scienza_costruzioni:sistemi_travi_analisi_limite
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Linea 1: | Linea 1: | ||
- | ====== Analisi limite di un sistema di travi ====== | + | Pagina spostata |
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- | ===== Ipotesi semplificative ===== | + | |
- | + | ||
- | Per il calcolo semplificato del carico di rottura di un sistema di travi si assumono le seguenti ipotesi semplificative: | + | |
- | - in ogni sezione, | + | |
- | - raggiunto il momento plastico le sezioni conservano sufficiente capacità rotazionale (duttilità); | + | |
- | - le cerniere plastiche sono concentrate in un punto anche se, in realtà, sono distribuite su un tratto finito di trave con una larghezza che varia tra 0,5 e 1,5 volte l' | + | |
- | - le connessioni strutturali sono in grado di trasmettere completamente il momento plastico; | + | |
- | - il momento plastico non è influenzato dalla presenza di sforzo normale e taglio, né dalla presenza di forze concentrate; | + | |
- | - il collasso non avviene per fenomeni di instabilità locale; ipotesi molto delicata nel caso di strutture in acciaio dove l' | + | |
- | - le deformazioni “a collasso” sono ininfluenti sulla geometria delle azioni (piccole deofrmazioni); | + | |
- | - i carichi crescono linearmente, | + | |
- | - le connessioni sono in grado di trasmettere interamente il momento plastico. | + | |
- | + | ||
- | ===== Il principio dei lavori virtuali in condizioni di collasso ===== | + | |
- | + | ||
- | La formulazione generale del principio dei lavori virtuali è | + | |
- | + | ||
- | $$L_{v,e} = L_{v,i} \Longrightarrow \sum \limits_i F_i^{(a)} \eta_i^{(b)} = \int \limits N^{(a)} \varepsilon_{G}^{(b)} \, \mathrm{d}s + \int \limits T^{(a)} \gamma_{m}^{(b)} \, \mathrm{d}s + \int \limits M^{(a)} \chi^{(b)} \, \mathrm{d}s$$ | + | |
- | + | ||
- | in cui: | + | |
- | * il sistema $(a)$ è definito staticamente ammissibile, | + | |
- | * il sistema $(b)$ è definito cinematicamente ammissibile, | + | |
- | + | ||
- | Supponiamo che il sistema $(b)$ sia in condizioni di collasso ossia che si siano formate un numero di cerniere plastiche $n$ tale da creare un cinematismo. In tali condizioni il lavoro virtuale interno può essere suddiviso in due aliquote: il lavoro virtuale interno delle cerniere plastiche ed il lavoro virtuale interno dei tratti di travi che le collegano. Una volta creato il cinematismo di collasso la prima della due componenti è predominante sulla seconda. Trascurando il lavoro virtuale associato al taglio e allo sforzo normale possiamo allora scrivere | + | |
- | + | ||
- | $$L_{v,i} \approx | + | |
- | + | ||
- | e quindi | + | |
- | + | ||
- | $$\sum \limits_i F_i^{(a)} \dot{\eta}_i^{(b)} = \sum \limits_i M_{i}^{(a)} \dot{\theta}_{col, | + | |
- | + | ||
- | ===== Teorema statico dell' | + | |
- | + | ||
- | Lo stato di sollecitazione di una sistema di travi è definito // | + | |
- | - // | + | |
- | - // | + | |
- | + | ||
- | Chiameremo // | + | |
- | + | ||
- | Indichiamo invece con $\lambda_{col}$ il moltiplicatore dei carichi reale della struttura al collasso. | + | |
- | + | ||
- | Il teorema statico dell' | + | |
- | + | ||
- | $$\lambda_{stat} \le \lambda_{col}$$ | + | |
- | + | ||
- | Per dimostrarlo applichiamo il PLV assumendo come sistema $(a)$ la struttura nello stato di sollecitazione staticamente ammissibile (pedice $stat$) e come sistema sistema $(b)$ il sistema nelle condizioni di collasso (pedice $col$). Sotto tali ipotesi | + | |
- | + | ||
- | $$\lambda_{stat} \sum \limits_{j=1}^{Nf} F_j \, \dot{\eta}_{col, | + | |
- | + | ||
- | in cui: | + | |
- | * $\lvert M_{stat,i} \lvert \le \lvert M_{p,i} \lvert$ | + | |
- | * $N_f$ è il numero delle forze esterne $F_{j}$ applicate | + | |
- | * $\dot{\eta}_{col, | + | |
- | * $N_{cp}$ è il numero di sezioni $i$, nella struttura al collasso, in cui si raggiunge il relativo momento plastico $M_{p,i}$ | + | |
- | * $\theta_{col, | + | |
- | + | ||
- | A seguire applichiamo nuovamente il PLV assumendo la struttura al collasso sia come sistema $(a)$ che sistema $(b)$. In tal caso | + | |
- | + | ||
- | $$\lambda_{col} \sum \limits_{j=1}^{Nf} F_j \dot{\eta}_{col, | + | |
- | + | ||
- | Si dimostra che è sempre verificata la disuguaglianza | + | |
- | + | ||
- | $$\sum \limits_{i=1}^{Ncp} M_{stat,i} \, \dot{\theta}_{col, | + | |
- | + | ||
- | Infatti se $M_{stat, | + | |
- | + | ||
- | $$M_{stat, | + | |
- | + | ||
- | Analogamente tale disuguaglianza è verificata anche se $M_{stat, | + | |
- | + | ||
- | $$M_{stat, | + | |
- | + | ||
- | La disuguaglianza appena scritta è quindi sempre verificata. | + | |
- | + | ||
- | Sommando i prodotti di tale disuguaglianza su tutte le cerniere plastiche della struttura al collasso otteniamo | + | |
- | + | ||
- | $$\sum \limits_{i=1}^{Ncp} M_{stat,i} \dot{\theta}_{col, | + | |
- | + | ||
- | Osservando le due equazione scritte sopra applicando il PLV possiamo allora scrivere | + | |
- | + | ||
- | $$\lambda_{stat} \sum \limits_{j=1}^{Nf} F_j \dot{\eta}_{col, | + | |
- | + | ||
- | da cui, semplificando la somma $\sum \limits_{j=1}^{Nf} F_j \dot{\eta}_{col, | + | |
- | + | ||
- | $$\lambda_{stat} \le \lambda_{col}$$ | + | |
- | + | ||
- | ==== Schema per il calcolo del carico a rottura con il metodo statico ==== | + | |
- | + | ||
- | Ecco i passi da seguire per il calcolo del moltiplicatore staticamente ammissibile | + | |
- | * scegliere le incognite iperstatiche; | + | |
- | * tracciare il diagramma di momento della struttura principale - $M_0$ | + | |
- | * tracciare i diagrammi di momento dovuti alle incognite iperstatiche agenti sulla struttura principale - $M_i$ | + | |
- | * combinare linearmente i diagrammi così ottenuti ($M_0 + \sum \limits_i X_i \, M_i$), scegliendo il valore delle iperstatiche $X_i$ in modo che risulti in ogni punto della struttura $\lvert M \lvert \le M_p$ | + | |
- | + | ||
- | Per come è stata costruita, la distribuzione dei momenti così trovata è sicuramente staticamente ammissibile. | + | |
- | ===== Teorema cinematico dell' | + | |
- | + | ||
- | Chiameremo // | + | |
- | + | ||
- | Il moltiplicatore dei carichi associato ad un meccanismo cinematismo ammissibile $\lambda_{cin}$ è detto // | + | |
- | + | ||
- | Il teorema cinematico dell' | + | |
- | + | ||
- | $$\lambda_{col} \le \lambda_{cin}$$ | + | |
- | + | ||
- | Per dimostrarlo applichiamo il PLV assumendo come sistema $(a)$ la struttura reale al collasso e come sistema sistema $(b)$ il meccanismo cinematicamente ammissibile (pedice $cin$). Sotto tali ipotesi | + | |
- | + | ||
- | $$\lambda_{col} \sum \limits_{j=1}^{Nf} F_j \dot{\eta}_{cin, | + | |
- | + | ||
- | in cui: | + | |
- | * $\lvert M_{col,i} \lvert \le \vert M_{p,i} \vert$ | + | |
- | * $N_{cp}$ è il numero di cerniere plastiche del cinematismo ammissibile | + | |
- | * $\dot{\theta}_{cin, | + | |
- | + | ||
- | A seguire applichiamo nuovamente il PLV assumendo il meccanismo cinematicamente ammissibile sia come sistema $(a)$ che sistema $(b)$. In tal caso | + | |
- | + | ||
- | $$\lambda_{cin} \sum \limits_{j=1}^{Nf} F_j \dot{\eta}_{cin, | + | |
- | + | ||
- | Poiché: | + | |
- | * $\lvert M_{col,i} \vert \le \vert M_{p,i} \vert$ | + | |
- | * nel cinematismo ammissibile le velocità di rotazione $\dot{\theta}_{cin, | + | |
- | possiamo scrivere che | + | |
- | + | ||
- | $$\sum \limits_{i=1}^{Ncp} M_{col,i} \, \dot{\theta}_{cin, | + | |
- | + | ||
- | Dalle equazioni scritte sopra applicando il PLV otteniamo infine il teorema cinematico | + | |
- | + | ||
- | $$\lambda_{col} \sum \limits_{j=1}^{Nf} F_j \, \dot{\eta}_j \le \lambda_{cin} \sum \limits_{j=1}^{Nf} F_{j} \, \dot{\eta}_j \Longrightarrow \lambda_{col} \le \lambda_{cin}$$ | + | |
- | + | ||
- | ==== Schema per il calcolo del carico a rottura con il metodo cinematico ==== | + | |
- | + | ||
- | Ecco i passi da seguire per il calcolo del moltiplicatore staticamente ammissibile di un sistema di travi applicando il teorema cinematico: | + | |
- | * introdurre nella struttura un numero di cerniere plastiche sufficienti a realizzare un cinematismo (cerniera con due coppie uguali ed opposte ai lati di valore pari ai momenti plastici della sezione nel punto), determinando una labilità anche solo localizzata | + | |
- | * determinare il cinemtismo corrispondente verificando che ciascuna cerniera compi un lavoro interno positivo | + | |
- | * determinare il moltiplicatore $\lambda_{cin}$ imponendo l' | + | |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | ===== Teorema misto dell' | + | |
- | + | ||
- | Il teorema misto dell' | + | |
- | + | ||
- | La dimostrazione del teorema misto discende direttamente dall' | + | |
- | + | ||
- | Poiché per il teorema statico | + | |
- | + | ||
- | $$\lambda_{stat} \le \lambda_{col}$$ | + | |
- | + | ||
- | e per il teorema cinematico | + | |
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- | $$\lambda_{col} \le \lambda_{cin}$$ | + | |
- | + | ||
- | se | + | |
- | + | ||
- | $$\lambda_{stat} = \lambda_{cin}$$ | + | |
- | + | ||
- | allora | + | |
- | + | ||
- | $$\lambda_{stat} = \lambda_{cin} = \lambda_{col}$$ | + | |
- | + | ||
- | Se quindi dopo aver trovato una distribuzione dei momenti in equilibrio con le forze esterne che rispetta la condizione $\lvert M_{i} \lvert \le M_{p,i}$ (teorema statico), verifichiamo che introducendo nella struttura delle cerniere plastiche nei punti in cui $\lvert M_i \lvert = M_{p,i}$ otteniamo un cinematismo ammissibile (la potenza virtuale interna è positiva per ciascuna cerniera plastica), allora il moltiplicatore trovato è il moltiplicatore di collasso della struttura. | + | |
- | + | ||
- | Analogamente, | + | |
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- | ===== Corollari dei teoremi fondamentali dell’analisi limite ===== | + | |
- | + | ||
- | - Eventuali distorsioni e/o cedimenti vincolari non modificano il moltiplicatore di collasso $\lambda_{col}$. Quanto sopra vale però sempre nell' | + | |
- | - Le proprietà elastiche della struttura non influenzano il valore del moltiplicatore di collasso $\lambda_{col}$. Nelle dimostrazioni abbiamo infatti fatto riferimento ad una legge costitutiva elasto-plastica, | + | |
- | - L’aggiunta di una qualunque porzione di materiale alla struttura (//rinforzo della struttura// | + | |
- | - L’aumento in una qualunque sezione della tensione di snervamento $f_d$ del materiale non può comportare una diminuzione del moltiplicatore di collasso $\lambda_{col}$. Analogamente la riduzione della tensione $f_d$non può fare aumentare il moltiplicatore di collasso. Corollario assolutamente analogo al precedente. | + |
scienza_costruzioni/sistemi_travi_analisi_limite.1370383034.txt.gz · Ultima modifica: 2021/06/13 13:07 (modifica esterna)