scienza_costruzioni:teoria_di_kirchoff
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scienza_costruzioni:teoria_di_kirchoff [2023/03/03 11:44] mickele [Analisi tensionale] |
scienza_costruzioni:teoria_di_kirchoff [2023/03/03 12:55] (versione attuale) mickele [Analisi tensionale] |
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Linea 26: | Linea 26: | ||
===== Analisi cinematica ===== | ===== Analisi cinematica ===== | ||
+ | $$ | ||
+ | \begin{matrix} | ||
+ | u = z \; \varphi_x = − z \frac{\partial w}{\partial x} \\ | ||
+ | v = z \; \varphi_y = − z \frac{\partial w}{\partial y} \\ | ||
+ | w = w_0 | ||
+ | \end{matrix} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | Concludendo | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \begin{matrix} | ||
+ | \varepsilon_x = -z \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} = z \; \mu_x \\ | ||
+ | \varepsilon_y = -z \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} = z \; \mu_y \\ | ||
+ | \gamma_{xy} = −2 z \frac{\partial^2 w}{\partial x y} = z \; \mu_{xy} | ||
+ | \end{matrix} | ||
+ | $$ | ||
===== Analisi tensionale ===== | ===== Analisi tensionale ===== | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \begin{matrix} | ||
+ | \sigma_x = \frac{E}{1 − \nu^2} \left( \varepsilon_x + \nu \; \varepsilon_y \right) \\ | ||
+ | \sigma_y = \frac{E}{1 − \nu^2} \left( \varepsilon_y + \nu \; \varepsilon_x \right) \\ | ||
+ | \tau_{xy} = 2 G \; z \; \mu_{xy} = \frac{E}{1 + \nu} z \mu_{xy} | ||
+ | \end{matrix} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | Tenuto conto delle relazioni cinematiche sopra indicate, le tensioni nella sezione possono scriversi come segue: | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \begin{matrix} | ||
+ | \sigma_x = \frac{E}{1 − \nu^2} z \left( \mu_x + \nu \; \mu _y \right) \\ | ||
+ | \sigma_y = \frac{E}{1 − \nu^2} z \left( \mu_y + \nu \; \mu_x \right) \\ | ||
+ | \tau_{xy} = G \; \gamma_{xy} | ||
+ | \end{matrix} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | Integrando nello spessore della sezione | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | M_x = \int_{-h/ | ||
+ | \; \left( \mu_x + \nu \; \mu _y \right) \\ | ||
+ | M_y = \int_{-h/ | ||
+ | \; \left( \mu_y + \nu \; \mu _x \right)\\ | ||
+ | M_{xy} = \int_{-h/ | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | Definendo la rigidezza flessionale della piastra con riferimento ad una striscia di | ||
+ | larghezza unitaria: | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | D = \frac{E}{1 − \nu^2} \; \int_{-h/ | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | che nel caso di sezione omogenea diventa | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | D = \frac{E}{1 − \nu^2} \frac{t^3}{12} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | riscriviamo le relazioni nella forma | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | M_x = D \; \left( \mu_x + \nu \; \mu _y \right) \\ | ||
+ | M_y = D \; \left( \mu_y + \nu \; \mu _x \right)\\ | ||
+ | M_{xy} = \left( 1 - \nu \right) D \; \mu_{xy} | ||
+ | $$ | ||
- | $$ $$ |
scienza_costruzioni/teoria_di_kirchoff.1677840280.txt.gz · Ultima modifica: 2023/03/03 11:44 da mickele