Definiamo “piastra” un elemento strutturale che ha due dimensioni (lunghezza e larghezza) molto più grandi rispetto alla terza (lo spessore) e la cui superficie sia, in media, piana (lastra piana).
Praticamente consideriamo piastra un elemento piano sottile il cui spessore $t$ sia inferiore ad un ventesimo della dimensione minima $l$ nel piano medio:
$$ \frac{t}{l} \lt \frac{1}{20} $$
In prima battuta possiamo analizzare le deformazioni di una piastra
La teoria di Kirchoff analizza la prima casistica,
Le ipotesi di Kirchhoff possono ritenersi una estensione analoga all’ipotesi di Saint Venant per le travi. Esse sono così enunciabili:
$$ \begin{matrix} u = z \; \varphi_x = − z \frac{\partial w}{\partial x} \\ v = z \; \varphi_y = − z \frac{\partial w}{\partial y} \\ w = w_0 \end{matrix} $$
Concludendo
$$ \begin{matrix} \varepsilon_x = -z \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} = z \; \mu_x \\ \varepsilon_y = -z \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} = z \; \mu_y \\ \gamma_{xy} = −2 z \frac{\partial^2 w}{\partial x y} = z \; \mu_{xy} \end{matrix} $$
$$ \begin{matrix} \sigma_x = \frac{E}{1 − \nu^2} \left( \varepsilon_x + \nu \; \varepsilon_y \right) \\ \sigma_y = \frac{E}{1 − \nu^2} \left( \varepsilon_y + \nu \; \varepsilon_x \right) \\ \tau_{xy} = 2 G \; z \; \mu_{xy} = \frac{E}{1 + \nu} z \mu_{xy} \end{matrix} $$
Tenuto conto delle relazioni cinematiche sopra indicate, le tensioni nella sezione possono scriversi come segue:
$$ \begin{matrix} \sigma_x = \frac{E}{1 − \nu^2} z \left( \mu_x + \nu \; \mu _y \right) \\ \sigma_y = \frac{E}{1 − \nu^2} z \left( \mu_y + \nu \; \mu_x \right) \\ \tau_{xy} = G \; \gamma_{xy} \end{matrix} $$
Integrando nello spessore della sezione
$$ M_x = \int_{-h/2}^{h/2} \sigma_x \; z \; \mathrm{d} z = \frac{E}{1 − \nu^2} \; \int_{-h/2}^{h/2} z^2 \; \mathrm{d} z \; \left( \mu_x + \nu \; \mu _y \right) \\ M_y = \int_{-h/2}^{h/2} \sigma_y \; z \; \mathrm{d} z = \frac{E}{1 − \nu^2} \; \int_{-h/2}^{h/2} z^2 \; \mathrm{d} z \; \left( \mu_y + \nu \; \mu _x \right)\\ M_{xy} = \int_{-h/2}^{h/2} \tau_{xy} \; z \; \mathrm{d} z = \left( 1 - \nu \right) \frac{E}{1 - \nu^2} \int_{-h/2}^{h/2} z^2 \; \mathrm{d} z \; \mu_{xy} $$
Definendo la rigidezza flessionale della piastra con riferimento ad una striscia di larghezza unitaria:Facendo la posizione
$$ D = \frac{E}{1 − \nu^2} \; \int_{-h/2}^{h/2} z^2 \; \mathrm{d} z $$
che nel caso di sezione omogenea diventa
$$ D = \frac{E}{1 − \nu^2} \frac{t^3}{12} $$
riscriviamo le relazioni nella forma
$$ M_x = D \; \left( \mu_x + \nu \; \mu _y \right) \\ M_y = D \; \left( \mu_y + \nu \; \mu _x \right)\\ M_{xy} = \left( 1 - \nu \right) D \; \mu_{xy} $$