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--- scienza_costruzioni:torsione [2013/11/14 11:58]
mickele [Torsione di travi generiche]
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@@ Linea 179: / Linea 179: @@
 Nota $\omega(x,y)$, calcoliamo $y_c$ e $z_c$.
 ===== Torsione di travi a sezione sottile aperta =====
+In generale possiamo scrivere l'espressione
+$$\Theta_x = \frac{M_x}{G\, I_T}$$
+in cui abbiamo introdotto il momento di inerzia torsionale $I_T$.
+Applicando la teoria vista al paragrafo precedente, per profili sottili il momento di inerzia torsionale vale
+$$I_T = \frac{1}{3} \sum \limits_i b_i t_i^3 $$
+Nel caso di spessore costante $t_i = t$, la tensione tangenziale massima è pari a
+$$\tau_{max} = \frac{M_x \, t}{I_T} = \frac{3 \, M_x}{t^2 \, \sum \limits_i b_i}$$
 ===== Torsione di travi a sezione sottile chiusa =====
+Prima di analizzare direttamente l'oggetto del paragrafo, abbiamo bisogno di derivare alcune osservazioni da una delle euqazioni indefinite di equilibrio
+$$\frac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial z} + f_x = 0$$
+Poiché $\sigma_x = 0$ e $f_x = 0$,
+$$\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial z} = 0$$
+Applicando il teorema di Green, con la posizione $\mathbf{\tau} = \left( \tau_{xy}, \tau_{xz} \right) $
+$$ \int \limits_{\Sigma} \left( \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial z} \right) \, \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \oint \limits_{\Lambda} \mathbf{\tau} \cdot \mathbf{n} \, \mathrm{d}s  = 0$$
+in cui $\Sigma$ è l'area delimitata da una linea chiusa $\Lambda$ interna alla sezione. Risulta quindi nullo il flusso di $\mathbf{\tau}$ attraverso una qualunque linea chiusa $\Lambda$.
+Considerando una sezione sottile chiusa, isoliamo un tratto di sezione compreso tra le corde 1 e 2. La nullità del flusso di $\mathbf{\tau}$ ci permette di scrivere
+$$- \bar{\tau}_1 \, t_1 =  \bar{\tau}_2 \, t_2 $$
+L'arbitrarietà adottata nella scelta dei tratti ci permette di affermare che il prodotto $\tau \, t$ è costante lungo tutta la sezione.
+Integriamo le tensioni tangenziali di modo da determinare il momento torcente risultante rispetto ad un punto arbitrario O
+$$M_x = \oint  \tau \, t \, r_O \, \cos \alpha \, \mathrm{d}s  = \left( \tau \, t \right)_{const} \oint  r_O \, \cos \alpha \, \mathrm{d}s = \left( \tau \, t \right)_{const} \, 2 \, \Omega_m$$
+in cui $\Omega_m$ è l'area descritta dalla mediana della sezione sottile.
+Nel caso di sezioni sottili di forma chiusa e spessore costante $t$, la tensione tangenziale è pari a
+$$\tau = \frac{M_x}{2 \Omega_m \, t}$$
+Per calcolare la rigidezza torsionale della sezione applichiamo il principio dei lavori virtuali uguagliando il lavoro virtuale interno a quello esterno
+$$M_x \, \Theta_x = \iint \limits_\Sigma \tau \, \gamma \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iint \limits_\Sigma \frac{1}{G} \frac{M_x}{4 \, \Omega_m^2 \, t_0^2}  \; \mathrm{d}s \mathrm{d}t = \frac{M_x}{4 \, G \, \Omega_m^2} \int \limits_\Lambda  \frac{1}{t_0^2} \left( \int \limits_{-t_0 / 2}^{t_0 / 2}  \; \mathrm{d}t \right) \mathrm{d}s = \frac{M_x}{4 \, G \, \Omega_m^2} \int \limits_\Lambda  \frac{1}{t_0} \mathrm{d}s  $$
+da cui
+$$ \Theta_x = \frac{1}{4 \, G \, \Omega_m^2} \int \limits_\Lambda  \frac{1}{t_0} \mathrm{d}s  $$
+Nel caso di sezione sottile chiusa con spessore costante $t$, la formula si semplifica diventando
+$$ \Theta_x = \frac{1}{4 \, G} \frac{\Lambda}{t \, \Omega_m^2 }  $$
+in cui $\Lambda$ è la lunghezza della mediana della sezione.
+===== Esempi applicativi =====
+  * [[scienza costruzioni:torsione esempio01|Esempio 1]]

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