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scienza_costruzioni:sistemi_travi_linee_influenza

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Linee di influenza di un sistema di travi

Teorema di reciprocità per sistemi di travi

Nel caso di un sistema di travi bidimensionale $\Lambda$, sfruttando i risultati della teoria di De Saint Venant, il teorema di reciprocità può essere scritto nella forma

$$ \begin{matrix} \sum \limits_i F^{(a)}_i \, \eta^{(b)}_i + \sum \limits_i R^{(a)}_i \, \gamma^{(b)}_i - \int \limits_{\Lambda} N^{(a)} \bar{\epsilon}_{G}^{(b)} \, \mathrm{d}s - \int \limits_{\Lambda} T^{(a)} \bar{\gamma}_{m}^{(b)} \, \mathrm{d}s \int \limits_{\Lambda} M^{(a)} \bar{\chi}^{(b)} \, \mathrm{d}s = \, \\\\ = \sum \limits_i F^{(b)}_i \, \eta^{(a)}_i + \sum \limits_i R^{(b)}_i \, \gamma^{(a)}_i - \int \limits_{\Lambda} N^{(b)} \bar{\epsilon}_{G}^{(a)} \, \mathrm{d}s - \int \limits_{\Lambda} T^{(b)} \bar{\gamma}_{m}^{(a)} \, \mathrm{d}s \int \limits_{\Lambda} M^{(b)} \bar{\chi}^{(a)} \, \mathrm{d}s \end{matrix}$$

Distorsione localizzata

Prima di parlare delle linee di influenza delle caratteristiche di sollecitazione interna introduciamo il concetto di distorsione localizzata.

Sia $\Delta s$ un intorno infinitesimo di un punto di ascissa $s$ della trave che stiamo analizzando. $\Delta s$ è soggetto alla deformazione impressa infinita $\bar{\boldsymbol\epsilon} (s) = \begin{Bmatrix} \overline{\epsilon}_G \\ \overline{\gamma_m} \\ \overline{\chi} \end{Bmatrix}$. Diremo che nel punto di ascissa $s$ è applicata una distorsione localizzata se esiste finito il limite

$$\Delta \bar{\boldsymbol\eta} = \lim \limits_{\Delta s \to 0} \overline{ \boldsymbol\epsilon } (s) \, \Delta s = \begin{Bmatrix} \Delta \overline{u} \\\\ \Delta \overline{w} \\\\ \Delta \overline{\theta} \end{Bmatrix}$$

in cui $\bar{\boldsymbol\eta} (s)$ è il valore della distorsione avente le tre componenti:

  • $\Delta \overline{u}$ - distorsione assiale
  • $\Delta \overline{w}$ - distorsione trasversale
  • $\Delta \overline{\theta}$ - distorsione di rotazione

Una distorsione è quindi una deformazione impressa infinita concentrata nell'intorno infinitesimo di un punto.

Ritornando alla notazione introdotta per l'applicazione del teorema di reciprocità ad un sistema di travi, nelc aso in cui il sistema $(b)$ sia soggetto a distorsioni localizzate applicate nel punto $P$, il lavoro virtuale interno rispetto alle deformazioni impresse diventa

$$ \int \limits_{l} N^{(a)} \bar{\epsilon}_{G}^{(b)} \, \mathrm{d}s = N_{P}^{(a)} \Delta \overline{u}^{(b)}$$ $$ \int \limits_{l} T^{(a)} \bar{\gamma}_{m}^{(b)} \, \mathrm{d}s = T_{P}^{(a)} \Delta \overline{w}^{(b)} $$ $$ \int \limits_{l} M^{(a)} \bar{\chi}^{(b)} \, \mathrm{d}s = M_{P}^{(a)} \Delta \overline{\theta}^{(b)}$$

Definiamo duali di una distorsione le corrispondenti caratteristiche di sollecitazioni secondo la tabella

distorsione caratteristica di sollecitazione
$\Delta \overline{u}$ $N$
$\Delta \overline{w}$ $T$
$\Delta \overline{\theta}$ $M$

Linea di influenza

Si definisce linea di influenza di una data grandezza (grandezza cercata) rispetto ad una causa data, il diagramma che ne rappresenta la legge di variazione in funzione dell'ascissa del punto di applicazione della causa.

Per calcolare la linea di influenza determineremo il diagramma della grandezza duale della causa data (grandezza da diagrammare) nel sistema di travi soggetto ad un sistema esplorativo duale della grandezza cercata.

La grandezza cercata determina il sistema esplorativo.

La causa data determina la grandezza da diagrammare.

Supponiamo ad esempio di voler calcolare la linea di influenza dello spostamento verticale in un punto $P$ del sistema di travi per coppie viaggianti. La grandezza cercata è lo spostamento verticale, la causa data sono le coppie. Il sistema esplorativo è una forza unitaria verticale applicata nel punto $P$, duale dello spostamento verticale. La grandezza da diagrammare è la rotazione, duale della coppia. Applicheremo quindi al sistema di travi una forza unitaria verticale nel punto $P$; il relativo diagramma delle rotazioni è la linea di influenza cercata.


scienza_costruzioni/sistemi_travi_linee_influenza.1368109566.txt.gz · Ultima modifica: 2013/05/09 16:26 da mickele

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