====== Teoria di Kirchoff per le piastre ======

Definiamo "piastra" un elemento strutturale che ha due dimensioni (lunghezza e larghezza) molto più grandi rispetto alla terza (lo spessore) e la cui superficie sia, in media, piana (lastra piana).

Praticamente consideriamo piastra un elemento piano sottile il cui spessore $t$ sia inferiore ad un ventesimo della dimensione minima $l$ nel piano medio:

$$
\frac{t}{l} \lt \frac{1}{20}
$$

In prima battuta possiamo analizzare le deformazioni di una piastra
  * trasversalmente al piano, valutando quindi le deformazioni in direzione ortogonale al piano medio (comportamento a flessione)
  * nel piano, valutando invece le deformazioni nel piano medio (comportamento a membrana).

La teoria di Kirchoff analizza la prima casistica, 

===== Ipotesi di Kirchhoff =====

Le ipotesi di Kirchhoff possono ritenersi una estensione analoga all’ipotesi di Saint Venant per le travi. Esse sono così enunciabili:

  - il materiale della piastra è elastico-lineare, omogeneo e isotropo
  - la piastra è inizialmente piana, con spessore sottile in confronto alle altre due dimensioni
  - gli spostamenti $w(x,y)$, conseguenti all’inflessione del piano medio, sono piccoli in confronto con lo spessore $t$; questa assunzione permette di considerare gli angoli di inclinazione $\varphi_x$ e $\varphi_y$ assimilabili alle rispettive tangenti e quindi alle rispettive derivate parziali di w $\left( \varphi_x = - \frac{\partial w}{\partial x} \mathbin{;}  \varphi_y = - \frac{\partial w}{\partial y} \right) $; inoltre, essendo il quadrato della derivata prima di $w$ trascurabile rispetto all’unità, è possibile approssimare le curvature $\mu_x$ e $\mu_y$ della superficie con le rispettive derivate seconde di $w$ $\left( \mu_x = - \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} \mathbin{;}  \mu_y = - \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} \right) $
  - un segmento rettilineo e normale al piano medio dopo l’inflessione della piastra rimane ancora rettilineo, inalterato in lunghezza e normale alla superficie elastica (ipotesi di conservazione delle normali rette); questa ipotesi equivale a trascurare sia gli scorrimenti angolari dovuti al taglio trasversale ($\gamma_{xz} = \gamma_{yz} = 0$) sia la dilatazione lineare nella direzione dello spessore ($\varepsilon_z = 0$).

===== Analisi cinematica =====

$$ 
\begin{matrix}
u = z \; \varphi_x = − z \frac{\partial w}{\partial x} \\
v = z \; \varphi_y = − z \frac{\partial w}{\partial y} \\
w = w_0
\end{matrix}
$$

Concludendo

$$
\begin{matrix}
\varepsilon_x = -z \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} = z \; \mu_x  \\
\varepsilon_y = -z \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} = z \; \mu_y  \\
\gamma_{xy} = −2 z \frac{\partial^2 w}{\partial x y} = z \; \mu_{xy}
\end{matrix}
$$

===== Analisi tensionale =====

$$
\begin{matrix}
\sigma_x = \frac{E}{1 − \nu^2} \left( \varepsilon_x + \nu \; \varepsilon_y \right) \\
\sigma_y = \frac{E}{1 − \nu^2} \left( \varepsilon_y + \nu \;  \varepsilon_x \right) \\
\tau_{xy} = 2 G \; z \; \mu_{xy} = \frac{E}{1 + \nu} z \mu_{xy}
\end{matrix}
$$

Tenuto conto delle relazioni cinematiche sopra indicate, le tensioni nella sezione possono scriversi come segue:

$$
\begin{matrix}
\sigma_x = \frac{E}{1 − \nu^2} z \left( \mu_x + \nu \; \mu _y \right) \\
\sigma_y = \frac{E}{1 − \nu^2} z \left( \mu_y + \nu \;  \mu_x \right) \\
\tau_{xy} = G \; \gamma_{xy} 
\end{matrix}
$$

Integrando nello spessore della sezione

$$
M_x = \int_{-h/2}^{h/2} \sigma_x \; z \; \mathrm{d} z = \frac{E}{1 − \nu^2} \; \int_{-h/2}^{h/2} z^2 \; \mathrm{d} z
\; \left( \mu_x + \nu \; \mu _y \right) \\
M_y = \int_{-h/2}^{h/2} \sigma_y \; z \; \mathrm{d} z = \frac{E}{1 − \nu^2} \; \int_{-h/2}^{h/2} z^2 \; \mathrm{d} z
\; \left( \mu_y + \nu \; \mu _x \right)\\
M_{xy} = \int_{-h/2}^{h/2} \tau_{xy} \; z \; \mathrm{d} z = \left( 1 - \nu \right) \frac{E}{1 - \nu^2} \int_{-h/2}^{h/2} z^2 \; \mathrm{d} z \; \mu_{xy}
$$

Definendo la rigidezza flessionale della piastra con riferimento ad una striscia di
larghezza unitaria:Facendo la posizione

$$ 
D = \frac{E}{1 − \nu^2} \; \int_{-h/2}^{h/2} z^2 \; \mathrm{d} z
$$

che nel caso di sezione omogenea diventa

$$ 
D = \frac{E}{1 − \nu^2} \frac{t^3}{12}
$$

riscriviamo le relazioni nella forma

$$
M_x = D \; \left( \mu_x + \nu \; \mu _y \right) \\
M_y = D \; \left( \mu_y + \nu \; \mu _x \right)\\
M_{xy} = \left( 1 - \nu \right) D \; \mu_{xy}
$$