====== Il solido viscoelastico lineare ======

===== Legge costitutiva viscoelastico lineare  =====

L'ipotesi di comportamento //elastico lineare// presuppone una relazione //lineare costante nel tempo// tra le tensioni applicate al solido e le relative deformazioni. Nelle realtà invece non solo la legge costitutiva non è di tipo lineare, ma non è neanche costante nel tempo.

L'ipotesi viscoelastica lineare si approccia a tali evidenze sperimentali prevedendo comunque una relazione di tipo lineare tra tensioni e deformazioni, ma con coefficienti variabili nel tempo. Tale ipotesi ha riscontro applicativo per deformazioni/tensioni contenute all'interno di un range ristretto di valori. Ad esempio l'eurocodice 2, per supporre valida l'ipotesi viscoelastica lineare, impone che la tensione nel calcestruzzo $\sigma_c$ sia minore di $0,45 f_{ck}$.

Analizziamo il problema assumendo come variabile indipendente la tensione agente $\boldsymbol{\sigma}$.

Per formalizzare le ipotesi alla base del comportamento viscoelastico lineare, consideriamo che la deformazione al tempo $t$ dipenda dalla storia tensionale $\boldsymbol{\sigma}(t)$. La relazione che lega le deformazioni alle tensioni è allora un funzionale (e.g. una funzione che accetta come argomento un'altra funzione) del tipo

$$ \boldsymbol{\varepsilon} = \mathbb{J} \left( \boldsymbol{\sigma}  \right)$$

L'ipotesi viscoelastica lineare suppone che il funzionale $\mathbb{J}$ gode della proprietà di linearità. Date quindi due storie tensionali $\boldsymbol{\sigma}_{1}(t)$ e $\boldsymbol{\sigma}_{2}(t)$ e due valori reali $a$ e $b$, deve essere verificata la condizione

$$
\mathbb{J} \left( a \, \boldsymbol{\sigma}_{1} + b \, \boldsymbol{\sigma}_{2} \right) = 
a \, \mathbb{J} \left( \boldsymbol{\sigma}_{1} \right) + 
b \, \mathbb{J} \left( \boldsymbol{\sigma}_{2} \right)
$$

Notiamo che, per motivi fisici, il valore assunto dalla funzione $\boldsymbol{\varepsilon}(t)$ al tempo $t_0$ dipende dai valori che la storia tensionale $\boldsymbol{\sigma}(t)$ assume nel solo intervallo $(-\infty, t_0)$. Pertanto se due storie tensionali $\boldsymbol{\sigma}_{1}(t)$ e $\boldsymbol{\sigma}_{2}(t)$ sono uguali per $t < t_0$, anche le corrispondenti deformazioni $\boldsymbol{\varepsilon}_1 = \mathbb{J} \left( \boldsymbol{\sigma}_{1} \right)$ e $\boldsymbol{\varepsilon}_2 = \mathbb{J} \left( \boldsymbol{\sigma}_{2} \right)$ saranno uguali per $t < t_0$.

Analogamente a quanto visto sopra, supponendo come variabile indipendente la storia delle deformazioni $\boldsymbol{\varepsilon}(t)$, possiamo definire un funzionale $\mathbb{R}$ che ci permette di conoscere la legge di variazione nel tempo delle tensioni $\boldsymbol{\sigma}(t)$

$$ \boldsymbol{\sigma} = \mathbb{R} \left( \boldsymbol{\varepsilon} \right)$$

Anche per la funzione $\mathbb{R}$ l'ipotesi di comportamento viscoelastico lineare comporta

$$
\mathbb{R} \left( a \, \boldsymbol{\varepsilon}_{1} + b \, \boldsymbol{\varepsilon}_{2} \right) =
a \, \mathbb{R} \left( \boldsymbol{\varepsilon}_{1} \right) +
b \, \mathbb{R} \left( \boldsymbol{\varepsilon}_{2} \right)
$$

La linearità dei due funzionali è indicata in letteratura come //principio di sovrapposizione di McHenry//.

===== Applicazione del principio di sovrapposizione =====

Per meglio chiarire le implicazioni pratiche del principio di sovrapposizione facciamo alcuni esempi concreti.

Definiamo una storia tensionale in cui al tempo $t_1$ applichiamo al solido una tensione $\Delta \sigma_1$. Supponiamo nota l'evoluzione dello stato deformativo che chiameremo $\varepsilon_1 (t)$.

{{svg>scienza_costruzioni:solido_viscoelastico_lineare_01.svg}}

Analogamente definiamo una seconda storia tensionale in cui al tempo $t_2$ applichiamo al solido una tensione $\Delta \sigma_2$. Chiameremo $\varepsilon_2 (t)$ l'evoluzione dello stato deformativo associata.

{{svg>scienza_costruzioni:solido_viscoelastico_lineare_02.svg}}

Sommando le due storie tensionali, la deformazione corrispondente sarà ottenuta dalla somma $\varepsilon_1 (t) + \varepsilon_2 (t)$

{{svg>scienza_costruzioni:solido_viscoelastico_lineare_03.svg}}

Considerando $\Delta \sigma_1 = \Delta \sigma_2 = \Delta \sigma$, avremo due deformazioni $\varepsilon_1 (t)$ e $\varepsilon_2 (t)$. Considerando un terzo processo di carico in cui altempo $t_2$ applichiamo la tensione  $\Delta \sigma_3 = - \Delta \sigma$. Per l'ipotesi viscoelastica lineare avremo una deformazione $\varepsilon_3 (t) = - \varepsilon_2 (t)$. Sovrapponendo la prima e la terza storia tensionale otteniamo un processo di carico in cui al tempo $t_1$ carichiamo il solido con la tensione $\Delta \sigma$ e al tempo $t_2$ lo scarichiamo.

La corrispondente deformazione sarà data da

{{svg>scienza_costruzioni:solido_viscoelastico_lineare_04.svg}}

===== Il calcestruzzo: un materiale viscoelastico  =====

Analizzando un provino in calcestruzzo non soggetto ad alcuna forza esterna, registriamo la presenza di deformazioni dovuto al ritiro.

{{svg>  Scienza Costruzioni:Calcestruzzo viscoelastico 02.svg }}

Per far emergere il comportamento viscoelastico del calcestruzzo è quindi necessario dedurre la deformazione dovuta al ritiro $\varepsilon_{cs}(t)$.

Sottoponiamo il nostro provino in calcestruzzo ad una variazione di tensione $\Delta \sigma$ compresa tra gli istanti di tempo $t_0$ e $t_1$. 

Per $t < t_0$ registriamo la sola deformazione dovuta al ritiro.

Per $t = t_0$ registriamo una deformazione istantanea $\varepsilon_{ci}(t_0)$ che rientrerebbe all'interno della teoria del solido elastico.

A differenziare il comportamento del solido viscoelastico è la presenza, per $t > t_0$, di un'evoluzione della deformazione esprimibile nella forma

$$\varepsilon (t) = \varepsilon_{cs} (t) + \varepsilon_{ci} (t_0) + \varepsilon_{cc} (t) $$

Il termine $\varepsilon_{ci} (t_0) + \varepsilon_{cc} (t)$ è la deformazione viscoelastica del calcestruzzo in cui abbiamo separato la deformazione istantanea $\varepsilon_{ci} (t_0)$ dall'evoluzione temporale $\varepsilon_{cc} (t)$ che chiameremo deformazione di fluage.

All'istante $t_1$ scarichiamo il provino registrando una deformazione istantanea $\varepsilon_{ci}(t_1)$ che sarà in modulo minore della deformazione istantanea $\varepsilon_{ci}(t_0)$ a causa della maturazione del calcestruzzo e del conseguente aumento del modulo di elasticità normale.

Così come per $t > t_0$ abbiamo registrato un'evoluzione della deformazione successiva all'applicazione del carico, per $t > t_1$ registreremo un'ulteriore evoluzione temporale della deformazione successiva alla deformazione istantanea $\varepsilon_{ci}(t_1)$.

Riassumiamo il percorso di carico appena descritto con i seguenti due diagrammi riassuntivi dell'evoluzione dello stato di deformazione e di tensione del provino analizzato

{{svg>Scienza Costruzioni:Calcestruzzo viscoelastico 01.svg}}