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--- scienza_costruzioni:solido_viscoelastico_lineare [2013/04/19 17:56]
mickele [Principio di acquisizione dei vincoli posticipati (3° principio della viscoelasticità lineare)]
+++ scienza_costruzioni:solido_viscoelastico_lineare [2021/06/13 13:08] (versione attuale)
@@ Linea 5: / Linea 5: @@
 L'ipotesi di comportamento //elastico lineare// presuppone una relazione //lineare costante nel tempo// tra le tensioni applicate al solido e le relative deformazioni. Nelle realtà invece non solo la legge costitutiva non è di tipo lineare, ma non è neanche costante nel tempo.
-L'ipotesi viscoelastica lineare si approccia a tali evidenze sperimentali prevedendo comunque una relazione di tipo lineare tra tensioni e deformazioni, ma con coefficienti variabili nel tempo. Tale ipotesi ha riscontro applicativo per deformazioni all'interno di un range contenute di tensioni/deformazioni.
+L'ipotesi viscoelastica lineare si approccia a tali evidenze sperimentali prevedendo comunque una relazione di tipo lineare tra tensioni e deformazioni, ma con coefficienti variabili nel tempo. Tale ipotesi ha riscontro applicativo per deformazioni/tensioni contenute all'interno di un range ristretto di valori. Ad esempio l'eurocodice 2, per supporre valida l'ipotesi viscoelastica lineare, impone che la tensione nel calcestruzzo $\sigma_c$ sia minore di $0,45 f_{ck}$.
-Analizziamo in prima battuta il problema assumendo come variabile indipendente la tensione agente $\boldsymbol{\sigma}$.
+Analizziamo il problema assumendo come variabile indipendente la tensione agente $\boldsymbol{\sigma}$.
 Per formalizzare le ipotesi alla base del comportamento viscoelastico lineare, consideriamo che la deformazione al tempo $t$ dipenda dalla storia tensionale $\boldsymbol{\sigma}(t)$. La relazione che lega le deformazioni alle tensioni è allora un funzionale (e.g. una funzione che accetta come argomento un'altra funzione) del tipo
@@ Linea 36: / Linea 36: @@
 La linearità dei due funzionali è indicata in letteratura come //principio di sovrapposizione di McHenry//.
-===== Funzione di fluage =====
-Supponiamo la nostra storia di carico sia costituita da una funzione a gradino
+===== Applicazione del principio di sovrapposizione =====
-$$
+Per meglio chiarire le implicazioni pratiche del principio di sovrapposizione facciamo alcuni esempi concreti.
-\sigma_{x} (t) =
-\begin{cases}
-& t < t_0\\\\
-\sigma_{x,0} & t \ge t_0\\\\
-\end{cases}
-$$
-$$\sigma_{y} = \sigma_{z} = \tau_{xy} = \tau_{xz} = \tau_{yz} = 0$$
-Definiamo coefficente di fluage il valore assunto dalla deformazione viscosa per $t \ge t_0$
-$$
-\varepsilon_{cc,x} (t) =
-\sigma_{x,0} \frac{\varphi(t,t_0)}{E_c}
-$$
-in cui $E_c$ è il modulo di elasticità normale al tempo $t_0$. L'aver supposto una relazione lineare tra $\varepsilon_{cc,x} (t)$ e $\sigma_{x,0}$ è una diretta conseguenza dell'ipotesi viscoelastica lineare.
-Sommando alla deformazione viscosa la deformazione elastica otteniamo
-$$
-\varepsilon_{x} (t) =
-\sigma_{x,0} \frac{1+\varphi(t,t_0)}{E_c(t_0)}
-$$
-Chiamiamo la grandezza
-$$J(t,t_0) = \frac{1+\varphi(t,t_0)}{E_c(t_0)}$$
-funzione di fluage.
-{{svg>Scienza Costruzioni:Solido viscoelastico lineare 01.svg}}
-Nel caso invece di una generica storia tensionale
-$$\sigma_x(t) =
-\begin{cases}
-& t < t_0 \\\\
-\sigma_{x,0} & t = t_0 \\\\
-\sigma_{x,0} + \sigma_{x,1}(t)& t > t_0 \\\\
-\end{cases}$$
-in cui
-$$\sigma_{x,1}(t_0) = 0$$
-l'ipotesi viscoelastica lineare ci permette di scrivere
-$$\varepsilon_x(t,t_0) = J(t,t_0) \sigma_{x,0} +  \int \limits_{t_0}^{t} J(t,t_0) \frac{\mathrm{d} \sigma_{x,1}}{\mathrm{d} t} \, \mathrm{d}t$$
-===== Funzione di rilassamento =====
-Supponiamo di sottoporre un provino alla seguente storia di deformazione
-$$
-\varepsilon_{x} (t) =
-\begin{cases}
-& t < t_0\\\\
-\varepsilon_{x,0} & t \ge t_0\\\\
-\end{cases}
-$$
-Definiamo la funzione di rilassamento $R(t, t_0)$ in maniera tale che il corrispondente valore della tensione per $t \ge t_0$ sia espresso nella forma
-$$
-\sigma_{x} (t) =
-\varepsilon_{x,0} R(t,t_0)
-$$
-Anche in questo caso l'aver supposto una relazione lineare tra $\sigma_{x} (t)$ e $\varepsilon_{x,0}$ è una diretta conseguenza dell'ipotesi viscoelastica lineare.
-Nel caso di deformazioni imposte di tipo generico
-$$\varepsilon_x(t) =
-\begin{cases}
-& t < t_0 \\\\
-\varepsilon_{x,0} & t = t_0 \\\\
-\varepsilon_{x,0} + \varepsilon_{x,1}(t)& t > t_0 \\\\
-\end{cases}$$
-in cui
-$$\varepsilon_{x,1}(t_0) = 0$$
-l'ipotesi viscoelastica lineare ci permette di scrivere
-$$\sigma_x(t,t_0) = R(t,t_0) \varepsilon_{x,0} +  \int \limits_{t_0}^{t} R(t,t_0) \frac{\mathrm{d} \varepsilon_{x,1}}{\mathrm{d} t} \, \mathrm{d}t$$
-===== Legame tra funzione di fluage e funzione di rilassamento =====
-Supponendo nota la funzione di fluage $J(t,t_0)$, deriviamo da quest'ultima la funzione di rilassamento.
-Per farlo sottoponinamo il nostro provino alla seguente storia di deformazione
-$$
-\varepsilon_{x} (t) =
-\begin{cases}
-& t < t_0\\\\
-& t \ge t_0\\\\
-\end{cases}
-$$
-Secondo quanto visto sopra
-$$\varepsilon_x(t,t_0) = 1 = J(t,t_0) \, \sigma_{x} (t_0) +  \int \limits_{t_0}^{t} J(t,t_0) \frac{\mathrm{d} \sigma_{x}}{\mathrm{d} t} \, \mathrm{d}t$$
-La tensione $\sigma_{x}(t)$ è uguale alla funzione di rilassamento, quindi possiamo scrivere
-$$1 = J(t,t_0) \, R(t_0,t_0) +  \int \limits_{t_0}^{t} J(t,t_0) \frac{\partial R(t,t_0)}{\partial t} \, \mathrm{d}t$$
-Integrando la numericamente tale relazione riusciamo a derivare la funzione di rilassamento $R(t, t_0)$.
-Analogamente possiamo derivare la funzione di fluage nota la funzione di rilassamento. Questa volta sottoponiamo il nostro materiale alla storia tensionale
-$$
-\sigma_{x} (t) =
-\begin{cases}
-& t < t_0\\\\
-& t \ge t_0\\\\
-\end{cases}
-$$
-La deformazione al tempo $t$ sarà pari alla funzione di fluage, allora possiamo scrivere la relazione
-$$1 = R(t,t_0) J(t, t_0) +  \int \limits_{t_0}^{t} R(t,t_0) \frac{\partial J(t,t_0)}{\partial t} \, \mathrm{d}t$$
-che integrata numericamente ci permette di trovare la funzione $J(t,t_0)$ cercata.
-Le due relazioni differenziali trovate sono chiamate //integrali di Volterra//.
-===== Teorema dell'isomorfismo (2° principio della viscoelasticità lineare) =====
-Il teorema dell'isomorfismo afferma che:
+Definiamo una storia tensionale in cui al tempo $t_1$ applichiamo al solido una tensione $\Delta \sigma_1$. Supponiamo nota l'evoluzione dello stato deformativo che chiameremo $\varepsilon_1 (t)$.
-> L’introduzione in un corpo elastico omogeneo a vincoli rigidi in stato di coazione di una deformazione impressa simile alla deformazione elastica preesistente non modifica lo stato di deformazione, mentre lo stato di tensione varia in similitudine a se stesso.
+{{svg>scienza_costruzioni:solido_viscoelastico_lineare_01.svg}}
-Supponiamo che il nostro corpo viscoelastico sia soggetto a deformazioni impresse $\bar{\varepsilon}_A$. Come conseguenza nasceranno nel corpo deformazioni elastiche $\varepsilon_{el,A}$, di modo che le deformazioni totali siano date da
+Analogamente definiamo una seconda storia tensionale in cui al tempo $t_2$ applichiamo al solido una tensione $\Delta \sigma_2$. Chiameremo $\varepsilon_2 (t)$ l'evoluzione dello stato deformativo associata.
-$$\varepsilon_{tot,A} = \bar{\varepsilon}_A + \varepsilon_{el,A}$$
+{{svg>scienza_costruzioni:solido_viscoelastico_lineare_02.svg}}
-Alle deformazioni elastiche $\varepsilon_{el,A}$ saranno associate delle tensioni $\sigma_A$.
+Sommando le due storie tensionali, la deformazione corrispondente sarà ottenuta dalla somma $\varepsilon_1 (t) + \varepsilon_2 (t)$
-Introduciamo nel corpo delle deformazioni impresse $\bar{\varepsilon}_B = k \, \varepsilon_{el,A}$, simili alle deformazioni elastiche $\varepsilon_{el,A}$ viste prima. Le deformazioni $\bar{\varepsilon}_B$ sono dette isomorfe.
+{{svg>scienza_costruzioni:solido_viscoelastico_lineare_03.svg}}
-Le deformazioni $\bar{\varepsilon}_B$ sono non congurenti e incompatibili, pertanto determineranno delle deformazioni elastiche $\varepsilon_{el,B}$. Supponiamo che queste siano uguali ed opposte ad $\bar{\varepsilon}_B$. Per dimostrare la correttezza di tale supposizione verifichiamo che determinano una deformazione totale congruente e compatibile
+Considerando $\Delta \sigma_1 = \Delta \sigma_2 = \Delta \sigma$, avremo due deformazioni $\varepsilon_1 (t)$ e $\varepsilon_2 (t)$. Considerando un terzo processo di carico in cui altempo $t_2$ applichiamo la tensione  $\Delta \sigma_3 = - \Delta \sigma$. Per l'ipotesi viscoelastica lineare avremo una deformazione $\varepsilon_3 (t) = - \varepsilon_2 (t)$. Sovrapponendo la prima e la terza storia tensionale otteniamo un processo di carico in cui al tempo $t_1$ carichiamo il solido con la tensione $\Delta \sigma$ e al tempo $t_2$ lo scarichiamo.
-$$\varepsilon_{tot,A+B} = \bar{\varepsilon}_A + \varepsilon_{el,A} + \bar{\varepsilon}_{B} + \varepsilon_{el,B} = \bar{\varepsilon}_A + \varepsilon_{el,A} = \varepsilon_{tot,A}$$
+La corrispondente deformazione sarà data da
-Dimostrata quindi la validità della soluzione trovata, il teorema di Kirchoff ce ne assicura l'unicità.
+{{svg>scienza_costruzioni:solido_viscoelastico_lineare_04.svg}}
-Verifichiamo cosa accade a livello tensionale. Poiché $\varepsilon_{el,B} = - k \, \varepsilon_{el,A}$, allora $\sigma_{B} = - k \, \sigma_{A}$. Applicando il principio di sovrapposizione degli effetti avremo pertanto
+===== Il calcestruzzo: un materiale viscoelastico  =====
-$$\sigma_{A+B} = \sigma_{A} + \sigma_{B} = \sigma_{A} \left( 1 - k \right)$$
+Analizzando un provino in calcestruzzo non soggetto ad alcuna forza esterna, registriamo la presenza di deformazioni dovuto al ritiro.
-che dimostra l'assunto di partenza.
+{{svg>  Scienza Costruzioni:Calcestruzzo viscoelastico 02.svg }}
-Un corpo viscoelastico lineare può essere interpretato come un corpo elastico-lineare soggetto a deformazioni impresse isomorfe variabili nel tempo. Pertanto è possibile applicare il teorema dell'isomorfismo appena visto arrivando pertanto a definire il secondo principio della viscoelasticità lineare:
+Per far emergere il comportamento viscoelastico del calcestruzzo è quindi necessario dedurre la deformazione dovuta al ritiro $\varepsilon_{cs}(t)$.
-> In un corpo viscoelastico lineare omogeneo a vincoli rigidi, se al tempo $t_0$ applichiamo uno stato di coazione non congruente e/o incompatibile, lo stato di deformazione al tempo $t_0$ rimane costante, lo stato di tensione iniziale decresce secondo la funzione di rilassamento $R(t,t_0)$.
+Sottoponiamo il nostro provino in calcestruzzo ad una variazione di tensione $\Delta \sigma$ compresa tra gli istanti di tempo $t_0$ e $t_1$.
-Ad esempio, consideriamo una trave soggetta a precompressione mediante martinetti applicati alle basi, e poi bloccata. Nel tempo interviene il fluage determinando una deformazione impressa proporzionale alla deformazione elastica iniziale. Applicando quanto appena visto, lo stato di deformazione della trave non varierebbe nel tempo, mentre lo stato di tensione diminuirebbe mantenendosi simile allo stato tensionale iniziale. Sperimentalmente è difficile realizzare in pieno le suddette ipotesi perché nella realtà la nostra struttura dovrà essere soggetta almeno al peso proprio che costituirebbe un sistema di forze esterne che determinerebbe un sistema di deformazioni la cui evoluzione nel tempo ci viene descritta dal primo principio della viscoelasticità lineare che vedremo di seguito.
+Per $t < t_0$ registriamo la sola deformazione dovuta al ritiro.
-===== Corollario del teorema dell'isomorfismo (1°principio della viscoelasticità lineare) =====
+Per $t = t_0$ registriamo una deformazione istantanea $\varepsilon_{ci}(t_0)$ che rientrerebbe all'interno della teoria del solido elastico.
-Un corollario del teorema dell'isomorfismo afferma che:
+A differenziare il comportamento del solido viscoelastico è la presenza, per $t > t_0$, di un'evoluzione della deformazione esprimibile nella forma
-> L’introduzione in un corpo elastico omogeneo a vincoli rigidi soggetto ad in sistema di forze equilibrato di una deformazione simile a quella elastica preesistente non modifica lo stato di sollecitazione, mentre lo stato di deformazione cambia restando simile a se stesso.
+$$\varepsilon (t) = \varepsilon_{cs} (t) + \varepsilon_{ci} (t_0) + \varepsilon_{cc} (t) $$
-Applicando tale corollario ad un corpo viscoelastico lineare omogeneo, otteniamo il primo principio della viscoelasticità lineare:
+Il termine $\varepsilon_{ci} (t_0) + \varepsilon_{cc} (t)$ è la deformazione viscoelastica del calcestruzzo in cui abbiamo separato la deformazione istantanea $\varepsilon_{ci} (t_0)$ dall'evoluzione temporale $\varepsilon_{cc} (t)$ che chiameremo deformazione di fluage.
-> In un corpo viscoelastico lineare, se al tempo $t_0$ viene applicato un sistema di forze permanenti, lo stato tensionale provocato al tempo $t_0$ si mantiene costante nel tempo, mentre lo stato deformativo iniziale cresce secondo la funzione di fluage $J(t,t_0)$.
+All'istante $t_1$ scarichiamo il provino registrando una deformazione istantanea $\varepsilon_{ci}(t_1)$ che sarà in modulo minore della deformazione istantanea $\varepsilon_{ci}(t_0)$ a causa della maturazione del calcestruzzo e del conseguente aumento del modulo di elasticità normale.
-===== Principio di acquisizione dei vincoli posticipati (3° principio della viscoelasticità lineare) =====
-Il principio di acquisizione dei vincoli posticipati afferma che:
+Così come per $t > t_0$ abbiamo registrato un'evoluzione della deformazione successiva all'applicazione del carico, per $t > t_1$ registreremo un'ulteriore evoluzione temporale della deformazione successiva alla deformazione istantanea $\varepsilon_{ci}(t_1)$.
-> In un corpo viscoelastico lineare omogeneo a vincoli rigidi, se al tempo $t_1$, successivo al tempo $t_0$ di applicazione del carico, viene aggiunto un vincolo (interno od esterno), lo stato di tensione precedente all'applicazione del vincolo si modifica avvicinandosi, a tempo infinito, a quello che sarebbe sorto nella struttura sottoposta allo stesso carico ma con il vincolo aggiunto fin dal tempo $t_0$.
+Riassumiamo il percorso di carico appena descritto con i seguenti due diagrammi riassuntivi dell'evoluzione dello stato di deformazione e di tensione del provino analizzato
-Consideriamo un corpo elastico ed omogeneo in presenza di forze costanti $F$ applicate al tempo $t_0$. Il corollario del teorema dell'isomorfismo ci dice che le reazioni vincolari $X_i$ saranno costanti nel tempo.
+{{svg>Scienza Costruzioni:Calcestruzzo viscoelastico 01.svg}}
-Al tempo $t_0$ applichiamo un vincolo n+1.

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