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scienza_costruzioni:travi:analisi_limite

Analisi limite di un sistema di travi

Ipotesi semplificative

Per il calcolo semplificato del carico di rottura di un sistema di travi si assumono le seguenti ipotesi semplificative:

  1. in ogni sezione, è possibile raggiungere il momento plastico pari a $M_p= f_d \, Z$; $Z$ è il modulo resistente plastico;
  2. raggiunto il momento plastico le sezioni conservano sufficiente capacità rotazionale (duttilità); la sezione è quindi composta da un materiale con legge costitutiva plastica con un tratto plastico marcato; questa condizioni ad esempio non si verifica nel caso del vetro o del semplice calcestruzzo; anche però nel caso di sezioni in c.a. dovremo effettuare alcune verifiche per essere sicuri della sussistenza di questa ipotesi; dovremo limitare infatti del rapporto $x/d$ tra l'altezza del cls reagente $x$ e l'altezza utile $d$;
  3. le cerniere plastiche sono concentrate in un punto anche se, in realtà, sono distribuite su un tratto finito di trave con una larghezza che varia tra 0,5 e 1,5 volte l'altezza della sezione;
  4. le connessioni strutturali sono in grado di trasmettere completamente il momento plastico;
  5. il momento plastico non è influenzato dalla presenza di sforzo normale e taglio, né dalla presenza di forze concentrate; potremo perciò verificare che la sollecitazione sia all'interno del dominio di resistenza semplicemente verificando che $\lvert M_i \lvert \le M_{p,i}$; volendo tener conto della presenza dello sforzo normale, nel caso di sezioni in acciaio in classe 1 o 2, dovremmo invece verificare la condizione $ M_i / M_{p,i} + \left( N_i / N_{p,i} \right) ^ 2 \le 1$, più complessa da gestire; dal punto di vista pratico questo vuol dire che l'analisi plastica, così come la vedremo nel seguito, non potrà essere applicata per valutare lo sforzo agente nei pilastri di una struttura;
  6. il collasso non avviene per fenomeni di instabilità locale; ipotesi molto delicata nel caso di strutture in acciaio dove l'applicazione del calcolo plastica all'analisi struturale presuppone che le sezioni siano tutte in classe 1;
  7. le deformazioni “a collasso” sono ininfluenti sulla geometria delle azioni (piccole deofrmazioni); dal punto di vista computazionale questa ipotesi ci permetterà di applicare il principio di sovrapposizione degli effetti usando le equazioni di equilibrio scritte con riferimento alla configurazione non deformata; quest'ipotesi equivale a poter trascurare gli effetti del second'ordine;
  8. i carichi crescono linearmente, rimanendo proporzionali; il principio di sovrapposizione degli effetti non è applicabile essendo venuta meno l'ipotesi elastico-lineare; è quindi necessario definire una storia di carico cui sottoporre la strutture; supponiamo quindi che i carichi aumentino in maniera lineare;
  9. le connessioni sono in grado di trasmettere interamente il momento plastico.

Il principio dei lavori virtuali in condizioni di collasso

La formulazione generale del principio dei lavori virtuali è

$$L_{v,e} = L_{v,i} \Longrightarrow \sum \limits_i F_i^{(a)} \eta_i^{(b)} = \int \limits N^{(a)} \varepsilon_{G}^{(b)} \, \mathrm{d}s + \int \limits T^{(a)} \gamma_{m}^{(b)} \, \mathrm{d}s + \int \limits M^{(a)} \chi^{(b)} \, \mathrm{d}s$$

in cui:

  • il sistema $(a)$ rispetta le condizioni di equilibrio interne ed esterne, e lo chiameremo perciò equilibrato
  • il sistema $(b)$ rispetta i vincoli (interni ed esterni) e le equazioni di congruenza, e lo chiameremo perciò congruente e compatibile

Supponiamo che il sistema $(b)$ sia in condizioni di collasso ossia che si siano formate un numero di cerniere plastiche $n$ tale da creare un cinematismo. In tali condizioni il lavoro virtuale interno può essere suddiviso in due aliquote: una relativa alle cerniere plastiche ed una relativa ai tratti di travi che le collegano. Una volta creato il cinematismo di collasso la prima della due componenti è predominante sulla seconda. Trascurando il lavoro virtuale associato al taglio e allo sforzo normale possiamo allora scrivere

$$L_{v,i} \approx \sum \limits M_{i}^{(a)} \dot{\theta}_{col,i}^{(b)}$$

e quindi

$$\sum \limits_i F_i^{(a)} \dot{\eta}_i^{(b)} = \sum \limits_i M_{i}^{(a)} \dot{\theta}_{col,i}^{(b)}$$

Teorema statico dell'analisi limite

Lo stato di sollecitazione di una sistema di travi è definito staticamente ammissibile se è:

  1. equilibrato; sono soddisfatte le condizioni di equilibrio con i carichi esterni
  2. plasticamente ammissibile; in ciascuna sezione le caratteristiche di sollecitazione si trovano all'interno del dominio di resistenza; semplificando il problema riterremo soddisfatta questa condizione se $\lvert M_i \lvert < M_{p,i}$

Chiameremo moltiplicatore statico il valore $\lambda_{stat}$ del moltiplicatore dei carichi associato ad uno stato di sollecitazione staticamente ammissibile.

Indichiamo invece con $\lambda_{col}$ il moltiplicatore dei carichi reale della struttura al collasso.

Il teorema statico dell'analisi limite afferma che il moltiplicatore statico è un minorante del moltiplicatore di collasso, vale a dire

$$\lambda_{stat} \le \lambda_{col}$$

Per dimostrarlo applichiamo il PLV assumendo come sistema $(a)$ la struttura nello stato di sollecitazione staticamente ammissibile (pedice $stat$) e come sistema sistema $(b)$ il sistema nelle condizioni di collasso (pedice $col$). Sotto tali ipotesi

$$\lambda_{stat} \sum \limits_{j=1}^{Nf} F_j \, \dot{\eta}_{col,j} = \sum \limits_{i=1}^{Ncp} M_{stat,i} \, \dot{\theta}_{col,i} $$

in cui:

  • $\lvert M_{stat,i} \lvert \le \lvert M_{p,i} \lvert$
  • $N_f$ è il numero delle forze esterne $F_{j}$ applicate
  • $\dot{\eta}_{col,j}$ è la velocità con cui si muove il punto di applicazione della forza $F_{j}$, proiettata lungo la direzione di applicazione della forza, nella struttura al collasso
  • $N_{cp}$ è il numero di sezioni $i$, nella struttura al collasso, in cui si raggiunge il relativo momento plastico $M_{p,i}$
  • $\theta_{col,i}$ è le velocità di rotazione nella sezione della struttura al collasso in cui si raggiunge la plasticizzazione.

A seguire applichiamo nuovamente il PLV assumendo la struttura al collasso sia come sistema $(a)$ che sistema $(b)$. In tal caso

$$\lambda_{col} \sum \limits_{j=1}^{Nf} F_j \dot{\eta}_{col,i} = \sum \limits_{i=1}^{Ncp} M_{p,i} \dot{\theta}_{col,i} $$

Si dimostra che è sempre verificata la disuguaglianza

$$\sum \limits_{i=1}^{Ncp} M_{stat,i} \, \dot{\theta}_{col,i} \le \sum \limits_{i=1}^{Ncp} M_{p,i} \dot{\theta}_{col,i}$$

Infatti se $M_{stat,i}$ è discorde rispetto a $\dot{\theta}_{col,i}$, poiché invece $M_{p,i}$ e $\dot{\theta}_{col,i}$ sono concordi, il prodotto $M_{stat,i} \dot{\theta}_{col,i}$ sarà negativo ed il prodotto $M_{p,i} \dot{\theta}_{p,i}$ positivo. Quindi

$$M_{stat,i} \dot{\theta}_{col,i} \le M_{p,i} \dot{\theta}_{p,i}$$

Analogamente tale disuguaglianza è verificata anche se $M_{stat,i}$ è concorde rispetto a $\dot{\theta}_{col,i}$. Infatti in tal caso l'ipotesi $\lvert M_{stat,i} \lvert \le \lvert M_{p,i} \lvert$, unita alla concordanza di segno tra $\dot{\theta}_{p,i}$, $M_{stat,i}$ e $M_{p,i}$ ci permettono nuovamente di scrivere

$$M_{stat,i} \dot{\theta}_{col,i} \le M_{p,i} \dot{\theta}_{p,i}$$

La disuguaglianza appena scritta è quindi sempre verificata.

Sommando i prodotti di tale disuguaglianza su tutte le cerniere plastiche della struttura al collasso otteniamo

$$\sum \limits_{i=1}^{Ncp} M_{stat,i} \dot{\theta}_{col,i} \le \sum \limits_{i=1}^{Ncp} M_{p,i} \dot{\theta}_{p,i}$$

Osservando le due equazione scritte sopra applicando il PLV possiamo allora scrivere

$$\lambda_{stat} \sum \limits_{j=1}^{Nf} F_j \dot{\eta}_{col,j} \le \lambda_{col} \sum \limits_{j=1}^{Nf} F_j \dot{\eta}_{col,j}$$

da cui, semplificando la somma $\sum \limits_{j=1}^{Nf} F_j \dot{\eta}_{col,j}$, deriviamo la formulazione del teorema statico vista sopra

$$\lambda_{stat} \le \lambda_{col}$$

Schema per il calcolo del carico a rottura con il metodo statico

Ecco i passi da seguire per il calcolo del moltiplicatore staticamente ammissibile di un sistema di travi applicando il teorema statico:

  • scegliere le incognite iperstatiche; per semplificare la risoluzione del sistema lineare associato che troveremo al punto successivo è preferibile scegliere come incognite iperstatiche i momenti (cerniera con due coppie uguali ed opposte ai lati)
  • tracciare il diagramma di momento della struttura principale - $M_0$
  • tracciare i diagrammi di momento dovuti alle incognite iperstatiche agenti sulla struttura principale - $M_i$
  • combinare linearmente i diagrammi così ottenuti ($M_0 + \sum \limits_i X_i \, M_i$), scegliendo il valore delle iperstatiche $X_i$ in modo che risulti in ogni punto della struttura $\lvert M \lvert \le M_p$

Per come è stata costruita, la distribuzione dei momenti così trovata è sicuramente staticamente ammissibile.

Teorema cinematico dell'analisi limite

Chiameremo meccanismo cinematicamente ammissibile di un sistema di travi il sistema ottenuto introducendo un numero di cerniere plastiche necessario e sufficiente a trasformare la struttura in labile disposte in maniera da avere una potenza esterna positiva.

Il moltiplicatore dei carichi associato ad un meccanismo cinematismo ammissibile $\lambda_{cin}$ è detto moltiplicatore cinematico.

Il teorema cinematico dell'analisi limite afferma che un moltiplicatore cinematico è sempre maggiore del moltiplicatore di collasso

$$\lambda_{col} \le \lambda_{cin}$$

Per dimostrarlo applichiamo il PLV assumendo come sistema $(a)$ la struttura reale al collasso e come sistema sistema $(b)$ il meccanismo cinematicamente ammissibile (pedice $cin$). Sotto tali ipotesi

$$\lambda_{col} \sum \limits_{j=1}^{Nf} F_j \dot{\eta}_{cin,j} = \sum \limits_{i=1}^{Ncp} M_{col,i} \dot{\theta}_{cin,i} $$

in cui:

  • $\lvert M_{col,i} \lvert \le \vert M_{p,i} \vert$
  • $N_{cp}$ è il numero di cerniere plastiche del cinematismo ammissibile
  • $\dot{\theta}_{cin,i}$ sono le velocità di rotazione delle cerniere plastiche del cinematismo ammissibile

A seguire applichiamo nuovamente il PLV assumendo il meccanismo cinematicamente ammissibile sia come sistema $(a)$ che sistema $(b)$. In tal caso

$$\lambda_{cin} \sum \limits_{j=1}^{Nf} F_j \dot{\eta}_{cin,j} = \sum \limits_{i=1}^{Ncp} M_{p,i} \dot{\theta}_{cin,i}$$

Poiché:

  • $\lvert M_{col,i} \vert \le \vert M_{p,i} \vert$
  • nel cinematismo ammissibile le velocità di rotazione $\dot{\theta}_{cin,i}$ sono concordi con i momenti plastici $M_{p,i}$,

possiamo scrivere che

$$\sum \limits_{i=1}^{Ncp} M_{col,i} \, \dot{\theta}_{cin,i} \le \sum \limits_{i=1}^{Ncp} M_{p,i} \, \dot{\theta}_{cin,i}$$

Dalle equazioni scritte sopra applicando il PLV otteniamo infine il teorema cinematico

$$\lambda_{col} \sum \limits_{j=1}^{Nf} F_j \, \dot{\eta}_j \le \lambda_{cin} \sum \limits_{j=1}^{Nf} F_{j} \, \dot{\eta}_j \Longrightarrow \lambda_{col} \le \lambda_{cin}$$

Schema per il calcolo del carico a rottura con il metodo cinematico

Ecco i passi da seguire per il calcolo del moltiplicatore staticamente ammissibile di un sistema di travi applicando il teorema cinematico:

  • introdurre nella struttura un numero di cerniere plastiche sufficienti a realizzare un cinematismo (cerniera con due coppie uguali ed opposte ai lati di valore pari ai momenti plastici della sezione nel punto), determinando una labilità anche solo localizzata
  • determinare il cinemtismo corrispondente verificando che ciascuna cerniera compi un lavoro interno positivo
  • determinare il moltiplicatore $\lambda_{cin}$ imponendo l'uguaglianza tra il lavoro virtuale interno e quello esterno

Teorema misto dell'analisi limite

Il teorema misto dell'analisi limite afferma che se un moltiplicatore staticamente ammissibile è uguale ad un moltiplicatore cinematicamente ammissibile, tale valore è il moltiplicatore di collasso della struttura.

La dimostrazione del teorema misto discende direttamente dall'applicazione dei teoremi statico e cinematico.

Poiché per il teorema statico

$$\lambda_{stat} \le \lambda_{col}$$

e per il teorema cinematico

$$\lambda_{col} \le \lambda_{cin}$$

se

$$\lambda_{stat} = \lambda_{cin}$$

allora

$$\lambda_{stat} = \lambda_{cin} = \lambda_{col}$$

Se quindi dopo aver trovato una distribuzione dei momenti in equilibrio con le forze esterne che rispetta la condizione $\lvert M_{i} \lvert \le M_{p,i}$ (teorema statico), verifichiamo che introducendo nella struttura delle cerniere plastiche nei punti in cui $\lvert M_i \lvert = M_{p,i}$ otteniamo un cinematismo ammissibile (la potenza virtuale interna è positiva per ciascuna cerniera plastica), allora il moltiplicatore trovato è il moltiplicatore di collasso della struttura.

Analogamente, se dopo aver individuato un cinematismo ammissibile (teorema cinematico) verifichiamo che la distribuzione del momento rispetta la condizione $\lvert M_i \lvert \le M_{p,i}$, allora il moltiplicatore trovato è il moltiplicatore di collasso della struttura.

Corollari dei teoremi fondamentali dell’analisi limite

  1. Eventuali distorsioni e/o cedimenti vincolari non modificano il moltiplicatore di collasso $\lambda_{col}$. Quanto sopra vale però sempre nell'ambito dell'ipotesi di piccoli spostamenti.
  2. Le proprietà elastiche della struttura non influenzano il valore del moltiplicatore di collasso $\lambda_{col}$. Nelle dimostrazioni abbiamo infatti fatto riferimento ad una legge costitutiva elasto-plastica, senza tener conto del comportamento nell'iniziale tratto elastico. Occorre però verificare che le deformazioni elastiche non risultino eccessive, compromettendo l'ipotesi di piccole deformazioni.
  3. L’aggiunta di una qualunque porzione di materiale alla struttura (rinforzo della struttura) non può provocare una diminuzione del moltiplicatore di collasso $\lambda_{col}$ (lemma di Feinber). Infatti non viene modificato il diagramma del momento, al più l’aggiunta di materiale non può che far aumentare $M_{p,i}$ in qualche sezione. Analogamente, l’eliminazione di una porzione di materiale non può provocare un aumento del valore del moltiplicatore di collasso.
  4. L’aumento in una qualunque sezione della tensione di snervamento $f_d$ del materiale non può comportare una diminuzione del moltiplicatore di collasso $\lambda_{col}$. Analogamente la riduzione della tensione $f_d$non può fare aumentare il moltiplicatore di collasso. Corollario assolutamente analogo al precedente.

scienza_costruzioni/travi/analisi_limite.txt · Ultima modifica: 2013/11/06 09:14 da mickele

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