scienza_costruzioni:sistemi_travi_analisi_limite
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scienza_costruzioni:sistemi_travi_analisi_limite [2013/06/06 11:32] mickele [Il principio dei lavori virtuali in condizioni di collasso] |
scienza_costruzioni:sistemi_travi_analisi_limite [2021/06/13 13:08] |
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Linea 1: | Linea 1: | ||
- | ====== Analisi limite di un sistema di travi ====== | ||
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- | ===== Ipotesi semplificative ===== | ||
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- | Per il calcolo semplificato del carico di rottura di un sistema di travi si assumono le seguenti ipotesi semplificative: | ||
- | - in ogni sezione, | ||
- | - raggiunto il momento plastico le sezioni conservano sufficiente capacità rotazionale (duttilità); | ||
- | - le cerniere plastiche sono concentrate in un punto anche se, in realtà, sono distribuite su un tratto finito di trave con una larghezza che varia tra 0,5 e 1,5 volte l' | ||
- | - le connessioni strutturali sono in grado di trasmettere completamente il momento plastico; | ||
- | - il momento plastico non è influenzato dalla presenza di sforzo normale e taglio, né dalla presenza di forze concentrate; | ||
- | - il collasso non avviene per fenomeni di instabilità locale; ipotesi molto delicata nel caso di strutture in acciaio dove l' | ||
- | - le deformazioni “a collasso” sono ininfluenti sulla geometria delle azioni (piccole deofrmazioni); | ||
- | - i carichi crescono linearmente, | ||
- | - le connessioni sono in grado di trasmettere interamente il momento plastico. | ||
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- | ===== Il principio dei lavori virtuali in condizioni di collasso ===== | ||
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- | La formulazione generale del principio dei lavori virtuali è | ||
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- | $$L_{v,e} = L_{v,i} \Longrightarrow \sum \limits_i F_i^{(a)} \eta_i^{(b)} = \int \limits N^{(a)} \varepsilon_{G}^{(b)} \, \mathrm{d}s + \int \limits T^{(a)} \gamma_{m}^{(b)} \, \mathrm{d}s + \int \limits M^{(a)} \chi^{(b)} \, \mathrm{d}s$$ | ||
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- | in cui: | ||
- | * il sistema $(a)$ rispetta le condizioni di equilibrio interne ed esterne, e lo chiameremo perciò // | ||
- | * il sistema $(b)$ rispetta i vincoli (interni ed esterni) e le equazioni di congruenza, e lo chiameremo perciò // | ||
- | |||
- | Supponiamo che il sistema $(b)$ sia in condizioni di collasso ossia che si siano formate un numero di cerniere plastiche $n$ tale da creare un cinematismo. In tali condizioni il lavoro virtuale interno può essere suddiviso in due aliquote: una relativa alle cerniere plastiche ed una relativa ai tratti di travi che le collegano. Una volta creato il cinematismo di collasso la prima della due componenti è predominante sulla seconda. Trascurando il lavoro virtuale associato al taglio e allo sforzo normale possiamo allora scrivere | ||
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- | $$L_{v,i} \approx | ||
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- | e quindi | ||
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- | $$\sum \limits_i F_i^{(a)} \dot{\eta}_i^{(b)} = \sum \limits_i M_{i}^{(a)} \dot{\theta}_{col, | ||
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- | ===== Teorema statico dell' | ||
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- | Lo stato di sollecitazione di una sistema di travi è definito // | ||
- | - // | ||
- | - // | ||
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- | Chiameremo // | ||
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- | Indichiamo invece con $\lambda_{col}$ il moltiplicatore dei carichi reale della struttura al collasso. | ||
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- | Il teorema statico dell' | ||
- | |||
- | $$\lambda_{stat} \le \lambda_{col}$$ | ||
- | |||
- | Per dimostrarlo applichiamo il PLV assumendo come sistema $(a)$ la struttura nello stato di sollecitazione staticamente ammissibile (pedice $stat$) e come sistema sistema $(b)$ il sistema nelle condizioni di collasso (pedice $col$). Sotto tali ipotesi | ||
- | |||
- | $$\lambda_{stat} \sum \limits_{j=1}^{Nf} F_j \, \dot{\eta}_{col, | ||
- | |||
- | in cui: | ||
- | * $\lvert M_{stat,i} \lvert \le \lvert M_{p,i} \lvert$ | ||
- | * $N_f$ è il numero delle forze esterne $F_{j}$ applicate | ||
- | * $\dot{\eta}_{col, | ||
- | * $N_{cp}$ è il numero di sezioni $i$, nella struttura al collasso, in cui si raggiunge il relativo momento plastico $M_{p,i}$ | ||
- | * $\theta_{col, | ||
- | |||
- | A seguire applichiamo nuovamente il PLV assumendo la struttura al collasso sia come sistema $(a)$ che sistema $(b)$. In tal caso | ||
- | |||
- | $$\lambda_{col} \sum \limits_{j=1}^{Nf} F_j \dot{\eta}_{col, | ||
- | |||
- | Si dimostra che è sempre verificata la disuguaglianza | ||
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- | $$\sum \limits_{i=1}^{Ncp} M_{stat,i} \, \dot{\theta}_{col, | ||
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- | Infatti se $M_{stat, | ||
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- | $$M_{stat, | ||
- | |||
- | Analogamente tale disuguaglianza è verificata anche se $M_{stat, | ||
- | |||
- | $$M_{stat, | ||
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- | La disuguaglianza appena scritta è quindi sempre verificata. | ||
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- | Sommando i prodotti di tale disuguaglianza su tutte le cerniere plastiche della struttura al collasso otteniamo | ||
- | |||
- | $$\sum \limits_{i=1}^{Ncp} M_{stat,i} \dot{\theta}_{col, | ||
- | |||
- | Osservando le due equazione scritte sopra applicando il PLV possiamo allora scrivere | ||
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- | $$\lambda_{stat} \sum \limits_{j=1}^{Nf} F_j \dot{\eta}_{col, | ||
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- | da cui, semplificando la somma $\sum \limits_{j=1}^{Nf} F_j \dot{\eta}_{col, | ||
- | |||
- | $$\lambda_{stat} \le \lambda_{col}$$ | ||
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- | ==== Schema per il calcolo del carico a rottura con il metodo statico ==== | ||
- | |||
- | Ecco i passi da seguire per il calcolo del moltiplicatore staticamente ammissibile di un sistema di travi applicando il teorema statico: | ||
- | * scegliere le incognite iperstatiche; | ||
- | * tracciare il diagramma di momento della struttura principale - $M_0$ | ||
- | * tracciare i diagrammi di momento dovuti alle incognite iperstatiche agenti sulla struttura principale - $M_i$ | ||
- | * combinare linearmente i diagrammi così ottenuti ($M_0 + \sum \limits_i X_i \, M_i$), scegliendo il valore delle iperstatiche $X_i$ in modo che risulti in ogni punto della struttura $\lvert M \lvert \le M_p$ | ||
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- | Per come è stata costruita, la distribuzione dei momenti così trovata è sicuramente staticamente ammissibile. | ||
- | ===== Teorema cinematico dell' | ||
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- | Chiameremo // | ||
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- | Il moltiplicatore dei carichi associato ad un meccanismo cinematismo ammissibile $\lambda_{cin}$ è detto // | ||
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- | Il teorema cinematico dell' | ||
- | |||
- | $$\lambda_{col} \le \lambda_{cin}$$ | ||
- | |||
- | Per dimostrarlo applichiamo il PLV assumendo come sistema $(a)$ la struttura reale al collasso e come sistema sistema $(b)$ il meccanismo cinematicamente ammissibile (pedice $cin$). Sotto tali ipotesi | ||
- | |||
- | $$\lambda_{col} \sum \limits_{j=1}^{Nf} F_j \dot{\eta}_{cin, | ||
- | |||
- | in cui: | ||
- | * $\lvert M_{col,i} \lvert \le \vert M_{p,i} \vert$ | ||
- | * $N_{cp}$ è il numero di cerniere plastiche del cinematismo ammissibile | ||
- | * $\dot{\theta}_{cin, | ||
- | |||
- | A seguire applichiamo nuovamente il PLV assumendo il meccanismo cinematicamente ammissibile sia come sistema $(a)$ che sistema $(b)$. In tal caso | ||
- | |||
- | $$\lambda_{cin} \sum \limits_{j=1}^{Nf} F_j \dot{\eta}_{cin, | ||
- | |||
- | Poiché: | ||
- | * $\lvert M_{col,i} \vert \le \vert M_{p,i} \vert$ | ||
- | * nel cinematismo ammissibile le velocità di rotazione $\dot{\theta}_{cin, | ||
- | possiamo scrivere che | ||
- | |||
- | $$\sum \limits_{i=1}^{Ncp} M_{col,i} \, \dot{\theta}_{cin, | ||
- | |||
- | Dalle equazioni scritte sopra applicando il PLV otteniamo infine il teorema cinematico | ||
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- | $$\lambda_{col} \sum \limits_{j=1}^{Nf} F_j \, \dot{\eta}_j \le \lambda_{cin} \sum \limits_{j=1}^{Nf} F_{j} \, \dot{\eta}_j \Longrightarrow \lambda_{col} \le \lambda_{cin}$$ | ||
- | |||
- | ==== Schema per il calcolo del carico a rottura con il metodo cinematico ==== | ||
- | |||
- | Ecco i passi da seguire per il calcolo del moltiplicatore staticamente ammissibile di un sistema di travi applicando il teorema cinematico: | ||
- | * introdurre nella struttura un numero di cerniere plastiche sufficienti a realizzare un cinematismo (cerniera con due coppie uguali ed opposte ai lati di valore pari ai momenti plastici della sezione nel punto), determinando una labilità anche solo localizzata | ||
- | * determinare il cinemtismo corrispondente verificando che ciascuna cerniera compi un lavoro interno positivo | ||
- | * determinare il moltiplicatore $\lambda_{cin}$ imponendo l' | ||
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- | ===== Teorema misto dell' | ||
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- | Il teorema misto dell' | ||
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- | La dimostrazione del teorema misto discende direttamente dall' | ||
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- | Poiché per il teorema statico | ||
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- | $$\lambda_{stat} \le \lambda_{col}$$ | ||
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- | e per il teorema cinematico | ||
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- | $$\lambda_{col} \le \lambda_{cin}$$ | ||
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- | se | ||
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- | $$\lambda_{stat} = \lambda_{cin}$$ | ||
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- | allora | ||
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- | $$\lambda_{stat} = \lambda_{cin} = \lambda_{col}$$ | ||
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- | Se quindi dopo aver trovato una distribuzione dei momenti in equilibrio con le forze esterne che rispetta la condizione $\lvert M_{i} \lvert \le M_{p,i}$ (teorema statico), verifichiamo che introducendo nella struttura delle cerniere plastiche nei punti in cui $\lvert M_i \lvert = M_{p,i}$ otteniamo un cinematismo ammissibile (la potenza virtuale interna è positiva per ciascuna cerniera plastica), allora il moltiplicatore trovato è il moltiplicatore di collasso della struttura. | ||
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- | Analogamente, | ||
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- | ===== Corollari dei teoremi fondamentali dell’analisi limite ===== | ||
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- | - Eventuali distorsioni e/o cedimenti vincolari non modificano il moltiplicatore di collasso $\lambda_{col}$. Quanto sopra vale però sempre nell' | ||
- | - Le proprietà elastiche della struttura non influenzano il valore del moltiplicatore di collasso $\lambda_{col}$. Nelle dimostrazioni abbiamo infatti fatto riferimento ad una legge costitutiva elasto-plastica, | ||
- | - L’aggiunta di una qualunque porzione di materiale alla struttura (//rinforzo della struttura// | ||
- | - L’aumento in una qualunque sezione della tensione di snervamento $f_d$ del materiale non può comportare una diminuzione del moltiplicatore di collasso $\lambda_{col}$. Analogamente la riduzione della tensione $f_d$non può fare aumentare il moltiplicatore di collasso. Corollario assolutamente analogo al precedente. | ||
scienza_costruzioni/sistemi_travi_analisi_limite.txt · Ultima modifica: 2021/06/13 13:08 (modifica esterna)