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scienza_costruzioni:sistemi_travi

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Linea 1: Linea 1:
-====== Sistemi di travi ====== +Pagina spostata all'indirizzo [[scienza_costruzioni:travi:sistemi_travi|Statica e cinematica di un sistema di travi]].
- +
-===== Matrice cinematica ===== +
- +
-Dividiamo la struttura nelle singole travi che la compongono. Per ciascuna trave individuiamo un punto, di coordinate $x_P, y_P$, che chiameremo polo. +
- +
-Lo spostamento di ciascuna trave sarà individuata da un vettore di tre componenti +
- +
-$$ \left(  \begin{matrix} u \\\\ v \\\\ \varphi \end{matrix} \right) $$ +
- +
-in cui ($u$ e $v$) sono le componenti traslative della trasformazione e ($\varphi$) è l'angolo di rotazione attorno alo polo. Chiameremo tali componenti spostamenti polari. +
- +
-Con queste posizioni possiamo scrivere gli spostamenti dei punti di ciascuna trave in funzione degli spostamenti polari. Ci interessano in particolare gli spostamenti dei punti vincolati con l'esterno o con le altre travi. Dopo avere calcolato tali spostamenti imponiamo i vincoli: nel caso dei vincoli esterni, gli spostamenti dei relativi punti di applicazione di solito hanno valore nullo, ma potremmoe immaginare di avere cedimenti vincolari diversi da zero; nel caso dei vincoli interni potremmo imporre spostamenti relativi nulli (come di solito accade nei nostri sistemi) o anche in questo cvaso potremmo pensare a spostamenti relativi diversi da zero. +
- +
-Raggruppando gli spostamenti vincolari in un unico vettore $\boldsymbol{\gamma}$ e gli spostamenti polari nel vettore $\boldsymbol{\eta}$, ricorrendo alla notazione matriciale possiamo scrivere +
- +
-$$\begin{bmatrix}C\end{bmatrix} \left( \eta_P \right) = \left( \gamma \right)$$ +
- +
-in cui $\begin{bmatrix}C\end{bmatrix}$ è detta **matrice cinematica** del sistema di travi. +
- +
-===== Matrice statica ===== +
- +
-Dividiamo la struttura nelle singole travi che la compongono. +
- +
-Per ciascuna trave scriviamo le equazioni cardinali della statica. L'equilibrio a rotazione viene calcolato rispetto ad un punto diverso per ciascuna trave, di coordinate $x_P, y_P$, che chiameremo polo . +
- +
-Ciascuna trave è soggetta a reazioni vincolari (esterne/interne) $R_{H,i}$, $R_{V,i}, $R_{M,i}$ applicate nei punti $x_{R,i}, y_{R,i}$, e forze esterne  $F_{H,j}$, $F_{V,j}, $F_{M,j}$ applicate nei punti $x_{F,j}, y_{F,j}$ +
- +
-$$\rightarrow \; \sum \limits_{i=1}^{n} R_{H,i} + \sum \limits_{j=1}^{m} F_{H,j} = 0$$ +
-$$\uparrow \; \sum \limits_{i=1}^{n} R_{V,i} + \sum \limits_{j=1}^{m} F_{V,j} = 0$$ +
-$$\circlearrowleft \; \sum \limits_{i=1}^{n} \leftR_{V,i} (x_{R,i} - x_P) - R_{H,i} (y_{R,i} - y_P) + R_{M,i}\right]+ \sum \limits_{j=1}^{m} \leftF_{V,j} (x_{F,j} - x_P) - F_{H,j} (y_{F,j} - y_P) + F_{M,j}\right] = 0$$ +
- +
-Unendo tutte le equazioni di equilibrio e ricorrendo alla notazione matriciale possiamo scrivere +
- +
-$$\begin{bmatrix}S\end{bmatrix} \left( r \right) + \left( f_P \right) = \left( 0 \right)$$ +
- +
-in cui +
- +
-  * $\begin{bmatrix}S\end{bmatrix}$ è la matrice statica +
-  * $\left( r \right)$ è il vettore delle reazioni vincolari +
-  * $\left( f_P \right)$ è il vettore delle forze esterne ridotte ai poli +
- +
-===== Linee di influenza di un sistema di travi ===== +
- +
- +
-==== Teorema di reciprocità per sistemi di travi ==== +
- +
-Nel caso di un sistema di travi bidimensionale $\Lambda$, sfruttando i risultati della teoria di De Saint Venant, il teorema di reciprocità può essere scritto nella forma +
- +
-$$ \begin{matrix} \sum \limits_i F^{(a)}_i \, \eta^{(b)}_i + \sum \limits_i R^{(a)}_i \, \gamma^{(b)}_i - \int \limits_{\Lambda} N^{(a)} \bar{\epsilon}_{O}^{(b)} \, \mathrm{d}s - \int \limits_{\Lambda} T^{(a)} \bar{\gamma}_{m}^{(b)} \, \mathrm{d}s \int \limits_{\Lambda} M^{(a)} \bar{\mu}^{(b)} \, \mathrm{d}s = \, \\\\  +
-= \sum \limits_i F^{(b)}_i \, \eta^{(a)}_i + \sum \limits_i R^{(b)}_i \, \gamma^{(a)}_i - \int \limits_{\Lambda} N^{(b)} \bar{\epsilon}_{O}^{(a)} \, \mathrm{d}s - \int \limits_{\Lambda} T^{(b)} \bar{\gamma}_{m}^{(a)} \, \mathrm{d}s \int \limits_{\Lambda} M^{(b)} \bar{\mu}^{(a)} \, \mathrm{d}s +
-\end{matrix}$$ +
- +
- +
-==== Distorsione localizzata ==== +
- +
-Prima di parlare delle linee di influenza delle caratteristiche di sollecitazione interna introduciamo il concetto di distorsione localizzata.  +
- +
-Sia $\Delta s$ un intorno infinitesimo di un punto di ascissa $s$ della trave che stiamo analizzando. $\Delta s$ è soggetto alla deformazione impressa infinita $\Delta \bar{\boldsymbol\epsilon} = \begin{Bmatrix}  \Delta \overline{\epsilon}_O \\\\ \Delta \overline{\gamma_m}  \\\\ \Delta \overline{\mu}\end{Bmatrix}$. Diremo che nell'intorno infinitesimo $\Delta s$ del punto individuato dall'ascissa $s$ è applicata una distorsione se esiste finito il limite +
- +
-$$\Delta \bar{\boldsymbol\eta} = \lim \limits_{\Delta s \to 0} \Delta \overline{ \boldsymbol\epsilon } \, \Delta s =  +
-\begin{Bmatrix}  \Delta \overline{u} \\\\ \Delta \overline{w}  \\\\ \Delta \overline{\varphi} \end{Bmatrix}$$ +
- +
-in cui $\Delta \bar{\boldsymbol\eta}$ è il valore della distorsione avente le tre componenti: +
-  * $\Delta \overline{u}$ - distorsione assiale +
-  * $\Delta \overline{w}$ - distorsione di scorrimento +
-  * $\Delta \overline{\varphi}$ - distorsione di rotazione +
- +
-Una distorsione è quindi una deformazione impressa infinita concentrata nell'intorno infinitesimo di un punto. +
- +
-In presenza di una distorsione localizzata applicata in un punto $P$ di un sistema di travi, il lavoro virtuale interno rispetto alle deformazioni impresse diventa +
- +
-$$ \int \limits_{l} N^{(a)} \bar{\epsilon}_{O}^{(b)} \, \mathrm{d}s + \int \limits_{l} T^{(a)} \bar{\gamma}_{m}^{(b)} \, \mathrm{d}s + \int \limits_{l} M^{(a)} \bar{\mu}^{(b)} \, \mathrm{d}s = N_{P}^{(a)} \Delta \overline{u}^{(b)} + T_{P}^{(a)} \Delta \overline{w}^{(b)} + M_{P}^{(a)} \Delta \overline{\varphi}^{(b)}$$ +
- +
-Definiamo duali di una distorsione le corrispondenti caratteristiche di sollecitazioni secondo la tabella +
- +
-^  distorsione  ^  caratteristica di sollecitazione +
- $\Delta \overline{u}$  |  $N$  | +
-|  $\Delta \overline{w}$  |  $T$  | +
-|  $\Delta \overline{\varphi}$  |  $M$  | +
- +
-==== Linea di influenza ==== +
- +
-Si definisce linea di influenza di una data grandezza (**grandezza cercata**) rispetto ad una **causa data**, il diagramma che ne rappresenta la legge di variazione in funzione dell'ascissa del punto di applicazione della causa. +
- +
-Per calcolare la linea di influenza determineremo il diagramma della grandezza duale della causa data (**grandezza da diagrammare**) nel sistema di travi soggetto ad un **sistema esplorativo** duale della grandezza cercata. +
- +
-La **grandezza cercata** determina il **sistema esplorativo**. +
- +
-La **causa data** determina la **grandezza da diagrammare**. +
- +
-Supponiamo ad esempio di voler calcolare la linea di influenza dello spostamento verticale in un punto $P$ del sistema di travi per coppie viaggianti. La //grandezza cercata// è lo spostamento verticale, la //causa data// sono le coppie. Il //sistema esplorativo// è una forza unitaria verticale applicata nel punto $P$, duale dello spostamento verticale. La //grandezza da diagrammare// è la rotazione, duale della coppia. Applicheremo quindi al sistema di travi una forza unitaria verticale nel punto $P$; il relativo diagramma delle rotazioni è la linea di influenza cercata. +

scienza_costruzioni/sistemi_travi.1354472166.txt.gz · Ultima modifica: 2021/06/13 13:07 (modifica esterna)

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