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@@ Linea 1: / Linea 1: @@
-====== Teorema di reciprocità ======
-===== Teorema di reciprocità =====
-Dati due diverse deformazioni di un corpo **elastico** relative a due divesi sistemi di forze, il lavoro virtuale che le forze del primo sistema compiono rispetto agli spostamenti dei rispettivi punti di applicazione nel secondo sistema, è uguale al lavoro virtuale delle forze del secondo sistema rispetto agli spostamenti nel primo.
-Per dimostrare il suddetto teorema, consideriamoi die sistemi $(a)$ e $(b)$. Applichiamo al nostro solido elastico il sistema $(a)$ e quindi il sistema $(b)$. Il lavoro di deformazione elastica sarà dato da
-$$ L_{tot} = L^{(a)} + L^{(b)} + L^{(a)+(b)}$$
-Supponendo invece di applicare prima il sistema $(b)$ e poi il sistema $(a)$
-$$ L_{tot} = L^{(a)} + L^{(b)} + L^{(b)+(a)}$$
-//Trattandosi di un corpo elastico//, i due lavori di deformazione devono essere uguali, quindi
-$$ L^{(a)+(b)} = L^{(b)+(a)}$$
-D'altronde i lavori di deformazione in questione sono pari a
-$$ L^{(a)+(b)} = \iiint \limits_{V} \boldsymbol\sigma^{(a)} \cdot \boldsymbol\epsilon^{(b)}_{el} \, \mathrm{d}V$$
-$$ L^{(b)+(a)} = \iiint \limits_{V} \boldsymbol\sigma^{(b)} \cdot \boldsymbol\epsilon^{(a)}_{el} \, \mathrm{d}V$$
-Applichiamo il principio dei lavori virtuali ai due sistemi assumendo il sistema $(a)$ come sistema staticamente ammissibile ed il sistema $(b)$ come cinematicamente ammissibile. Abbiamo
-$$ \sum \limits_i F^{(a)}_i \, \eta^{(b)}_i + \sum \limits_i R^{(a)}_i \, \gamma^{(b)}_i = \iiint \limits_{V} \boldsymbol\sigma^{(a)} \cdot \boldsymbol\epsilon^{(b)}_{tot} \, \mathrm{d}V$$
-in cui:
-  * $F^{(a)}_i$ sono le forze esterne del sistema a
-  * $\eta^{(b)}_i$ sono gli spostamenti nel sistema b dei punti di applicazione delle forze $F^{(a)}_i$ del sistema a
-  * $R^{(a)}_i$ sono le reazioni vincolari del sistema a
-  * $\gamma^{(b)}_i$ sono i cedimenti vincolari del sistema b
-Invertendo i due sistemi abbiamo invece
-$$ \sum \limits_i F^{(b)}_i \, \eta^{(a)}_i + + \sum \limits_i R^{(b)}_i \, \gamma^{(a)}_i = \iiint \limits_{V} \boldsymbol\sigma^{(b)} \cdot \boldsymbol\epsilon^{(a)}_{tot} \, \mathrm{d}V$$
-con ovvio significato di simboli.
-Ricordandoci che le deformazioni totali sono pari alla somma delle deformazioni elastiche e impresse
-$$ \boldsymbol\epsilon_{tot} = \boldsymbol\epsilon_{el} + \bar{\boldsymbol\epsilon} $$
-le due equazioni ottenute applicando il principio dei lavori virtuali possono essere scritte nella forma
-$$ \sum \limits_i F^{(a)}_i \, \eta^{(b)}_i + \sum \limits_i R^{(a)}_i \, \gamma^{(b)}_i = \iiint \limits_{V} \boldsymbol\sigma^{(a)} \cdot \boldsymbol\epsilon^{(b)}_{el} \, \mathrm{d}V + \iiint \limits_{V} \boldsymbol\sigma^{(a)} \cdot \bar{\boldsymbol\epsilon}^{(b)} \, \mathrm{d}V$$
-$$ \sum \limits_i F^{(b)}_i \, \eta^{(a)}_i + \sum \limits_i R^{(b)}_i \, \gamma^{(a)}_i = \iiint \limits_{V} \boldsymbol\sigma^{(b)} \cdot \boldsymbol\epsilon^{(a)}_{el} \, \mathrm{d}V + \iiint \limits_{V} \boldsymbol\sigma^{(b)} \cdot \bar{\boldsymbol\epsilon}^{(a)} \, \mathrm{d}V$$
-Applicando le considerazioni viste poco sopra arriviamo a scrivere
-$$ \sum \limits_i F^{(a)}_i \, \eta^{(b)}_i + \sum \limits_i R^{(a)}_i \, \gamma^{(b)}_i - \iiint \limits_{V} \boldsymbol\sigma^{(a)} \cdot \bar{\boldsymbol\epsilon}^{(b)} \, \mathrm{d}V =
-\sum \limits_i F^{(b)}_i \, \eta^{(a)}_i + \sum \limits_i R^{(b)}_i \, \gamma^{(a)}_i - \iiint \limits_{V} \boldsymbol\sigma^{(b)} \cdot \bar{\boldsymbol\epsilon}^{(a)} \, \mathrm{d}V$$
-che è la formulazione generalizzata del teorema di reciprocità.

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