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Il solido viscoelastico lineare
Legge costitutiva viscoelastico lineare
L'ipotesi di comportamento elastico lineare presuppone una relazione lineare costante nel tempo tra le tensioni applicate al solido e le relative deformazioni. Nelle realtà invece non solo la legge costitutiva non è di tipo lineare, ma non è neanche costante nel tempo.
L'ipotesi viscoelastica lineare si approccia a tali evidenze sperimentali prevedendo comunque una relazione di tipo lineare tra tensioni e deformazioni, ma con coefficienti variabili nel tempo. Tale ipotesi ha riscontro applicativo per deformazioni all'interno di un range contenute di tensioni/deformazioni.
Analizziamo il problema assumendo come variabile indipendente la tensione agente $\boldsymbol{\sigma}$.
Per formalizzare le ipotesi alla base del comportamento viscoelastico lineare, consideriamo che la deformazione al tempo $t$ dipenda dalla storia tensionale $\boldsymbol{\sigma}(t)$. La relazione che lega le deformazioni alle tensioni è allora un funzionale (e.g. una funzione che accetta come argomento un'altra funzione) del tipo
$$ \boldsymbol{\varepsilon} = \mathbb{J} \left( \boldsymbol{\sigma} \right)$$
L'ipotesi viscoelastica lineare suppone che il funzionale $\mathbb{J}$ gode della proprietà di linearità. Date quindi due storie tensionali $\boldsymbol{\sigma}_{1}(t)$ e $\boldsymbol{\sigma}_{2}(t)$ e due valori reali $a$ e $b$, deve essere verificata la condizione
$$ \mathbb{J} \left( a \, \boldsymbol{\sigma}_{1} + b \, \boldsymbol{\sigma}_{2} \right) = a \, \mathbb{J} \left( \boldsymbol{\sigma}_{1} \right) + b \, \mathbb{J} \left( \boldsymbol{\sigma}_{2} \right) $$
Notiamo che, per motivi fisici, il valore assunto dalla funzione $\boldsymbol{\varepsilon}(t)$ al tempo $t_0$ dipende dai valori che la storia tensionale $\boldsymbol{\sigma}(t)$ assume nel solo intervallo $(-\infty, t_0)$. Pertanto se due storie tensionali $\boldsymbol{\sigma}_{1}(t)$ e $\boldsymbol{\sigma}_{2}(t)$ sono uguali per $t < t_0$, anche le corrispondenti deformazioni $\boldsymbol{\varepsilon}_1 = \mathbb{J} \left( \boldsymbol{\sigma}_{1} \right)$ e $\boldsymbol{\varepsilon}_2 = \mathbb{J} \left( \boldsymbol{\sigma}_{2} \right)$ saranno uguali per $t < t_0$.
Analogamente a quanto visto sopra, supponendo come variabile indipendente la storia delle deformazioni $\boldsymbol{\varepsilon}(t)$, possiamo definire un funzionale $\mathbb{R}$ che ci permette di conoscere la legge di variazione nel tempo delle tensioni $\boldsymbol{\sigma}(t)$
$$ \boldsymbol{\sigma} = \mathbb{R} \left( \boldsymbol{\varepsilon} \right)$$
Anche per la funzione $\mathbb{R}$ l'ipotesi di comportamento viscoelastico lineare comporta
$$ \mathbb{R} \left( a \, \boldsymbol{\varepsilon}_{1} + b \, \boldsymbol{\varepsilon}_{2} \right) = a \, \mathbb{R} \left( \boldsymbol{\varepsilon}_{1} \right) + b \, \mathbb{R} \left( \boldsymbol{\varepsilon}_{2} \right) $$
La linearità dei due funzionali è indicata in letteratura come principio di sovrapposizione di McHenry.
Il calcestruzzo: un materiale viscoelastico
Analizzando un provino in calcestruzzo non soggetto ad alcuna forza esterna, registriamo la presenza di deformazioni dovuto al fenomento del ritiro.
Scienza Costruzioni:Calcestruzzo viscoelastico 02.svg
Per far emergere il comportamento viscoelastico del calcestruzzo è quindi prima di tutto necessario dedurre la deformazione dovuta al ritiro.
Sottoponiamo il nostro provino in calcestruzzo ad una variazione di tensione $\Delta \sigma$ compresa tra gli istanti di tempo $t_0$ e $t_1$.
Per $t < t_0$ registriamo la sola deformazione dovuta al ritiro.
Per $t = t_0$ registriamo una deformazione istantanea $\varepsilon_{ci}(t_0)$. Per $t_0 < t < t_1$ registriamo un'evoluzione della deformazione che sarà pari a
$$\varepsilon (t) = \varepsilon_{cs} (t) + \varepsilon_{ci} (t_0) + \varepsilon_{cc} (t) $$
Il termine $\varepsilon_{cc} (t)$ è il termine legato al fluage.
Per $t = t_1$ registriamo una deformazione istantanea $\varepsilon_{ci}(t_1)$ che sarà minore della deformazione istantanea $\varepsilon_{ci}(t_0)$ a causa della maturazione del calcestruzzo e del conseguente aumento del modulo di elasticità normale.
Per $t > t_1$ avremo una deformazione differita legata anch'essa al fenomeno del fluage.
Riassumiamo il percorso di carico appena descritto con i seguenti due diagrammi
Scienza Costruzioni:Calcestruzzo viscoelastico 01.svg