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--- scienza_costruzioni:sistemi_travi_linee_influenza [2013/05/09 16:16]
mickele [Teorema di reciprocità per sistemi di travi]
+++ scienza_costruzioni:sistemi_travi_linee_influenza [2013/07/03 22:53]
mickele [Linea di influenza]
@@ Linea 5: / Linea 5: @@
 Nel caso di un sistema di travi bidimensionale $\Lambda$, sfruttando i risultati della teoria di De Saint Venant, il teorema di reciprocità può essere scritto nella forma
-$$ \begin{matrix} \sum \limits_i F^{(a)}_i \, \eta^{(b)}_i + \sum \limits_i R^{(a)}_i \, \gamma^{(b)}_i - \int \limits_{\Lambda} N^{(a)} \bar{\epsilon}_{G}^{(b)} \, \mathrm{d}s - \int \limits_{\Lambda} T^{(a)} \bar{\gamma}_{m}^{(b)} \, \mathrm{d}s \int \limits_{\Lambda} M^{(a)} \bar{\mu}^{(b)} \, \mathrm{d}s = \, \\\\
+$$ \begin{matrix} \sum \limits_i F^{(a)}_i \, \eta^{(b)}_i + \sum \limits_i R^{(a)}_i \, \gamma^{(b)}_i - \int \limits_{\Lambda} N^{(a)} \bar{\epsilon}_{G}^{(b)} \, \mathrm{d}s - \int \limits_{\Lambda} T^{(a)} \bar{\gamma}_{m}^{(b)} \, \mathrm{d}s \int \limits_{\Lambda} M^{(a)} \bar{\chi}^{(b)} \, \mathrm{d}s = \, \\\\
-= \sum \limits_i F^{(b)}_i \, \eta^{(a)}_i + \sum \limits_i R^{(b)}_i \, \gamma^{(a)}_i - \int \limits_{\Lambda} N^{(b)} \bar{\epsilon}_{G}^{(a)} \, \mathrm{d}s - \int \limits_{\Lambda} T^{(b)} \bar{\gamma}_{m}^{(a)} \, \mathrm{d}s \int \limits_{\Lambda} M^{(b)} \bar{\mu}^{(a)} \, \mathrm{d}s
+= \sum \limits_i F^{(b)}_i \, \eta^{(a)}_i + \sum \limits_i R^{(b)}_i \, \gamma^{(a)}_i - \int \limits_{\Lambda} N^{(b)} \bar{\epsilon}_{G}^{(a)} \, \mathrm{d}s - \int \limits_{\Lambda} T^{(b)} \bar{\gamma}_{m}^{(a)} \, \mathrm{d}s \int \limits_{\Lambda} M^{(b)} \bar{\chi}^{(a)} \, \mathrm{d}s
 \end{matrix}$$
@@ Linea 14: / Linea 14: @@
 Prima di parlare delle linee di influenza delle caratteristiche di sollecitazione interna introduciamo il concetto di distorsione localizzata.
-Sia $\Delta s$ un intorno infinitesimo di un punto di ascissa $s$ della trave che stiamo analizzando. $\Delta s$ è soggetto alla deformazione impressa infinita $\Delta \bar{\boldsymbol\epsilon} = \begin{Bmatrix}  \Delta \overline{\epsilon}_O \\\\ \Delta \overline{\gamma_m}  \\\\ \Delta \overline{\mu}\end{Bmatrix}$. Diremo che nell'intorno infinitesimo $\Delta s$ del punto individuato dall'ascissa $s$ è applicata una distorsione se esiste finito il limite
+Sia $\Delta s$ un intorno infinitesimo di un punto di ascissa $s$ della trave che stiamo analizzando. $\Delta s$ è soggetto alla deformazione impressa infinita $\bar{\boldsymbol\epsilon} (s) = \begin{Bmatrix}  \overline{\epsilon}_G \\ \overline{\gamma}_m  \\ \overline{\chi} \end{Bmatrix}$. Diremo che nel punto di ascissa $s$ è applicata una distorsione localizzata se esiste finito il limite
-$$\Delta \bar{\boldsymbol\eta} = \lim \limits_{\Delta s \to 0} \Delta \overline{ \boldsymbol\epsilon } \, \Delta s =
+$$\Delta \bar{\boldsymbol\eta} = \lim \limits_{\Delta s \to 0} \overline{ \boldsymbol\epsilon } (s) \, \Delta s =
-\begin{Bmatrix}  \Delta \overline{u} \\\\ \Delta \overline{w}  \\\\ \Delta \overline{\varphi} \end{Bmatrix}$$
+\begin{Bmatrix}  \Delta \overline{u} \\\\ \Delta \overline{w}  \\\\ \Delta \overline{\theta} \end{Bmatrix}$$
-in cui $\Delta \bar{\boldsymbol\eta}$ è il valore della distorsione avente le tre componenti:
+in cui $\bar{\boldsymbol\eta} (s)$ è il valore della distorsione avente le tre componenti:
   * $\Delta \overline{u}$ - distorsione assiale
-  * $\Delta \overline{w}$ - distorsione di scorrimento
+  * $\Delta \overline{w}$ - distorsione trasversale
-  * $\Delta \overline{\varphi}$ - distorsione di rotazione
+  * $\Delta \overline{\theta}$ - distorsione di rotazione
 Una distorsione è quindi una deformazione impressa infinita concentrata nell'intorno infinitesimo di un punto.
-In presenza di una distorsione localizzata applicata in un punto $P$ di un sistema di travi, il lavoro virtuale interno rispetto alle deformazioni impresse diventa
+Ritornando alla notazione introdotta per l'applicazione del teorema di reciprocità ad un sistema di travi, nel caso in cui il sistema $(b)$ sia soggetto a distorsioni localizzate applicate nel punto $P$, il lavoro virtuale interno rispetto alle deformazioni impresse diventa
-$$ \int \limits_{l} N^{(a)} \bar{\epsilon}_{O}^{(b)} \, \mathrm{d}s + \int \limits_{l} T^{(a)} \bar{\gamma}_{m}^{(b)} \, \mathrm{d}s + \int \limits_{l} M^{(a)} \bar{\mu}^{(b)} \, \mathrm{d}s = N_{P}^{(a)} \Delta \overline{u}^{(b)} + T_{P}^{(a)} \Delta \overline{w}^{(b)} + M_{P}^{(a)} \Delta \overline{\varphi}^{(b)}$$
+$$ \int \limits_{l} N^{(a)} \bar{\epsilon}_{G}^{(b)} \, \mathrm{d}s = N^{(a)} \Delta \overline{u}^{(b)}$$
+$$ \int \limits_{l} T^{(a)} \bar{\gamma}_{m}^{(b)} \, \mathrm{d}s = T^{(a)} \Delta \overline{w}^{(b)}  $$
+$$ \int \limits_{l} M^{(a)} \bar{\chi}^{(b)} \, \mathrm{d}s =  M^{(a)} \Delta \overline{\theta}^{(b)}$$
 Definiamo duali di una distorsione le corrispondenti caratteristiche di sollecitazioni secondo la tabella
@@ Linea 35: / Linea 37: @@
 |  $\Delta \overline{u}$  |  $N$  |
 |  $\Delta \overline{w}$  |  $T$  |
-|  $\Delta \overline{\varphi}$  |  $M$  |
+|  $\Delta \overline{\theta}$  |  $M$  |
 ===== Linea di influenza =====
@@ Linea 45: / Linea 47: @@
 La **grandezza cercata** determina il **sistema esplorativo**.
-La **causa data** determina la **grandezza da diagrammare**.
+La **causa data** determina la grandezza da diagrammare, chiamata anche **funzione di influenza**.
+Supponiamo ad esempio di voler calcolare la linea di influenza dello spostamento verticale in un punto $P$ del sistema di travi per coppie viaggianti. La //grandezza cercata// è lo spostamento verticale $\eta^{(b)}$, la //causa data// sono le coppie $C^{(b)}$. Il //sistema esplorativo// è una forza verticale $F^{(a)}$ applicata nel punto $P$, duale dello spostamento verticale. La //grandezza da diagrammare// è la rotazione $\theta^{(a)}$, duale della coppia. Applicheremo quindi al sistema di travi una forza verticale $F^{(a)}$ nel punto $P$; il relativo diagramma delle rotazioni è la linea di influenza cercata.
+$$F^{(a)} \; \eta^{(b)} = C^{(b)} \; {\theta}^{(a)} \Longrightarrow \eta^{(b)} = C^{(b)} \; \frac{{\theta}^{(a)}}{F^{(a)}} $$
+Si noti che, valendo l'ipotesi di comportamento elastico lineare, il diagramma ${\theta^{(a)}}/{F^{(a)}}$ è quello corrispondente all'applicazione di una forza ${F^{(a)}}$ unitaria.
+E' possibile sintetizzare le varie casistiche di linea di influenza nella seguente tabella
+^ ^^  effetto incognito  ^^^ ^^
+^ ::: ^^  spostamenti \\ $\eta^{(b)}$  ^  sollecitazione \\ $M^{(b)}$  ^  reazione vincolare \\ $R^{(b)}$  ^  :::  ^^
+^  causa \\ data  ^  azione \\ esplicita \\ $F^{(b)}$  |  $F^{(a)} \; \eta^{(b)} = F^{(b)} \; \eta^{(a)}$  |  $\Delta \bar{\theta}^{(a)} \; M^{(b)} = F^{(b)} \; \eta^{(a)}$  |  $\gamma^{(a)} \; R^{(b)} = - F^{(b)} \; \eta^{(a)}$  ^  deformata \\ $\eta^{(a)}$  ^  funzione di \\ influenza  ^
+^ ::: ^  azione \\ implicita \\ $\bar{\chi}^{(b)}$  |  $F^{(a)} \; \eta^{(b)} = F^{(b)} \; \eta^{(a)} $  |  $\Delta \bar{\theta}^{(a)} \; M^{(b)} = \bar{\chi}^{(b)} \; M^{(a)}$  |  $\gamma^{(a)} \; R^{(b)} = - \bar{\chi}^{(b)} \; M^{(a)}$  ^  sollecitazione \\ $M^{(a)}$  ^ ::: ^
+^ ::: ^  cedimento \\ vincolare \\ $\gamma^{(b)}$  |  $F^{(a)} \; \eta^{(b)} = - \gamma^{(b)} \; R^{(a)} $  |  $\Delta \bar{\theta}^{(a)} \; M^{(b)} = \gamma^{(b)} \; R^{(a)}$  |  $\gamma^{(a)} \; R^{(b)} = \gamma^{(b)} \; R^{(a)}$  ^  reazione \\ vincolare \\ $R^{(a)}$  ^ ::: ^
+^ ^^  $F^{(a)}$  ^  $\Delta \bar{\theta}^{(a)}$  ^  $\gamma^{(a)}$  ^ ^^
+^ :::^^  sistema esplorativo  ^^^ ::: ^^
-Supponiamo ad esempio di voler calcolare la linea di influenza dello spostamento verticale in un punto $P$ del sistema di travi per coppie viaggianti. La //grandezza cercata// è lo spostamento verticale, la //causa data// sono le coppie. Il //sistema esplorativo// è una forza unitaria verticale applicata nel punto $P$, duale dello spostamento verticale. La //grandezza da diagrammare// è la rotazione, duale della coppia. Applicheremo quindi al sistema di travi una forza unitaria verticale nel punto $P$; il relativo diagramma delle rotazioni è la linea di influenza cercata.

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