scienza_costruzioni:torsione
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scienza_costruzioni:torsione [2015/07/06 13:27] mickele [Torsione di travi a sezione sottile chiusa] |
scienza_costruzioni:torsione [2021/06/13 13:08] |
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Linea 1: | Linea 1: | ||
- | ====== Torsione ====== | ||
- | ===== Torsione di travi a sezione circolare ===== | ||
- | |||
- | Supponiamo che la soluzione sia definita dal seguente campo di spostamenti | ||
- | |||
- | $$\mathbf{\eta} = | ||
- | \begin{Bmatrix} | ||
- | u \\\\ | ||
- | v \\\\ | ||
- | w | ||
- | \end{Bmatrix} = | ||
- | \begin{Bmatrix} | ||
- | 0 \\\\ | ||
- | - \Theta_x \, x \, z \\\\ | ||
- | \Theta_x \, x \, y | ||
- | \end{Bmatrix}$$ | ||
- | |||
- | Otteniamo di conseguenza il seguente campo deformativo | ||
- | |||
- | $$\mathbf{\epsilon} = | ||
- | \begin{Bmatrix} | ||
- | \epsilon_x \\\\ | ||
- | \epsilon_y \\\\ | ||
- | \epsilon_z \\\\ | ||
- | \gamma_{xy} \\\\ | ||
- | \gamma_{xz} \\\\ | ||
- | \gamma_{yz} | ||
- | \end{Bmatrix} = | ||
- | \begin{Bmatrix} | ||
- | 0 \\\\ | ||
- | 0 \\\\ | ||
- | 0 \\\\ | ||
- | - \Theta_x \, z \\\\ | ||
- | \Theta_x \, y \\\\ | ||
- | 0 | ||
- | \end{Bmatrix}$$ | ||
- | |||
- | Tale campo deformativo, | ||
- | |||
- | A sua volta associamo a questo campo deformativo il campo tensionale | ||
- | |||
- | $$\mathbf{\sigma} = | ||
- | \begin{Bmatrix} | ||
- | \sigma_x \\\\ | ||
- | \sigma_y \\\\ | ||
- | \sigma_z \\\\ | ||
- | \tau_{xy} \\\\ | ||
- | \tau_{xz} \\\\ | ||
- | \tau_{yz} | ||
- | \end{Bmatrix} = | ||
- | \begin{Bmatrix} | ||
- | 0 \\\\ | ||
- | 0 \\\\ | ||
- | 0 \\\\ | ||
- | - G \, \Theta_x \, z \\\\ | ||
- | G \, \Theta_x \, y \\\\ | ||
- | 0 | ||
- | \end{Bmatrix}$$ | ||
- | |||
- | Si verifica facilmente che questo campo tensionale rispetta le equazioni indefinite di equilibrio e le condizioni al contorno statiche. | ||
- | |||
- | Se calcoliamo il modulo dello tensione tangeziale otteniamo | ||
- | |||
- | $$\tau_x = \sqrt{\tau_{xy}^2 + \tau_{xz}^2} = G \, \Theta_x \sqrt{z^2 + y^2} = G \, \Theta_x r$$ | ||
- | |||
- | La tensione tangenziale in un punto del nostro solido è quindi proporzionale alla relativa distanza dal baricentro. | ||
- | |||
- | Integrando le tensioni agenti sulla seziona otteniamo | ||
- | |||
- | $$ \iint\limits_S (\tau_{xz} \, y - \tau_{xy} \, z) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = M_{x}$$ | ||
- | |||
- | da cui | ||
- | |||
- | $$ M_x = G\, \Theta_x \iint\limits_S ( y^2 + z^2) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = G\, \Theta_x \, I_x$$ | ||
- | |||
- | in cui $I_x$ è il momento di inerzia polare della sezione. Possiamo così calcolare l' | ||
- | |||
- | $$\Theta_x = \frac{M_x}{G\, | ||
- | |||
- | ===== Torsione di travi generiche ===== | ||
- | |||
- | $$\boldsymbol{\eta} = | ||
- | \begin{Bmatrix} | ||
- | u \\\\ | ||
- | v \\\\ | ||
- | w | ||
- | \end{Bmatrix} = | ||
- | \begin{Bmatrix} | ||
- | \Theta_x \, \omega(y,z) \\\\ | ||
- | - \Theta_x \, x \, (z - z_c) \\\\ | ||
- | \Theta_x \, x \, (y - y_c) | ||
- | \end{Bmatrix}$$ | ||
- | |||
- | $$\boldsymbol{\epsilon} = | ||
- | \begin{Bmatrix} | ||
- | \epsilon_x \\\\ | ||
- | \epsilon_y \\\\ | ||
- | \epsilon_z \\\\ | ||
- | \gamma_{xy} \\\\ | ||
- | \gamma_{xz} \\\\ | ||
- | \gamma_{yz} | ||
- | \end{Bmatrix} = | ||
- | \begin{Bmatrix} | ||
- | 0 \\\\ | ||
- | 0 \\\\ | ||
- | 0 \\\\ | ||
- | \Theta_x \left[ - (z-z_c) + \frac{\partial \omega}{\partial y} (y,z) \right] \\\\ | ||
- | \Theta_x \left[ (y-y_c) + \frac{\partial \omega}{\partial z} (y,z) \right] \\\\ | ||
- | 0 | ||
- | \end{Bmatrix}$$ | ||
- | |||
- | $$\boldsymbol{\sigma} = | ||
- | \begin{Bmatrix} | ||
- | \sigma_x \\\\ | ||
- | \sigma_y \\\\ | ||
- | \sigma_z \\\\ | ||
- | \tau_{xy} \\\\ | ||
- | \tau_{xz} \\\\ | ||
- | \tau_{yz} | ||
- | \end{Bmatrix} = | ||
- | \begin{Bmatrix} | ||
- | 0 \\\\ | ||
- | 0 \\\\ | ||
- | 0 \\\\ | ||
- | G \, \Theta_x \left[ - (z-z_c) + \frac{\partial \omega}{\partial y} (y,z) \right] \\\\ | ||
- | G \, \Theta_x \left[ (y-y_c) + \frac{\partial \omega}{\partial z} (y,z) \right] \\\\ | ||
- | 0 | ||
- | \end{Bmatrix}$$ | ||
- | |||
- | L' | ||
- | |||
- | $$\frac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial z} = 0$$ | ||
- | |||
- | ci porta a scrivere | ||
- | |||
- | $$\frac{\partial^2 \omega(y,z) }{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \omega(y,z) }{\partial z^2} = 0$$ | ||
- | |||
- | Sulla superficie esterna del solido abbiamo tensioni nulle, quindi | ||
- | |||
- | $$\boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \sigma_x \, n_x + \tau_{xy} \, n_y + \tau_{xz} \, n_z = 0$$ | ||
- | |||
- | Sostituendo otteniamo | ||
- | |||
- | $$ - (z-z_c) + \frac{\partial \omega}{\partial y} (y,z) \, n_y + | ||
- | | ||
- | |||
- | L' | ||
- | |||
- | Per definire anche $y_c$ e $z_c$ imponiamo $T_y = 0$ e $T_z = 0$, ottenendo | ||
- | |||
- | $$ \iint \limits_\Sigma \tau_{xy} \, \mathrm{d}A = - G \, \Theta_x | ||
- | |||
- | $$ \iint \limits_\Sigma \tau_{xz} \, \mathrm{d}A = G \, \Theta_x | ||
- | |||
- | Le coordinate del centro di taglio sono allora date da | ||
- | |||
- | $$z_c = - \frac{1}{A} \iint \limits_\Sigma \frac{\partial \omega}{\partial y} (y,z) \, \mathrm{d}A | ||
- | |||
- | $$y_c = \frac{1}{A} \iint \limits_\Sigma \frac{\partial \omega}{\partial z} (y,z) \, \mathrm{d}A | ||
- | |||
- | Applicando il teorema di Green | ||
- | |||
- | $$z_c = - \frac{1}{A} \oint \omega (y,z) \, n_y \, \mathrm{d}s | ||
- | |||
- | $$y_c = \frac{1}{A} \oint \omega (y,z) \, n_z \, \mathrm{d}s | ||
- | |||
- | Ricapitolando quanto fin qui ottenuto, riusciamo quindi a definire la funzione $\omega(y, | ||
- | |||
- | $$\frac{\partial^2 \omega(y,z) }{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \omega(y,z) }{\partial z^2} = 0$$ | ||
- | |||
- | e dalla condizione al contorno, valida sul perimetro della sezione | ||
- | |||
- | |||
- | $$ - \left( z + \frac{1}{A} \oint \omega (y,z) \, n_y \, \mathrm{d}s \right) + | ||
- | | ||
- | | ||
- | |||
- | Nota $\omega(x, | ||
- | ===== Torsione di travi a sezione sottile aperta ===== | ||
- | |||
- | In generale possiamo scrivere l' | ||
- | |||
- | $$\Theta_x = \frac{M_x}{G\, | ||
- | |||
- | in cui abbiamo introdotto il momento di inerzia torsionale $I_T$. | ||
- | |||
- | Applicando la teoria vista al paragrafo precedente, per profili sottili il momento di inerzia torsionale vale | ||
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- | $$I_T = \frac{1}{3} \sum \limits_i b_i t_i^3 $$ | ||
- | |||
- | Nel caso di spessore costante $t_i = t$, la tensione tangenziale massima è pari a | ||
- | |||
- | $$\tau_{max} = \frac{M_x \, t}{I_T} = \frac{3 \, M_x}{t^2 \, \sum \limits_i b_i}$$ | ||
- | |||
- | ===== Torsione di travi a sezione sottile chiusa ===== | ||
- | |||
- | Prima di analizzare direttamente l' | ||
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- | $$\frac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial z} + f_x = 0$$ | ||
- | |||
- | Poiché $\sigma_x = 0$ e $f_x = 0$, | ||
- | |||
- | $$\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial z} = 0$$ | ||
- | |||
- | Applicando il teorema di Green, con la posizione $\mathbf{\tau} = \left( \tau_{xy}, \tau_{xz} \right) $ | ||
- | |||
- | $$ \int \limits_{\Sigma} \left( \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial z} \right) \, \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \oint \limits_{\Lambda} \mathbf{\tau} \cdot \mathbf{n} \, \mathrm{d}s | ||
- | |||
- | in cui $\Sigma$ è l'area delimitata da una linea chiusa $\Lambda$ interna alla sezione. Risulta quindi nullo il flusso di $\mathbf{\tau}$ attraverso una qualunque linea chiusa $\Lambda$. | ||
- | |||
- | Considerando una sezione sottile chiusa, isoliamo un tratto di sezione compreso tra le corde 1 e 2. La nullità del flusso di $\mathbf{\tau}$ ci permette di scrivere | ||
- | |||
- | $$- \bar{\tau}_1 \, t_1 = \bar{\tau}_2 \, t_2 $$ | ||
- | |||
- | L' | ||
- | |||
- | Integriamo le tensioni tangenziali di modo da determinare il momento torcente risultante rispetto ad un punto arbitrario O | ||
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- | $$M_x = \oint \tau \, t \, r_O \, \cos \alpha \, \mathrm{d}s | ||
- | |||
- | Nel caso di sezioni sottili di forma chiusa e spessore costante $t$, la tensione tangenziale è pari a | ||
- | |||
- | $$\tau = \frac{M_x}{2 \Omega_m \, t}$$ | ||
- | |||
- | in cui $\Omega_m$ è l'area descritta dalla mediana della sezione sottile. | ||
- | |||
- | Per calcolare la rigidezza torsionale della sezione applichiamo il principio dei lavori virtuali uguagliando il lavoro virtuale interno a quello esterno | ||
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- | $$M_x \, \Theta_x = \iint \limits_\Sigma \tau \, \gamma \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iint \limits_\Sigma \frac{1}{G} \frac{M_x}{4 \, \Omega^2 \, t_0^2} | ||
- | |||
- | da cui | ||
- | |||
- | $$ \Theta_x = \frac{1}{4 \, G \, \Omega^2} \int \limits_\Lambda | ||
- | |||
- | Nel caso di sezione sottile chiusa con spessore costante $t$, la formula si semplifica diventando | ||
- | |||
- | $$ \Theta_x = \frac{1}{4 \, G} \frac{\Lambda}{t \, \Omega_m^2 } $$ | ||
- | |||
- | in cui $\Lambda$ è la lunghezza della mediana della sezione sottile |
scienza_costruzioni/torsione.txt · Ultima modifica: 2021/06/13 13:08 (modifica esterna)