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mickele [Distorsione localizzata]
+++ scienza_costruzioni:sistemi_travi_linee_influenza [2021/06/13 13:08]
@@ Linea 1: / Linea 1: @@
-====== Linee di influenza di un sistema di travi ======
-===== Teorema di reciprocità per sistemi di travi =====
-Nel caso di un sistema di travi bidimensionale $\Lambda$, sfruttando i risultati della teoria di De Saint Venant, il teorema di reciprocità può essere scritto nella forma
-$$ \begin{matrix} \sum \limits_i F^{(a)}_i \, \eta^{(b)}_i + \sum \limits_i R^{(a)}_i \, \gamma^{(b)}_i - \int \limits_{\Lambda} N^{(a)} \bar{\epsilon}_{G}^{(b)} \, \mathrm{d}s - \int \limits_{\Lambda} T^{(a)} \bar{\gamma}_{m}^{(b)} \, \mathrm{d}s \int \limits_{\Lambda} M^{(a)} \bar{\chi}^{(b)} \, \mathrm{d}s = \, \\\\
-= \sum \limits_i F^{(b)}_i \, \eta^{(a)}_i + \sum \limits_i R^{(b)}_i \, \gamma^{(a)}_i - \int \limits_{\Lambda} N^{(b)} \bar{\epsilon}_{G}^{(a)} \, \mathrm{d}s - \int \limits_{\Lambda} T^{(b)} \bar{\gamma}_{m}^{(a)} \, \mathrm{d}s \int \limits_{\Lambda} M^{(b)} \bar{\chi}^{(a)} \, \mathrm{d}s
-\end{matrix}$$
-===== Distorsione localizzata =====
-Prima di parlare delle linee di influenza delle caratteristiche di sollecitazione interna introduciamo il concetto di distorsione localizzata.
-Sia $\Delta s$ un intorno infinitesimo di un punto di ascissa $s$ della trave che stiamo analizzando. $\Delta s$ è soggetto alla deformazione impressa infinita $\bar{\boldsymbol\epsilon} (s) = \begin{Bmatrix}  \overline{\epsilon}_G \\ \overline{\gamma_m}  \\ \overline{\chi} \end{Bmatrix}$. Diremo che nel punto di ascissa $s$ è applicata una distorsione localizzata se esiste finito il limite
-$$\Delta \bar{\boldsymbol\eta} = \lim \limits_{\Delta s \to 0} \overline{ \boldsymbol\epsilon } (s) \, \Delta s =
-\begin{Bmatrix}  \Delta \overline{u} \\\\ \Delta \overline{w}  \\\\ \Delta \overline{\theta} \end{Bmatrix}$$
-in cui $\bar{\boldsymbol\eta} (s)$ è il valore della distorsione avente le tre componenti:
-  * $\Delta \overline{u}$ - distorsione assiale
-  * $\Delta \overline{w}$ - distorsione trasversale
-  * $\Delta \overline{\theta}$ - distorsione di rotazione
-Una distorsione è quindi una deformazione impressa infinita concentrata nell'intorno infinitesimo di un punto.
-Ritornando alla notazione introdotta per l'applicazione del teorema di reciprocità ad un sistema di travi, nel caso in cui il sistema $(b)$ sia soggetto a distorsioni localizzate applicate nel punto $P$, il lavoro virtuale interno rispetto alle deformazioni impresse diventa
-$$ \int \limits_{l} N^{(a)} \bar{\epsilon}_{G}^{(b)} \, \mathrm{d}s = N^{(a)} \Delta \overline{u}^{(b)}$$
-$$ \int \limits_{l} T^{(a)} \bar{\gamma}_{m}^{(b)} \, \mathrm{d}s = T^{(a)} \Delta \overline{w}^{(b)}  $$
-$$ \int \limits_{l} M^{(a)} \bar{\chi}^{(b)} \, \mathrm{d}s =  M^{(a)} \Delta \overline{\theta}^{(b)}$$
-Definiamo duali di una distorsione le corrispondenti caratteristiche di sollecitazioni secondo la tabella
-^  distorsione  ^  caratteristica di sollecitazione  ^
-|  $\Delta \overline{u}$  |  $N$  |
-|  $\Delta \overline{w}$  |  $T$  |
-|  $\Delta \overline{\theta}$  |  $M$  |
-===== Linea di influenza =====
-Si definisce linea di influenza di una data grandezza (**grandezza cercata**) rispetto ad una **causa data**, il diagramma che ne rappresenta la legge di variazione in funzione dell'ascissa del punto di applicazione della causa.
-Per calcolare la linea di influenza determineremo il diagramma della grandezza duale della causa data (**grandezza da diagrammare**) nel sistema di travi soggetto ad un **sistema esplorativo** duale della grandezza cercata.
-La **grandezza cercata** determina il **sistema esplorativo**.
-La **causa data** determina la **grandezza da diagrammare**.
-Supponiamo ad esempio di voler calcolare la linea di influenza dello spostamento verticale in un punto $P$ del sistema di travi per coppie viaggianti. La //grandezza cercata// è lo spostamento verticale, la //causa data// sono le coppie. Il //sistema esplorativo// è una forza unitaria verticale applicata nel punto $P$, duale dello spostamento verticale. La //grandezza da diagrammare// è la rotazione, duale della coppia. Applicheremo quindi al sistema di travi una forza unitaria verticale nel punto $P$; il relativo diagramma delle rotazioni è la linea di influenza cercata.

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