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--- scienza_costruzioni:torsione [2015/07/01 15:38]
mickele [Torsione di travi a sezione sottile aperta]
+++ scienza_costruzioni:torsione [2021/06/13 13:08] (versione attuale)
@@ Linea 195: / Linea 195: @@
 ===== Torsione di travi a sezione sottile chiusa =====
+Prima di analizzare direttamente l'oggetto del paragrafo, abbiamo bisogno di derivare alcune osservazioni da una delle euqazioni indefinite di equilibrio
 $$\frac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial z} + f_x = 0$$
@@ Linea 208: / Linea 210: @@
 in cui $\Sigma$ è l'area delimitata da una linea chiusa $\Lambda$ interna alla sezione. Risulta quindi nullo il flusso di $\mathbf{\tau}$ attraverso una qualunque linea chiusa $\Lambda$.
-Nel caso di sezioni sottili di forma chiusa, la tensione tangenziale è pari a
+Considerando una sezione sottile chiusa, isoliamo un tratto di sezione compreso tra le corde 1 e 2. La nullità del flusso di $\mathbf{\tau}$ ci permette di scrivere
+$$- \bar{\tau}_1 \, t_1 =  \bar{\tau}_2 \, t_2 $$
+L'arbitrarietà adottata nella scelta dei tratti ci permette di affermare che il prodotto $\tau \, t$ è costante lungo tutta la sezione.
+Integriamo le tensioni tangenziali di modo da determinare il momento torcente risultante rispetto ad un punto arbitrario O
+$$M_x = \oint  \tau \, t \, r_O \, \cos \alpha \, \mathrm{d}s  = \left( \tau \, t \right)_{const} \oint  r_O \, \cos \alpha \, \mathrm{d}s = \left( \tau \, t \right)_{const} \, 2 \, \Omega_m$$
+in cui $\Omega_m$ è l'area descritta dalla mediana della sezione sottile.
+Nel caso di sezioni sottili di forma chiusa e spessore costante $t$, la tensione tangenziale è pari a
+$$\tau = \frac{M_x}{2 \Omega_m \, t}$$
+Per calcolare la rigidezza torsionale della sezione applichiamo il principio dei lavori virtuali uguagliando il lavoro virtuale interno a quello esterno
+$$M_x \, \Theta_x = \iint \limits_\Sigma \tau \, \gamma \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iint \limits_\Sigma \frac{1}{G} \frac{M_x}{4 \, \Omega_m^2 \, t_0^2}  \; \mathrm{d}s \mathrm{d}t = \frac{M_x}{4 \, G \, \Omega_m^2} \int \limits_\Lambda  \frac{1}{t_0^2} \left( \int \limits_{-t_0 / 2}^{t_0 / 2}  \; \mathrm{d}t \right) \mathrm{d}s = \frac{M_x}{4 \, G \, \Omega_m^2} \int \limits_\Lambda  \frac{1}{t_0} \mathrm{d}s  $$
+da cui
+$$ \Theta_x = \frac{1}{4 \, G \, \Omega_m^2} \int \limits_\Lambda  \frac{1}{t_0} \mathrm{d}s  $$
+Nel caso di sezione sottile chiusa con spessore costante $t$, la formula si semplifica diventando
+$$ \Theta_x = \frac{1}{4 \, G} \frac{\Lambda}{t \, \Omega_m^2 }  $$
+in cui $\Lambda$ è la lunghezza della mediana della sezione.
+===== Esempi applicativi =====
+  * [[scienza costruzioni:torsione esempio01|Esempio 1]]
-$$\tau_{max} = \frac{M_x}{2 A \, t}$$

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