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Stabilità dell'equilibrio elastico
Si consideri una trave semplicemente appoggiata soggetta ad un carico assiale di compressione $N$ ($N > 0$). Analizziamo l'equilibrio a rotazione di un tratto di trave di lunghezza $\mathrm{d}x$ nella configurazione deformata
$$\frac{\mathrm{d} M_z}{\mathrm{d}x} - N \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d}x} = T_y$$
Derivando tale relazione due volte e ricordando che, in assenza di carico trasversale distribuito, l'equilibrio a traslazione verticale ci permette di scrivere
$$\frac{\mathrm{d} T_y}{\mathrm{d}x} = 0$$
otteniamo
$$\frac{\mathrm{d^2} M_z}{\mathrm{d}x^2} + N \frac{\mathrm{d}^2 v}{\mathrm{d}x^2} = 0$$
Supponendo trascurabile l'influenza del taglio sulla linea elastica
$$E \, I_z \frac{\mathrm{d^4} v}{\mathrm{d}x^4} + N \frac{\mathrm{d}^2 v}{\mathrm{d}x^2} = 0$$
che possiamo scrivere anche nella forma
$$\frac{\mathrm{d^4} v}{\mathrm{d}x^4} + \alpha^2 \frac{\mathrm{d}^2 v}{\mathrm{d}x^2} = 0$$
in cui
$$\alpha^2 = \frac{N}{E I_z}$$
Imponiamo le condizioni al contorno
$$ v(0) = 0$$
$$ v(l) = 0$$
$$ M_z(0) = - E I_z \frac{\mathrm{d}^2 v}{\mathrm{d}x^2} (0) = 0$$
$$M_z(l) = - E I_z \frac{\mathrm{d}^2 v}{\mathrm{d}x^2} (l) = 0$$
Sicuramente la soluzione indeformata rispetta i termini del nostro problema
$$v(x) = 0$$
Inoltre per
$$\alpha \, l = k \, \pi$$
alla soluzione indeformata si aggiungono tutte le infinite soluzioni
$$v(x) = B \, \sin ( \alpha x) $$
in cui $B \in \mathbb{R}$.
Quindi per tali valori di $\alpha$ accanto alla soluzione rettilinea indeformata l’asta ammette configurazioni inflesse di ampiezza indefinita (biforcazione dell’equilibrio). Ai suddetti valori di $\alpha$ corrispondono valori del carico assiale ben precisi. Il più piccolo valore di $N$ che rispetta la suddetta relazione è detto carico critico euleriano
$$N_{cr} = \frac{\pi^2 E J}{l^2}$$
Definita snellezza della trave la grandezza
$$\lambda = \frac{l}{i} = l \sqrt{\frac{A}{I_z}}$$
il carico critico euleriano può essere scritto nella forma
$$N_{cr} = \frac{\pi^2 E A}{\lambda^2}$$
Dividendo per l'area della sezione trasversale otteniamo la tensione critica euleriana
$$\sigma_{cr} = \frac{\pi^2 E}{\lambda^2}$$
Le soluzioni appena trovate possono essere estese anche a condizioni di vincolo diverse, avendo l'accortezza di sostituire alla lunghezza $l$ la lunghezza libera di inflessione $L_0$ definita come la distanza minima tra i punti di flesso della deformata. Posta $l$ la lunghezza della trave analizzata, avremo
$$ L_0 = \beta l$$
in cui $\beta$ è funzione delle sole condizioni al contorno.
Diamo di seguito alcuni valori di $\beta$
vincolo primo estremo | vincolo secondo estremo | $\beta$ | Nota |
---|---|---|---|
cerniera | carrello | $1$ | |
incastro | carrello | $2/3$ | |
incastro | libero | $2$ | |
incastro | incastro | $1$ | con spostamento trasversale relativo degli estremi |
incastro | incastro | $1/2$ | senza spostamento trasversale relativo degli estremi |