Differenze

Queste sono le differenze tra la revisione selezionata e la versione attuale della pagina.

--- scienza_costruzioni:sistemi_travi_analisi_limite [2013/05/25 09:27]
mickele [Ipotesi semplificative]
+++ scienza_costruzioni:sistemi_travi_analisi_limite [2021/06/13 13:08] (versione attuale)
@@ Linea 1: / Linea 1: @@
-====== Analisi limite di un sistema di travi ======
+Pagina spostata all'indirizzo [[scienza_costruzioni:travi:analisi_limite|Analisi limite di un sistema di travi]].
-===== Ipotesi semplificative =====
-Per il calcolo semplificato del carico di rottura di un sistema di travi si assumono le seguenti ipotesi semplificative:
-  - in ogni sezione,  è possibile raggiungere il momento plastico $M_p= f_d \, Z$, in cui $Z$ è il modulo resistente plastico
-  - raggiunto il momento plastico le sezioni conservano sufficiente capacità rotazionale
-  - le cerniere plastiche sono concentrate in un punto anche se, in realtà, sono distribuite su un tratto finito di trave
-  - le connessioni strutturali sono in grado di trasmettere completamente il momento plastico
-  - il momento plastico non è influenzato dalla presenza di sforzo normale e taglio, né dalla presenza di forze concentrate
-  - il collasso non avviene per fenomeni di instabilità locale
-  - le deformazioni “a collasso” sono ininfluenti sulla geometria delle azioni.
-Dal punto dei vista computazione, questa ipotesi ci permetterà di applicare il principio di sovrapposizione degli effetti, di modo da poter impiegare le equazioni di equilibrio scritte con riferimento alla configurazione non deformata. Dal punto di vista progettuale ne deriva che l'analisi plastica non potrà tener conto di fenomeni di instabilità globale.
-Questa ipotesi, unità con quella sulll'assenza di instabilità locale, implica in particolare che l'applicazione dell'analisi plastica a strutture in acciaio potrà essere condotta solo a condizione di aver adottato alcune cautele.
-L'ipotesi della capacità rotazionale residua della sezione una volta raggiunto il momento plastico è invece molto importante per sezioni in c.a. (requisito di duttilità).
-===== Il principio dei lavori virtuali in condizioni di collasso =====
-La formulazione generale del principio dei lavori virtuali è
-$$L_{v,e} = L_{v,i} \Longrightarrow \sum \limits_i F_i^{(a)} \dot{\eta}_i^{(b)} = \int \limits N^{(a)} \dot{\varepsilon}_{G}^{(b)} \, \mathrm{d}s + \int \limits T^{(a)} \dot{\gamma_{m}}^{(b)} \, \mathrm{d}s + \int \limits M^{(a)} \dot{\chi}^{(b)} \, \mathrm{d}s$$
-in cui:
-  * il sistema $(a)$ è definito staticamente ammissibile, poiché rispetta le condizioni di equilibrio interne ed esterne
-  * il sistema $(b)$ è definito cinematicamente ammissibile, poiché rispetta i vincoli (interni ed esterni) e le equazioni di congruenza.
-Supponiamo che il sistema $(b)$ sia in condizioni di collasso ossia che si siano formate un numero di cerniere plastiche $n$ tale da creare un cinematismo. In tali condizioni il lavoro virtuale interno può essere suddiviso in due aliquote: il lavoro virtuale interno delle cerniere plastiche ed il lavoro virtuale interno dei tratti di travi che le collegano. Una volta creato il cinematismo di collasso la prima della due componenti è predominante sulla seconda. Trascurando il lavoro virtuale associato al taglio e allo sforzo normale possiamo allora scrivere
-$$L_{v,i} \approx  \sum \limits M_{i}^{(a)} \dot{\theta}_{col,i}^{(b)}$$
-e quindi
-$$\sum \limits_i F_i^{(a)} \dot{\eta}_i^{(b)} = \sum \limits_i M_{i}^{(a)} \dot{\theta}_{col,i}^{(b)}$$
-===== Teorema statico dell'analisi limite =====
-Uno stato di sollecitazione di una sistema di travi è definito //staticamente ammissibile// se è:
-  - //equilibrata//; sono soddisfatte le condizioni di equilibrio con i carichi esterni
-  - //plasticamente ammissibile//; in ciascuna sezione le caratteristiche di sollecitazione si trovano all'interno del dominio di resistenza; semplificando il problema riterremo soddisfatta questa condizione se $\lvert M_i \lvert < M_{p,i}$
-Chiameremo //moltiplicatore statico// il valore $\lambda_{stat}$ del moltiplicatore dei carichi associato ad uno stato di sollecitazione staticamente ammissibile.
-Indichiamo invece con $\lambda_{col}$ il moltiplicatore dei carichi reale della struttura al collasso.
-Il teorema statico dell'analisi limite ci dice che
-$$\lambda_{stat} \le \lambda_{col}$$
-Per dimostrarlo applichiamo il PLV assumendo come sistema $(a)$ la struttura nello stato di sollecitazione staticamente ammissibile (peddice $stat$) e come sistema sistema $(b)$ il sistema nelle condizioni di collasso (pedice $col$). Sotto tali ipotesi
-$$\lambda_{stat} \sum \limits_{j=1}^{Nf} F_j \, \dot{\eta}_{col,j} = \sum \limits_{i=1}^{Ncp} M_{stat,i} \, \dot{\theta}_{col,i} $$
-in cui:
-  * $\lvert M_{stat,i} \lvert \le M_{p,i}$
-  * $N_f$ è il numero delle forze esterne $F_{j}$ applicate
-  * $N_{cp}$ è il numero di sezioni $i$, nella struttura al collasso, in cui si raggiunge il corrispondente momento plastico $M_{p,i}$
-  * $\theta_{col,i}$ sono le velocità di rotazione nelle sezioni plasticizzate della struttura al collasso
-A seguire applichiamo nuovamente il PLV assumendo la struttura al collasso sia come sistema $(a)$ che sistema $(b)$. In tal caso
-$$\lambda_{col} \sum \limits_{j=1}^{Nf} F_j \dot{\eta}_{col,i} = \sum \limits_{i=1}^{Ncp} M_{p,i} \dot{\theta}_{col,i} $$
-Poiché per ipotesi $\lvert M_{stat,i} \lvert \le M_{p,i}$,
-$$\sum \limits_{i=1}^{Ncp} M_{stat,i} \dot{\theta}_{col,i} \le \sum \limits_{i=1}^{Ncp} M_{p,i} \dot{\theta}_{p,i}$$
-da cui infine otteniamo
-$$\lambda_{stat} \sum \limits_{j=1}^{Nf} F_j \dot{\eta}_{col,j} \le \lambda_{col} \sum \limits_{j=1}^{Nf} F_j \dot{\eta}_{col,j}  \Longrightarrow \lambda_{stat} \le \lambda_{p}$$
-==== Schema per il calcolo del carico a rottura con il metodo statico ====
-Ecco i passi da seguire per il calcolo del moltiplicatore staticamente ammissibile di un sistema di travi applicando il teorema statico:
-  * scegliere le incognite iperstatiche; per semplificare la risoluzione del sistema lineare associato che troveremo al punto successivo è preferibile scegliere come incognite iperstatiche i momenti (cerniera con due coppie uguali ed opposte ai lati)
-  * tracciare il diagramma di momento della struttura principale - $M_0$
-  * tracciare i diagrammi di momento dovuti alle incognite iperstatiche agenti sulla struttura principale - $M_i$
-  * combinare linearmente i diagrammi così ottenuti ($M_0 + \sum \limits_i X_i \, M_i$), scegliendo il valore delle iperstatiche $X_i$ in modo che risulti in ogni punto della struttura $\lvert M \lvert \le M_p$
-Per come è stata costruita, la distribuzione dei momenti così trovata è sicuramente staticamente ammissibile.
-===== Teorema cinematico dell'analisi limite =====
-Chiameremo //meccanismo cinematismo ammissibile// di un sistema di travi il sistema ottenuto introducendo un numero di cerniere plastiche necessario e sufficiente a trasformare la struttura in labile disposte in maniera da avere una potenza esterna positiva.
-Il moltiplicatore dei carichi associato ad un meccanismo cinematismo ammissibile $\lambda_{cin}$ è detto //moltiplicatore cinematico//.
-Il teorema cinematico dell'analisi limite afferma che un moltiplicatore cinematico è sempre maggiore del moltiplicatore di collasso
-$$\lambda_{col} \le \lambda_{cin}$$
-Per dimostrarlo applichiamo il PLV assumendo come sistema $(a)$ la struttura reale al collasso e come sistema sistema $(b)$ il meccanismo cinematicamente ammissibile (pedice $cin$). Sotto tali ipotesi
-$$\lambda_{col} \sum \limits_{j=1}^{Nf} F_j \dot{\eta}_{cin,j} = \sum \limits_{i=1}^{Ncp} M_{col,i} \dot{\theta}_{cin,i} $$
-in cui:
-  * $\lvert M_{col,i} \lvert \le M_{p,i}$
-  * $N_{cp}$ è il numero di cerniere plastiche del cinematismo ammissibile e $\dot{\theta}_{cin,i}$ sono le corrispondenti velocità di rotazione
-A seguire applichiamo nuovamente il PLV assumendo il meccanismo cinematicamente ammissibile sia come sistema $(a)$ che sistema $(b)$. In tal caso
-$$\lambda_{cin} \sum \limits_{j=1}^{Nf} F_j \dot{\eta}_{cin,j} = \sum \limits_{i=1}^{Ncp} M_{p,i} \dot{\theta}_{cin,i}$$
-Poiché:
-  * $\lvert M_{col,i} \vert \le M_{p,i}$
-  * nel cinematismo ammissibile le velocità di rotazione $\dot{\theta}_{cin,i}$ sono concordi con i momenti plastici $M_{p,i}$,
-possiamo scrivere che
-$$\sum \limits_{i=1}^{Ncp} M_{col,i} \, \dot{\theta}_{cin,i} \le \sum \limits_{i=1}^{Ncp} M_{p,i} \, \dot{\theta}_{cin,i}$$
-Dalle equazioni scritte sopra applicando il PLV otteniamo infine il teorema cinematico
-$$\lambda_{col} \sum \limits_{j=1}^{Nf} F_j \, \dot{\eta}_j \le \lambda_{cin} \sum \limits_{j=1}^{Nf} F_{j} \, \dot{\eta}_j \Longrightarrow \lambda_{col} \le \lambda_{cin}$$
-==== Schema per il calcolo del carico a rottura con il metodo cinematico ====
-Ecco i passi da seguire per il calcolo del moltiplicatore staticamente ammissibile di un sistema di travi applicando il teorema cinematico:
-  * introdurre nella struttura un numero di cerniere plastiche sufficienti a realizzare un cinematismo (cerniera con due coppie uguali ed opposte ai lati di valore pari ai momenti plastici della sezione nel punto), determinando una labilità anche solo localizzata
-  * determinare il cinemtismo corrispondente verificando che ciascuna cerniera compi un lavoro interno positivo
-  * determinare il moltiplicatore $\lambda_{cin}$ imponendo l'uguaglianza tra il lavoro virtuale interno e quello esterno
-===== Teorema misto dell'analisi limite =====
-Il teorema misto dell'analisi limite afferma che se un moltiplicatore staticamente ammissibile è uguale ad un moltiplicatore cinematicamente ammissibile, tale valore è il moltiplicatore di collasso della struttura.
-La dimostrazione del teorema misto discende direttamente dall'applicazione dei teoremi statico e cinematico.
-Poiché per il teorema statico
-$$\lambda_{stat} \le \lambda_{col}$$
-e per il teorema cinematico
-$$\lambda_{col} \le \lambda_{cin}$$
-se
-$$\lambda_{stat} = \lambda_{cin}$$
-allora
-$$\lambda_{stat} = \lambda_{cin} = \lambda_{col}$$
-Se quindi dopo aver trovato una distribuzione dei momenti in equilibrio con le forze esterne che rispetta la condizione $\lvert M_{i} \lvert \le M_{p,i}$ (teorema statico), verifichiamo che introducendo nella struttura delle cerniere plastiche nei punti in cui $\lvert M_i \lvert = M_{p,i}$ otteniamo un cinematismo ammissibile (potenza virtuale forze esterne non negativa), allora il moltiplicatore trovato è il moltiplicatore di collasso della struttura.
-Analogamente, se dopo aver individuato un cinematismo ammissibile (teorema cinematico) verifichiamo che la distribuzione del momento rispetta la condizione $\lvert M_i \lvert \le M_{p,i}$, allora il moltiplicatore trovato è il moltiplicatore di collasso della struttura.

Il wiki di IngegneriaLibera

Strumenti Utente

Strumenti Sito

Differenze

Strumenti Pagina