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scienza_costruzioni:taglio

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scienza_costruzioni:taglio [2013/11/14 10:53]
mickele [Taglio deviato in sezioni sottili] 		scienza_costruzioni:taglio [2021/06/13 13:08] (versione attuale)
Linea 1: Linea 1:
 ====== Taglio ====== ====== Taglio ======
- 
  
 ===== Teoria approssimata del taglio ===== ===== Teoria approssimata del taglio =====
Linea 12: Linea 11:
 Tale relazione di esprime che la presenza dello sforzo tagliante $T_z$ implica la presenza di un momento $M_y$ variabile (la sua derivata è diversa da 0). Tale relazione di esprime che la presenza dello sforzo tagliante $T_z$ implica la presenza di un momento $M_y$ variabile (la sua derivata è diversa da 0).
  
-Tagliamo lo stesso tratto di trave di lunghezza $\mathrm{d}x$ con un asse parallelo all'asse $y$ di equazione $z=\overline{z}$. Supponiamo chiamiamo $b(\overline{z})$ sia la larghezza trasversale della sezione in corrispondenza di $z=\overline{z}$. La sezione intera $\Sigma$ viene così suddivisa in due sezioni che chiamiamo $\Sigma^{\circ}$ e $\Sigma'^{\circ}$. Poiché l'asse $y$ è baricentrico per la sezione intera $\Sigma$, i momenti statici di $\Sigma^{\circ}$ e $\Sigma'^{\circ}$ sono uguali ed opposti.+Tagliamo lo stesso tratto di trave di lunghezza $\mathrm{d}x$ con un asse parallelo all'asse $y$ di equazione $z=\overline{z}$. Supponiamo chiamiamo $b(\overline{z})$ sia la larghezza trasversale della sezione in corrispondenza di $z=\overline{z}$. La sezione intera $\Sigma$ viene così suddivisa in due sezioni che chiamiamo $\overline{\Sigma}$ e $\Sigma'^{\circ}$. Poiché l'asse $y$ è baricentrico per la sezione intera $\Sigma$, i momenti statici di $\overline{\Sigma}$ e $\Sigma'^{\circ}$ sono uguali ed opposti.
  
 Imponendo l'equilibrio a traslazione lungo l'asse x otteniamo Imponendo l'equilibrio a traslazione lungo l'asse x otteniamo
  
-$$- \iint_{\Sigma^{\circ}} \sigma_{x} \mathrm{d}A - \int_{0}^{b(z)} {\tau}_{xz} \mathrm{d}y + \iint_{\Sigma^{\circ}} \left( \sigma_x + \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} \mathrm{d}x \right) \, \mathrm{d}A = 0$$+$$- \iint_{\overline{\Sigma}} \sigma_{x} \mathrm{d}A - \int_{0}^{b(z)} {\tau}_{xz} \mathrm{d}y + \iint_{\overline{\Sigma}} \left( \sigma_x + \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} \mathrm{d}x \right) \, \mathrm{d}A = 0$$
  
 che semplificata diventa che semplificata diventa
  
-$$- \int_{0}^{b(z)} {\tau}_{xz} \mathrm{d}y + \iint_{\Sigma^{\circ}} \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} \mathrm{d}x  \, \mathrm{d}A = 0$$+$$- \int_{0}^{b(z)} {\tau}_{xz} \mathrm{d}y + \iint_{\overline{\Sigma}} \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} \mathrm{d}x  \, \mathrm{d}A = 0$$
  
 Limitandoci a calcolare il valor medio della $\tau_{xz}$, applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale otteniamo Limitandoci a calcolare il valor medio della $\tau_{xz}$, applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale otteniamo
  
-$$\tau_{m,xz} (\overline{z}) = \frac{1}{b(\overline{z})} \iint_{\Sigma^{\circ}} \frac{\partial \sigma_x}{\partial x}  dA$$+$$\tau_{m,xz} (\overline{z}) = \frac{1}{b(\overline{z})} \iint_{\overline{\Sigma}} \frac{\partial \sigma_x}{\partial x}  dA$$
  
 La derivata parziale $\frac{\partial \sigma_x}{\partial x}$ è correlata al solo momento flettente $M_y$ tramite la relazione La derivata parziale $\frac{\partial \sigma_x}{\partial x}$ è correlata al solo momento flettente $M_y$ tramite la relazione
Linea 32: Linea 31:
 Quindi possiamo esprimere la tensione tangenziale media $\overline{\tau}_{xz}$ con la relazione Quindi possiamo esprimere la tensione tangenziale media $\overline{\tau}_{xz}$ con la relazione
  
-$$\tau_{m,xz} ( \overline{z} )= \frac{T_z}{I_{yy} b(\overline{z})} \iint_{\Sigma^{\circ}}{z dA} = \frac{T_z \overline{S}_{y}}{I_{yy} b(\overline{z})}$$+$$\tau_{m,xz} ( \overline{z} )= \frac{T_z}{I_{yy} b(\overline{z})} \iint_{\overline{\Sigma}}{z dA} = \frac{T_z \overline{S}_{y}}{I_{yy} b(\overline{z})}$$
  
-in cui $\overline{S}_{y}$ è il momento statico della sola sezione $\Sigma^{\circ}$, mentre $I_{yy}$ è il momento di inerzia dell'intera sezione $\Sigma$.+in cui $\overline{S}_{y}$ è il momento statico della sola sezione $\overline{\Sigma}$, mentre $I_{yy}$ è il momento di inerzia dell'intera sezione $\Sigma$.
 La formula appena calcolata viene comunemente attribuita a Jourawsky. La formula appena calcolata viene comunemente attribuita a Jourawsky.
  
Linea 114: Linea 113:
 $$\gamma_{m,xz} = c_{zy} \, T_y + c_{zz} \, T_z$$ $$\gamma_{m,xz} = c_{zy} \, T_y + c_{zz} \, T_z$$
  
-Applicando il Teorema di Reciprocità verifichiamo che i coefficienti $c_{yz}$ e $c_{zy}$ sono uguali tra di loro.+Applicando il Teorema di Reciprocità verifichiamo che i coefficienti  
 + 
 +$$c_{yz} = c_{zy} = t_{yz}$$ 
 + 
 +in cui abbiamo introdotto un terzo coefficiente di taglio $t_{yz}$.
  
 Pertanto, ritornando all'espressione del lavoro virtuale di sopra, possiamo esprimere gli scorrimenti medi nella forma Pertanto, ritornando all'espressione del lavoro virtuale di sopra, possiamo esprimere gli scorrimenti medi nella forma
scienza_costruzioni/taglio.1384422814.txt.gz · Ultima modifica: 2021/06/13 13:07 (modifica esterna)

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