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--- scienza_costruzioni:torsione [2015/07/06 13:20]
mickele [Torsione di travi a sezione sottile chiusa]
+++ scienza_costruzioni:torsione [2021/06/13 13:08]
@@ Linea 1: / Linea 1: @@
-====== Torsione ======
-===== Torsione di travi a sezione circolare =====
-Supponiamo che la soluzione sia definita dal seguente campo di spostamenti
-$$\mathbf{\eta} =
-\begin{Bmatrix}
-u \\\\
-v \\\\
-w
-\end{Bmatrix} =
-\begin{Bmatrix}
-\\\\
-- \Theta_x \, x \, z \\\\
-\Theta_x \, x  \, y
-\end{Bmatrix}$$
-Otteniamo di conseguenza il seguente campo deformativo
-$$\mathbf{\epsilon} =
-\begin{Bmatrix}
-\epsilon_x \\\\
-\epsilon_y \\\\
-\epsilon_z \\\\
-\gamma_{xy} \\\\
-\gamma_{xz} \\\\
-\gamma_{yz}
-\end{Bmatrix} =
-\begin{Bmatrix}
-\\\\
-\\\\
-\\\\
-- \Theta_x \, z \\\\
-\Theta_x \, y \\\\
-\end{Bmatrix}$$
-Tale campo deformativo, per come è stato costruito, certamente rispetterà le equazioni di congruenza.
-A sua volta associamo a questo campo deformativo il campo tensionale
-$$\mathbf{\sigma} =
-\begin{Bmatrix}
-\sigma_x \\\\
-\sigma_y \\\\
-\sigma_z \\\\
-\tau_{xy} \\\\
-\tau_{xz} \\\\
-\tau_{yz}
-\end{Bmatrix} =
-\begin{Bmatrix}
-\\\\
-\\\\
-\\\\
-- G \, \Theta_x \, z \\\\
-G \, \Theta_x \, y \\\\
-\end{Bmatrix}$$
-Si verifica facilmente che questo campo tensionale rispetta le equazioni indefinite di equilibrio e le condizioni al contorno statiche.
-Se calcoliamo il modulo dello tensione tangeziale otteniamo
-$$\tau_x = \sqrt{\tau_{xy}^2 + \tau_{xz}^2} = G \, \Theta_x \sqrt{z^2 + y^2} = G \, \Theta_x r$$
-La tensione tangenziale in un punto del nostro solido è quindi proporzionale alla relativa distanza dal baricentro.
-Integrando le tensioni agenti sulla seziona otteniamo
-$$ \iint\limits_S (\tau_{xz} \, y - \tau_{xy} \, z) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = M_{x}$$
-da cui
-$$ M_x = G\, \Theta_x \iint\limits_S ( y^2 + z^2) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = G\, \Theta_x \, I_x$$
-in cui $I_x$ è il momento di inerzia polare della sezione. Possiamo così calcolare l'angolo di rotazione unitario $\Theta_x$
-$$\Theta_x = \frac{M_x}{G\, I_p}$$
-===== Torsione di travi generiche =====
-$$\boldsymbol{\eta} =
-\begin{Bmatrix}
-u \\\\
-v \\\\
-w
-\end{Bmatrix} =
-\begin{Bmatrix}
-\Theta_x \, \omega(y,z) \\\\
-- \Theta_x \, x \, (z - z_c) \\\\
-\Theta_x \, x  \, (y - y_c)
-\end{Bmatrix}$$
-$$\boldsymbol{\epsilon} =
-\begin{Bmatrix}
-\epsilon_x \\\\
-\epsilon_y \\\\
-\epsilon_z \\\\
-\gamma_{xy} \\\\
-\gamma_{xz} \\\\
-\gamma_{yz}
-\end{Bmatrix} =
-\begin{Bmatrix}
-\\\\
-\\\\
-\\\\
-\Theta_x \left[ - (z-z_c) + \frac{\partial \omega}{\partial y} (y,z) \right] \\\\
-\Theta_x \left[ (y-y_c) + \frac{\partial \omega}{\partial z} (y,z) \right] \\\\
-\end{Bmatrix}$$
-$$\boldsymbol{\sigma} =
-\begin{Bmatrix}
-\sigma_x \\\\
-\sigma_y \\\\
-\sigma_z \\\\
-\tau_{xy} \\\\
-\tau_{xz} \\\\
-\tau_{yz}
-\end{Bmatrix} =
-\begin{Bmatrix}
-\\\\
-\\\\
-\\\\
-G \, \Theta_x \left[ - (z-z_c) + \frac{\partial \omega}{\partial y} (y,z) \right] \\\\
-G \, \Theta_x \left[ (y-y_c) + \frac{\partial \omega}{\partial z} (y,z) \right] \\\\
-\end{Bmatrix}$$
-L'applicazione dell'equazione indefinita di equilibrio
-$$\frac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial z} = 0$$
-ci porta a scrivere
-$$\frac{\partial^2 \omega(y,z) }{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \omega(y,z) }{\partial z^2} = 0$$
-Sulla superficie esterna del solido abbiamo tensioni nulle, quindi
-$$\boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \sigma_x \, n_x + \tau_{xy} \, n_y + \tau_{xz} \, n_z = 0$$
-Sostituendo otteniamo
-$$ - (z-z_c) + \frac{\partial \omega}{\partial y} (y,z) \, n_y +
- (y-y_c) + \frac{\partial \omega}{\partial z} (y,z) \, n_z = 0$$
-L'equazione vista prima unita a quest'ultima condizione al contorno costituirebbero un problema differenziale che ammette soluzione (problema di Neumann), se non fosse per la presenza delle coordinate del centro di taglio, non ancora determinate.
-Per definire anche $y_c$ e $z_c$ imponiamo $T_y = 0$ e $T_z = 0$, ottenendo
-$$ \iint \limits_\Sigma \tau_{xy} \, \mathrm{d}A = - G \, \Theta_x  \iint \limits_\Sigma \left[ (z-z_c) + \frac{\partial \omega}{\partial y} (y,z) \right] \, \mathrm{d}A = 0$$
-$$ \iint \limits_\Sigma \tau_{xz} \, \mathrm{d}A = G \, \Theta_x  \iint \limits_\Sigma \left[ (y-y_c) + \frac{\partial \omega}{\partial z} (y,z) \right] \, \mathrm{d}A = 0$$
-Le coordinate del centro di taglio sono allora date da
-$$z_c = - \frac{1}{A} \iint \limits_\Sigma \frac{\partial \omega}{\partial y} (y,z) \, \mathrm{d}A  $$
-$$y_c = \frac{1}{A} \iint \limits_\Sigma \frac{\partial \omega}{\partial z} (y,z) \, \mathrm{d}A  $$
-Applicando il teorema di Green
-$$z_c = - \frac{1}{A} \oint  \omega (y,z) \, n_y \, \mathrm{d}s  $$
-$$y_c = \frac{1}{A} \oint \omega (y,z) \, n_z \, \mathrm{d}s  $$
-Ricapitolando quanto fin qui ottenuto, riusciamo quindi a definire la funzione $\omega(y,z)$ risolvendo il problema differenziale costituito dall'equazione
-$$\frac{\partial^2 \omega(y,z) }{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \omega(y,z) }{\partial z^2} = 0$$
-e dalla condizione al contorno, valida sul perimetro della sezione
-$$ - \left( z + \frac{1}{A} \oint  \omega (y,z) \, n_y \, \mathrm{d}s \right) +
- \frac{\partial \omega}{\partial y} (y,z) \, n_y +
- \left( y- \frac{1}{A} \oint \omega (y,z) \, n_z \, \mathrm{d}s \right ) + \frac{\partial \omega}{\partial z} (y,z) \, n_z = 0$$
-Nota $\omega(x,y)$, calcoliamo $y_c$ e $z_c$.
-===== Torsione di travi a sezione sottile aperta =====
-In generale possiamo scrivere l'espressione
-$$\Theta_x = \frac{M_x}{G\, I_T}$$
-in cui abbiamo introdotto il momento di inerzia torsionale $I_T$.
-Applicando la teoria vista al paragrafo precedente, per profili sottili il momento di inerzia torsionale vale
-$$I_T = \frac{1}{3} \sum \limits_i b_i t_i^3 $$
-Nel caso di spessore costante $t_i = t$, la tensione tangenziale massima è pari a
-$$\tau_{max} = \frac{M_x \, t}{I_T} = \frac{3 \, M_x}{t^2 \, \sum \limits_i b_i}$$
-===== Torsione di travi a sezione sottile chiusa =====
-Prima di analizzare direttamente l'oggetto del paragrafo, abbiamo bisogno di derivare alcune osservazioni da una delle euqazioni indefinite di equilibrio
-$$\frac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial z} + f_x = 0$$
-Poiché $\sigma_x = 0$ e $f_x = 0$,
-$$\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial z} = 0$$
-Applicando il teorema di Green, con la posizione $\mathbf{\tau} = \left( \tau_{xy}, \tau_{xz} \right) $
-$$ \int \limits_{\Sigma} \left( \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial z} \right) \, \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \oint \limits_{\Lambda} \mathbf{\tau} \cdot \mathbf{n} \, \mathrm{d}s  = 0$$
-in cui $\Sigma$ è l'area delimitata da una linea chiusa $\Lambda$ interna alla sezione. Risulta quindi nullo il flusso di $\mathbf{\tau}$ attraverso una qualunque linea chiusa $\Lambda$.
-Considerando una sezione sottile chiusa, isoliamo un tratto di sezione compreso tra le corde 1 e 2. La nullità del flusso di $\mathbf{\tau}$ ci permette di scrivere
-$$- \bar{\tau}_1 \, t_1 =  \bar{\tau}_2 \, t_2 $$
-L'arbitrarietà adottata nella scelta dei tratti ci permette di affermare che il prodotto $\tau \, t$ è costante lungo tutta la sezione.
-Integriamo le tensioni tangenziali di modo da determinare il momento torcente risultante rispetto ad un punto arbitrario O
-$$M_x = \oint  \tau \, t \, r_O \, \cos \alpha \, \mathrm{d}s  = \left( \tau \, t \right)_{const} \oint  r_O \, \cos \alpha \, \mathrm{d}s = \left( \tau \, t \right)_{const} \, 2 \, A$$
-Nel caso di sezioni sottili di forma chiusa e spessore costante $t$, la tensione tangenziale è pari a
-$$\tau = \frac{M_x}{2 A \, t}$$
-Per calcolare la rigidezza torsionale della sezione applichiamo il principio dei lavori virtuali uguagliando il lavoro virtuale interno a quello esterno
-$$M_x \, \Theta_x = \iint \limits_\Sigma \tau \, \gamma \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iint \limits_\Sigma \frac{1}{G} \frac{M_x}{4 \, A^2 \, t_0^2}  \; \mathrm{d}s \mathrm{d}t = \frac{M_x}{4 \, G \, A^2} \int \limits_\Lambda  \frac{1}{t_0^2} \int \limits_{-t_0 / 2}^{t_0 / 2}  \; \mathrm{d}t \mathrm{d}s  $$

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