Per il calcolo semplificato del carico di rottura di un sistema di travi si assumono le seguenti ipotesi semplificative:
La formulazione generale del principio dei lavori virtuali è
$$L_{v,e} = L_{v,i} \Longrightarrow \sum \limits_i F_i^{(a)} \eta_i^{(b)} = \int \limits N^{(a)} \varepsilon_{G}^{(b)} \, \mathrm{d}s + \int \limits T^{(a)} \gamma_{m}^{(b)} \, \mathrm{d}s + \int \limits M^{(a)} \chi^{(b)} \, \mathrm{d}s$$
in cui:
Supponiamo che il sistema $(b)$ sia in condizioni di collasso ossia che si siano formate un numero di cerniere plastiche $n$ tale da creare un cinematismo. In tali condizioni il lavoro virtuale interno può essere suddiviso in due aliquote: una relativa alle cerniere plastiche ed una relativa ai tratti di travi che le collegano. Una volta creato il cinematismo di collasso la prima della due componenti è predominante sulla seconda. Trascurando il lavoro virtuale associato al taglio e allo sforzo normale possiamo allora scrivere
$$L_{v,i} \approx \sum \limits M_{i}^{(a)} \dot{\theta}_{col,i}^{(b)}$$
e quindi
$$\sum \limits_i F_i^{(a)} \dot{\eta}_i^{(b)} = \sum \limits_i M_{i}^{(a)} \dot{\theta}_{col,i}^{(b)}$$
Lo stato di sollecitazione di una sistema di travi è definito staticamente ammissibile se è:
Chiameremo moltiplicatore statico il valore $\lambda_{stat}$ del moltiplicatore dei carichi associato ad uno stato di sollecitazione staticamente ammissibile.
Indichiamo invece con $\lambda_{col}$ il moltiplicatore dei carichi reale della struttura al collasso.
Il teorema statico dell'analisi limite afferma che il moltiplicatore statico è un minorante del moltiplicatore di collasso, vale a dire
$$\lambda_{stat} \le \lambda_{col}$$
Per dimostrarlo applichiamo il PLV assumendo come sistema $(a)$ la struttura nello stato di sollecitazione staticamente ammissibile (pedice $stat$) e come sistema sistema $(b)$ il sistema nelle condizioni di collasso (pedice $col$). Sotto tali ipotesi
$$\lambda_{stat} \sum \limits_{j=1}^{Nf} F_j \, \dot{\eta}_{col,j} = \sum \limits_{i=1}^{Ncp} M_{stat,i} \, \dot{\theta}_{col,i} $$
in cui:
A seguire applichiamo nuovamente il PLV assumendo la struttura al collasso sia come sistema $(a)$ che sistema $(b)$. In tal caso
$$\lambda_{col} \sum \limits_{j=1}^{Nf} F_j \dot{\eta}_{col,i} = \sum \limits_{i=1}^{Ncp} M_{p,i} \dot{\theta}_{col,i} $$
Si dimostra che è sempre verificata la disuguaglianza
$$\sum \limits_{i=1}^{Ncp} M_{stat,i} \, \dot{\theta}_{col,i} \le \sum \limits_{i=1}^{Ncp} M_{p,i} \dot{\theta}_{col,i}$$
Infatti se $M_{stat,i}$ è discorde rispetto a $\dot{\theta}_{col,i}$, poiché invece $M_{p,i}$ e $\dot{\theta}_{col,i}$ sono concordi, il prodotto $M_{stat,i} \dot{\theta}_{col,i}$ sarà negativo ed il prodotto $M_{p,i} \dot{\theta}_{p,i}$ positivo. Quindi
$$M_{stat,i} \dot{\theta}_{col,i} \le M_{p,i} \dot{\theta}_{p,i}$$
Analogamente tale disuguaglianza è verificata anche se $M_{stat,i}$ è concorde rispetto a $\dot{\theta}_{col,i}$. Infatti in tal caso l'ipotesi $\lvert M_{stat,i} \lvert \le \lvert M_{p,i} \lvert$, unita alla concordanza di segno tra $\dot{\theta}_{p,i}$, $M_{stat,i}$ e $M_{p,i}$ ci permettono nuovamente di scrivere
$$M_{stat,i} \dot{\theta}_{col,i} \le M_{p,i} \dot{\theta}_{p,i}$$
La disuguaglianza appena scritta è quindi sempre verificata.
Sommando i prodotti di tale disuguaglianza su tutte le cerniere plastiche della struttura al collasso otteniamo
$$\sum \limits_{i=1}^{Ncp} M_{stat,i} \dot{\theta}_{col,i} \le \sum \limits_{i=1}^{Ncp} M_{p,i} \dot{\theta}_{p,i}$$
Osservando le due equazione scritte sopra applicando il PLV possiamo allora scrivere
$$\lambda_{stat} \sum \limits_{j=1}^{Nf} F_j \dot{\eta}_{col,j} \le \lambda_{col} \sum \limits_{j=1}^{Nf} F_j \dot{\eta}_{col,j}$$
da cui, semplificando la somma $\sum \limits_{j=1}^{Nf} F_j \dot{\eta}_{col,j}$, deriviamo la formulazione del teorema statico vista sopra
$$\lambda_{stat} \le \lambda_{col}$$
Ecco i passi da seguire per il calcolo del moltiplicatore staticamente ammissibile di un sistema di travi applicando il teorema statico:
Per come è stata costruita, la distribuzione dei momenti così trovata è sicuramente staticamente ammissibile.
Chiameremo meccanismo cinematicamente ammissibile di un sistema di travi il sistema ottenuto introducendo un numero di cerniere plastiche necessario e sufficiente a trasformare la struttura in labile disposte in maniera da avere una potenza esterna positiva.
Il moltiplicatore dei carichi associato ad un meccanismo cinematismo ammissibile $\lambda_{cin}$ è detto moltiplicatore cinematico.
Il teorema cinematico dell'analisi limite afferma che un moltiplicatore cinematico è sempre maggiore del moltiplicatore di collasso
$$\lambda_{col} \le \lambda_{cin}$$
Per dimostrarlo applichiamo il PLV assumendo come sistema $(a)$ la struttura reale al collasso e come sistema sistema $(b)$ il meccanismo cinematicamente ammissibile (pedice $cin$). Sotto tali ipotesi
$$\lambda_{col} \sum \limits_{j=1}^{Nf} F_j \dot{\eta}_{cin,j} = \sum \limits_{i=1}^{Ncp} M_{col,i} \dot{\theta}_{cin,i} $$
in cui:
A seguire applichiamo nuovamente il PLV assumendo il meccanismo cinematicamente ammissibile sia come sistema $(a)$ che sistema $(b)$. In tal caso
$$\lambda_{cin} \sum \limits_{j=1}^{Nf} F_j \dot{\eta}_{cin,j} = \sum \limits_{i=1}^{Ncp} M_{p,i} \dot{\theta}_{cin,i}$$
Poiché:
possiamo scrivere che
$$\sum \limits_{i=1}^{Ncp} M_{col,i} \, \dot{\theta}_{cin,i} \le \sum \limits_{i=1}^{Ncp} M_{p,i} \, \dot{\theta}_{cin,i}$$
Dalle equazioni scritte sopra applicando il PLV otteniamo infine il teorema cinematico
$$\lambda_{col} \sum \limits_{j=1}^{Nf} F_j \, \dot{\eta}_j \le \lambda_{cin} \sum \limits_{j=1}^{Nf} F_{j} \, \dot{\eta}_j \Longrightarrow \lambda_{col} \le \lambda_{cin}$$
Ecco i passi da seguire per il calcolo del moltiplicatore staticamente ammissibile di un sistema di travi applicando il teorema cinematico:
Il teorema misto dell'analisi limite afferma che se un moltiplicatore staticamente ammissibile è uguale ad un moltiplicatore cinematicamente ammissibile, tale valore è il moltiplicatore di collasso della struttura.
La dimostrazione del teorema misto discende direttamente dall'applicazione dei teoremi statico e cinematico.
Poiché per il teorema statico
$$\lambda_{stat} \le \lambda_{col}$$
e per il teorema cinematico
$$\lambda_{col} \le \lambda_{cin}$$
se
$$\lambda_{stat} = \lambda_{cin}$$
allora
$$\lambda_{stat} = \lambda_{cin} = \lambda_{col}$$
Se quindi dopo aver trovato una distribuzione dei momenti in equilibrio con le forze esterne che rispetta la condizione $\lvert M_{i} \lvert \le M_{p,i}$ (teorema statico), verifichiamo che introducendo nella struttura delle cerniere plastiche nei punti in cui $\lvert M_i \lvert = M_{p,i}$ otteniamo un cinematismo ammissibile (la potenza virtuale interna è positiva per ciascuna cerniera plastica), allora il moltiplicatore trovato è il moltiplicatore di collasso della struttura.
Analogamente, se dopo aver individuato un cinematismo ammissibile (teorema cinematico) verifichiamo che la distribuzione del momento rispetta la condizione $\lvert M_i \lvert \le M_{p,i}$, allora il moltiplicatore trovato è il moltiplicatore di collasso della struttura.