguarda uno degli spostamenti,
-  * di tipo //statico//, se riguarda una delle caratteristiche di sollecitazione.

Il wiki di IngegneriaLibera

Strumenti Utente

Strumenti Sito

Differenze

Strumenti Pagina