====== Taglio ======

===== Teoria approssimata del taglio =====

===== Taglio retto =====

Analizzando l'equilibrio a rotazione di un concio di trave rettilinea di lunghezza $\mathrm{d}x$, troviamo che

$$\mathrm{d}M_y = T_z \, \mathrm{d}x \Longrightarrow \frac{\mathrm{d}M_y}{\mathrm{d}x} = T_z$$

Tale relazione di esprime che la presenza dello sforzo tagliante $T_z$ implica la presenza di un momento $M_y$ variabile (la sua derivata è diversa da 0).

Tagliamo lo stesso tratto di trave di lunghezza $\mathrm{d}x$ con un asse parallelo all'asse $y$ di equazione $z=\overline{z}$. Supponiamo chiamiamo $b(\overline{z})$ sia la larghezza trasversale della sezione in corrispondenza di $z=\overline{z}$. La sezione intera $\Sigma$ viene così suddivisa in due sezioni che chiamiamo $\overline{\Sigma}$ e $\Sigma'^{\circ}$. Poiché l'asse $y$ è baricentrico per la sezione intera $\Sigma$, i momenti statici di $\overline{\Sigma}$ e $\Sigma'^{\circ}$ sono uguali ed opposti.

Imponendo l'equilibrio a traslazione lungo l'asse x otteniamo

$$- \iint_{\overline{\Sigma}} \sigma_{x} \mathrm{d}A - \int_{0}^{b(z)} {\tau}_{xz} \mathrm{d}y + \iint_{\overline{\Sigma}} \left( \sigma_x + \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} \mathrm{d}x \right) \, \mathrm{d}A = 0$$

che semplificata diventa

$$- \int_{0}^{b(z)} {\tau}_{xz} \mathrm{d}y + \iint_{\overline{\Sigma}} \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} \mathrm{d}x  \, \mathrm{d}A = 0$$

Limitandoci a calcolare il valor medio della $\tau_{xz}$, applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale otteniamo

$$\tau_{m,xz} (\overline{z}) = \frac{1}{b(\overline{z})} \iint_{\overline{\Sigma}} \frac{\partial \sigma_x}{\partial x}  dA$$

La derivata parziale $\frac{\partial \sigma_x}{\partial x}$ è correlata al solo momento flettente $M_y$ tramite la relazione

$$\frac{\partial \sigma_x}{\partial x} = \frac{d}{dx} \left( \frac{M_y}{I_y} y \right) = \frac{dM_y}{dx} \frac{y}{I_{yy}} = \frac{T_z y}{I_y}$$

Quindi possiamo esprimere la tensione tangenziale media $\overline{\tau}_{xz}$ con la relazione

$$\tau_{m,xz} ( \overline{z} )= \frac{T_z}{I_{yy} b(\overline{z})} \iint_{\overline{\Sigma}}{z dA} = \frac{T_z \overline{S}_{y}}{I_{yy} b(\overline{z})}$$

in cui $\overline{S}_{y}$ è il momento statico della sola sezione $\overline{\Sigma}$, mentre $I_{yy}$ è il momento di inerzia dell'intera sezione $\Sigma$.
La formula appena calcolata viene comunemente attribuita a Jourawsky.

La presenza di tensioni tangenziali determina l'insorgere di scorrimenti angolari, dati da

$$\gamma_{m,xz} (z) = \frac{\tau_{m,xz} (z)}{G}$$

variabili nella sezione.
Considerando un tratto infinitesimo di trave di lunghezza $\mathrm{d}x$, a seguito degli scorrimenti angolari variabili le due sezioni che delimitano il concio si ingobbano perdendo l'iniziale planarità e slittano tra di loro, facendo venir meno l'ortogonalità rispetto all'asse delle trave. Lo slittamento relativo $\mathrm{d}w$ può essere calcolato sfruttando il principio dei lavori virtuali

$$T_z \mathrm{d}w = 
\left( \iint \limits_{\Sigma} \tau_{xz} \gamma_{xz} dA \right) \mathrm{d}x = 
\frac{1}{G} \left( \iint \limits_{\Sigma} {{\tau_{xz}}^2 \mathrm{d}A} \right) \mathrm{d}x = 
\frac{T_z^2}{I_{yy}^2} \left( \iint \limits_{\Sigma} \frac{\overline{S}_{y}^2}{b(z)^2} \mathrm{d}A \right) \mathrm{d}x = 
\frac{T_z^2}{I_{yy}^2} \int \limits_{z_{inf}}^{z_{sup}} \frac{\overline{S}_{y}^2}{b(z)} \mathrm{d}z \mathrm{d}x =
T_z \gamma_{m,xz} \mathrm{d}x$$

in cui $z_{inf}$ e $z_{sup}$ sono le ordinate rispettivamente minima e massima della nostra sezione ed in cui si è introdotto una nuova grandezza, lo scorrimento angolare medio $\gamma_{m,xz}$, pari a

$$\gamma_{m,xz} = \frac{T_z}{I_{yy}^2} \int \limits_{z_{inf}}^{z_{sup}} \frac{\overline{S}_{y}^2}{b(z)} \mathrm{d}z$$

Possiamo ricondurre la notazione dello scorrimento angolare medio $\overline{\gamma}_{zy}$ a quella usata per la deformazione assiale nel caso di sforzo normale mediante

$$\gamma_{m,xz} = t_z \frac{T_z}{G A}$$

in cui abbiamo introdotto un nuovo coefficiente, il fattore di taglio $t_z$ definito come

$$t_{z} = \frac{A}{I_{yy}^2} \int \limits_{z_{inf}}^{z_{sup}} \frac{{\overline{S}_{y}}^2}{b(z)} \mathrm{d}z$$

funzione della sola geometria della sezione.

===== Taglio deviato in sezioni sottili =====

Per analizzare in maniera non approssimata il problema del taglio deviato ci riferiremo ad una sezione sottile, il cui asse è descritto mediante una curva $\Gamma$ percorsa dalla coordinata curvilinea $s$. Sia $b(s)$ lo spessore della sezione in un punto della curva individuato dalla coordinata $s$. Indichiamo infine con $\Sigma$ la superficie della nostra sezione.

Sottoponiamo tale sezione ad uno sforzo tagliante avente due componenti, $T_y$ e $T_z$. Trattandosi di sezione sottile, è possibile trascurare la componente della $\tau_{xn}$ normale alla curva, considerando quindi la sola componente $\tau_{xs}$, pari a

$$\tau_{xs} = \frac{T_z \, \overline{S}_y(s)}{I_{y} \, b(s)} + \frac{T_y \, \overline{S}_z(s)}{I_{z} \, b(s)}$$

Procedendo in analogia con quanto fatto per il taglio retto, introduciamo i due scorrimenti angolari medi $\gamma_{m,xy}$ e $\gamma_{m,xz}$.

Applicando il principio dei lavori virtuali, 

$$T_y \, \mathrm{d}v + T_z \, \mathrm{d}w = \frac{1}{G} \left( \iint_{\Sigma}{\tau_{zs} \, \gamma_{zs} \; \mathrm{d}A} \right) \mathrm{d}x$$

da cui

$$\left (T_y \, \gamma_{m,xy} + T_z \, \gamma_{m,xz} \right) \mathrm{d}x = \frac{1}{G} \left( \int_{\Gamma}{\tau_{zs}^2 \, b(s) \; \mathrm{d}s} \right) \mathrm{d}x$$

Sostituendo l'espressione di $\tau_{xs}$ trovata sopra arriviamo a scrivere

$$T_y \, \gamma_{m,xy} + T_z \, \gamma_{m,xz} = \frac{1}{G}  \int_{\Gamma} \left( \frac{T_z \, \overline{S}_y(s)}{b(s)} + \frac{T_y \, \overline{S}_z(s)}{I_{z} \, b(s)} \right)^2 \, b(s) \; \mathrm{d}s$$

Sviluppando i calcoli

$$T_y \, \gamma_{m,xy} + T_z \, \gamma_{m,xz} = 
\frac{T_z^2}{G \, I_{y}^2} \int_{\Gamma} \frac {\overline{S}_{y}(s)^{2}}{b(s)} \, \mathrm{d}s +
2 \frac{T_y \, T_z}{G \, I_{y} \, I_{z}} \int_{\Gamma} \frac {\overline{S}_{y}(s) \, \overline{S}_{z}(s)}{b(s)} \, \mathrm{d}s +
\frac{T_y^2}{G \, I_{z}^2} \int_{\Gamma} \frac {\overline{S}_{z}(s)^{2}}{b(s)} \, \mathrm{d}s$$

Definiamo i coefficienti di taglio

$$t_{y} = \frac{A}{I_z^2} \int_{\Gamma} \frac {\overline{S}_{z}(s)^{2}}{b(s)} \, \mathrm{d}s$$

$$t_{yz} = \frac{A}{I_y I_z} \int_{\Gamma} \frac {\overline{S}_{y}(s) \, \overline{S}_{z}(s)}{b(s)} \, \mathrm{d}s$$

$$t_{z} = \frac{A}{I_y^2} \int_{\Gamma} \frac {\overline{S}_{y}(s)^{2}}{b(s)} \, \mathrm{d}s$$

che dipendono esclusivamente dalla geometria della sezione.

L'espressione del lavoro virtuale unitario diventa

$$T_y \, \gamma_{m,xy} + T_z \, \gamma_{m,xz} = \frac{t_y \, T_y^2}{G \, A} + 2 \frac{t_{yz} \, T_y \, T_z}{G \, A} + \frac{t_z \, T_z^2}{G \, A}$$

Per valutare la relazione esistente tra gli scorrimenti angolari medi ($\gamma_{m,xy}$ e $\gamma_{m,xz}$) e le risultanti di taglio $T_y$ e $T_z$ osserviamo che la linearità del problema elastico implica che tali grandezze siano legate da una legge lineare del tipo

$$\gamma_{m,xy} = c_{yy} \, T_y + c_{yz} \, T_z$$

$$\gamma_{m,xz} = c_{zy} \, T_y + c_{zz} \, T_z$$

Applicando il Teorema di Reciprocità verifichiamo che i coefficienti 

$$c_{yz} = c_{zy} = t_{yz}$$

in cui abbiamo introdotto un terzo coefficiente di taglio $t_{yz}$.

Pertanto, ritornando all'espressione del lavoro virtuale di sopra, possiamo esprimere gli scorrimenti medi nella forma

$$\gamma_{m,xy} = \frac{t_y T_y}{G A} + \frac{t_{yz} T_z}{G A}$$

$$\gamma_{m,xz} = \frac{t_{yz} T_y}{G A} + \frac{t_z T_z}{G A}$$