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scienza_costruzioni:taglio

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scienza_costruzioni:taglio [2013/11/14 10:43]
mickele [Taglio deviato in sezioni sottili] 		scienza_costruzioni:taglio [2021/06/13 13:08] (versione attuale)
Linea 1: Linea 1:
 ====== Taglio ====== ====== Taglio ======
- 
  
 ===== Teoria approssimata del taglio ===== ===== Teoria approssimata del taglio =====
Linea 12: Linea 11:
 Tale relazione di esprime che la presenza dello sforzo tagliante $T_z$ implica la presenza di un momento $M_y$ variabile (la sua derivata è diversa da 0). Tale relazione di esprime che la presenza dello sforzo tagliante $T_z$ implica la presenza di un momento $M_y$ variabile (la sua derivata è diversa da 0).
  
-Tagliamo lo stesso tratto di trave di lunghezza $\mathrm{d}x$ con un asse parallelo all'asse $y$ di equazione $z=\overline{z}$. Supponiamo chiamiamo $b(\overline{z})$ sia la larghezza trasversale della sezione in corrispondenza di $z=\overline{z}$. La sezione intera $\Sigma$ viene così suddivisa in due sezioni che chiamiamo $\Sigma^{\circ}$ e $\Sigma'^{\circ}$. Poiché l'asse $y$ è baricentrico per la sezione intera $\Sigma$, i momenti statici di $\Sigma^{\circ}$ e $\Sigma'^{\circ}$ sono uguali ed opposti.+Tagliamo lo stesso tratto di trave di lunghezza $\mathrm{d}x$ con un asse parallelo all'asse $y$ di equazione $z=\overline{z}$. Supponiamo chiamiamo $b(\overline{z})$ sia la larghezza trasversale della sezione in corrispondenza di $z=\overline{z}$. La sezione intera $\Sigma$ viene così suddivisa in due sezioni che chiamiamo $\overline{\Sigma}$ e $\Sigma'^{\circ}$. Poiché l'asse $y$ è baricentrico per la sezione intera $\Sigma$, i momenti statici di $\overline{\Sigma}$ e $\Sigma'^{\circ}$ sono uguali ed opposti.
  
 Imponendo l'equilibrio a traslazione lungo l'asse x otteniamo Imponendo l'equilibrio a traslazione lungo l'asse x otteniamo
  
-$$- \iint_{\Sigma^{\circ}} \sigma_{x} \mathrm{d}A - \int_{0}^{b(z)} {\tau}_{xz} \mathrm{d}y + \iint_{\Sigma^{\circ}} \left( \sigma_x + \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} \mathrm{d}x \right) \, \mathrm{d}A = 0$$+$$- \iint_{\overline{\Sigma}} \sigma_{x} \mathrm{d}A - \int_{0}^{b(z)} {\tau}_{xz} \mathrm{d}y + \iint_{\overline{\Sigma}} \left( \sigma_x + \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} \mathrm{d}x \right) \, \mathrm{d}A = 0$$
  
 che semplificata diventa che semplificata diventa
  
-$$- \int_{0}^{b(z)} {\tau}_{xz} \mathrm{d}y + \iint_{\Sigma^{\circ}} \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} \mathrm{d}x  \, \mathrm{d}A = 0$$+$$- \int_{0}^{b(z)} {\tau}_{xz} \mathrm{d}y + \iint_{\overline{\Sigma}} \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} \mathrm{d}x  \, \mathrm{d}A = 0$$
  
 Limitandoci a calcolare il valor medio della $\tau_{xz}$, applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale otteniamo Limitandoci a calcolare il valor medio della $\tau_{xz}$, applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale otteniamo
  
-$$\tau_{m,xz} (\overline{z}) = \frac{1}{b(\overline{z})} \iint_{\Sigma^{\circ}} \frac{\partial \sigma_x}{\partial x}  dA$$+$$\tau_{m,xz} (\overline{z}) = \frac{1}{b(\overline{z})} \iint_{\overline{\Sigma}} \frac{\partial \sigma_x}{\partial x}  dA$$
  
 La derivata parziale $\frac{\partial \sigma_x}{\partial x}$ è correlata al solo momento flettente $M_y$ tramite la relazione La derivata parziale $\frac{\partial \sigma_x}{\partial x}$ è correlata al solo momento flettente $M_y$ tramite la relazione
Linea 32: Linea 31:
 Quindi possiamo esprimere la tensione tangenziale media $\overline{\tau}_{xz}$ con la relazione Quindi possiamo esprimere la tensione tangenziale media $\overline{\tau}_{xz}$ con la relazione
  
-$$\tau_{m,xz} ( \overline{z} )= \frac{T_z}{I_{yy} b(\overline{z})} \iint_{\Sigma^{\circ}}{z dA} = \frac{T_z \overline{S}_{y}}{I_{yy} b(\overline{z})}$$+$$\tau_{m,xz} ( \overline{z} )= \frac{T_z}{I_{yy} b(\overline{z})} \iint_{\overline{\Sigma}}{z dA} = \frac{T_z \overline{S}_{y}}{I_{yy} b(\overline{z})}$$
  
-in cui $\overline{S}_{y}$ è il momento statico della sola sezione $\Sigma^{\circ}$, mentre $I_{yy}$ è il momento di inerzia dell'intera sezione $\Sigma$.+in cui $\overline{S}_{y}$ è il momento statico della sola sezione $\overline{\Sigma}$, mentre $I_{yy}$ è il momento di inerzia dell'intera sezione $\Sigma$.
 La formula appena calcolata viene comunemente attribuita a Jourawsky. La formula appena calcolata viene comunemente attribuita a Jourawsky.
  
Linea 73: Linea 72:
 $$\tau_{xs} = \frac{T_z \, \overline{S}_y(s)}{I_{y} \, b(s)} + \frac{T_y \, \overline{S}_z(s)}{I_{z} \, b(s)}$$ $$\tau_{xs} = \frac{T_z \, \overline{S}_y(s)}{I_{y} \, b(s)} + \frac{T_y \, \overline{S}_z(s)}{I_{z} \, b(s)}$$
  
-Procedendo in analogia con quanto fatto per il taglio retto, introduciamo i due scorrimenti angolari medi $\overline{\gamma}_{xy}$ e $\overline{\gamma}_{xz}$.+Procedendo in analogia con quanto fatto per il taglio retto, introduciamo i due scorrimenti angolari medi $\gamma_{m,xy}$ e $\gamma_{m,xz}$.
  
 Applicando il principio dei lavori virtuali,  Applicando il principio dei lavori virtuali, 
Linea 81: Linea 80:
 da cui da cui
  
-$$\left (T_y \, \overline{\gamma}_{xy} + T_z \, \overline{\gamma}_{xz} \right) \mathrm{d}x = \frac{1}{G} \left( \int_{\Gamma}{\tau_{zs}^2 \, b(s) \; \mathrm{d}s} \right) \mathrm{d}x$$+$$\left (T_y \, \gamma_{m,xy} + T_z \, \gamma_{m,xz} \right) \mathrm{d}x = \frac{1}{G} \left( \int_{\Gamma}{\tau_{zs}^2 \, b(s) \; \mathrm{d}s} \right) \mathrm{d}x$$
  
 Sostituendo l'espressione di $\tau_{xs}$ trovata sopra arriviamo a scrivere Sostituendo l'espressione di $\tau_{xs}$ trovata sopra arriviamo a scrivere
  
-$$T_y \, \overline{\gamma}_{xy} + T_z \, \overline{\gamma}_{xz} = \frac{1}{G}  \int_{\Gamma} \left( \frac{T_z \, \overline{S}_y(s)}{b(s)} + \frac{T_y \, \overline{S}_z(s)}{I_{z} \, b(s)} \right)^2 \, b(s) \; \mathrm{d}s$$+$$T_y \, \gamma_{m,xy} + T_z \, \gamma_{m,xz} = \frac{1}{G}  \int_{\Gamma} \left( \frac{T_z \, \overline{S}_y(s)}{b(s)} + \frac{T_y \, \overline{S}_z(s)}{I_{z} \, b(s)} \right)^2 \, b(s) \; \mathrm{d}s$$
  
 Sviluppando i calcoli Sviluppando i calcoli
  
-$$T_y \, \overline{\gamma}_{xy} + T_z \, \overline{\gamma}_{xz} = +$$T_y \, \gamma_{m,xy} + T_z \, \gamma_{m,xz} = 
 \frac{T_z^2}{G \, I_{y}^2} \int_{\Gamma} \frac {\overline{S}_{y}(s)^{2}}{b(s)} \, \mathrm{d}s + \frac{T_z^2}{G \, I_{y}^2} \int_{\Gamma} \frac {\overline{S}_{y}(s)^{2}}{b(s)} \, \mathrm{d}s +
 2 \frac{T_y \, T_z}{G \, I_{y} \, I_{z}} \int_{\Gamma} \frac {\overline{S}_{y}(s) \, \overline{S}_{z}(s)}{b(s)} \, \mathrm{d}s + 2 \frac{T_y \, T_z}{G \, I_{y} \, I_{z}} \int_{\Gamma} \frac {\overline{S}_{y}(s) \, \overline{S}_{z}(s)}{b(s)} \, \mathrm{d}s +
Linea 106: Linea 105:
 L'espressione del lavoro virtuale unitario diventa L'espressione del lavoro virtuale unitario diventa
  
-$$T_y \, \overline{\gamma}_{xy} + T_z \, \overline{\gamma}_{xz} = \frac{t_y \, T_y^2}{G \, A} + 2 \frac{t_{yz} \, T_y \, T_z}{G \, A} + \frac{t_z \, T_z^2}{G \, A}$$+$$T_y \, \gamma_{m,xy} + T_z \, \gamma_{m,xz} = \frac{t_y \, T_y^2}{G \, A} + 2 \frac{t_{yz} \, T_y \, T_z}{G \, A} + \frac{t_z \, T_z^2}{G \, A}$$
  
-Per valutare la relazione esistente tra gli scorrimenti angolari medi ($\overline{\gamma}_{xy}$ e $\overline{\gamma}_{xz}$) e le risultanti di taglio $T_y$ e $T_z$ osserviamo che la linearità del problema elastico implica che tali grandezze siano legate da una legge lineare del tipo+Per valutare la relazione esistente tra gli scorrimenti angolari medi ($\gamma_{m,xy}$ e $\gamma_{m,xz}$) e le risultanti di taglio $T_y$ e $T_z$ osserviamo che la linearità del problema elastico implica che tali grandezze siano legate da una legge lineare del tipo
  
 $$\gamma_{m,xy} = c_{yy} \, T_y + c_{yz} \, T_z$$ $$\gamma_{m,xy} = c_{yy} \, T_y + c_{yz} \, T_z$$
Linea 114: Linea 113:
 $$\gamma_{m,xz} = c_{zy} \, T_y + c_{zz} \, T_z$$ $$\gamma_{m,xz} = c_{zy} \, T_y + c_{zz} \, T_z$$
  
-Applicando il Teorema di Reciprocità verifichiamo che i coefficienti $c_{yz}$ e $c_{zy}$ sono uguali tra di loro.+Applicando il Teorema di Reciprocità verifichiamo che i coefficienti  
 + 
 +$$c_{yz} = c_{zy} = t_{yz}$$ 
 + 
 +in cui abbiamo introdotto un terzo coefficiente di taglio $t_{yz}$.
  
 Pertanto, ritornando all'espressione del lavoro virtuale di sopra, possiamo esprimere gli scorrimenti medi nella forma Pertanto, ritornando all'espressione del lavoro virtuale di sopra, possiamo esprimere gli scorrimenti medi nella forma
Linea 120: Linea 123:
 $$\gamma_{m,xy} = \frac{t_y T_y}{G A} + \frac{t_{yz} T_z}{G A}$$ $$\gamma_{m,xy} = \frac{t_y T_y}{G A} + \frac{t_{yz} T_z}{G A}$$
  
-$$\gamma_{m,xz} = \frac{t_{yz} T_y}{G A} + \frac{t_y T_z}{G A}$$+$$\gamma_{m,xz} = \frac{t_{yz} T_y}{G A} + \frac{t_z T_z}{G A}$$
scienza_costruzioni/taglio.1384422221.txt.gz · Ultima modifica: 2021/06/13 13:07 (modifica esterna)

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