scienza_costruzioni:sistemi_travi
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Linea 1: | Linea 1: | ||
- | ====== Sistemi di travi ====== | + | Pagina spostata all'indirizzo |
- | + | ||
- | ===== Matrice cinematica ===== | + | |
- | + | ||
- | Dividiamo la struttura nelle singole travi che la compongono. Per ciascuna trave individuiamo un punto, di coordinate $x_P, y_P$, che chiameremo polo. | + | |
- | + | ||
- | Lo spostamento di ciascuna trave sarà individuata da un vettore di tre componenti | + | |
- | + | ||
- | $$ \left( | + | |
- | + | ||
- | in cui ($u$ e $v$) sono le componenti traslative della trasformazione e ($\varphi$) è l'angolo di rotazione attorno alo polo. Chiameremo tali componenti spostamenti polari. | + | |
- | + | ||
- | Con queste posizioni possiamo scrivere gli spostamenti dei punti di ciascuna trave in funzione degli spostamenti polari. Ci interessano in particolare gli spostamenti dei punti vincolati con l' | + | |
- | + | ||
- | Raggruppando gli spostamenti vincolari in un unico vettore $\boldsymbol{\gamma}$ e gli spostamenti polari nel vettore $\boldsymbol{\eta}$, | + | |
- | + | ||
- | $$\begin{bmatrix}C\end{bmatrix} \left( \eta_P \right) = \left( \gamma \right)$$ | + | |
- | + | ||
- | in cui $\begin{bmatrix}C\end{bmatrix}$ è detta **matrice cinematica** del sistema di travi. | + | |
- | + | ||
- | ===== Matrice statica ===== | + | |
- | + | ||
- | Dividiamo la struttura nelle singole travi che la compongono. | + | |
- | + | ||
- | Per ciascuna trave scriviamo le equazioni cardinali della statica. L' | + | |
- | + | ||
- | Ciascuna trave è soggetta a reazioni vincolari (esterne/ | + | |
- | + | ||
- | $$\rightarrow \; \sum \limits_{i=1}^{n} R_{H,i} + \sum \limits_{j=1}^{m} F_{H,j} = 0$$ | + | |
- | $$\uparrow \; \sum \limits_{i=1}^{n} R_{V,i} + \sum \limits_{j=1}^{m} F_{V,j} = 0$$ | + | |
- | $$\circlearrowleft \; \sum \limits_{i=1}^{n} \left[ R_{V,i} (x_{R,i} - x_P) - R_{H,i} (y_{R,i} - y_P) + R_{M, | + | |
- | + | ||
- | Unendo tutte le equazioni di equilibrio e ricorrendo alla notazione matriciale possiamo scrivere | + | |
- | + | ||
- | $$\begin{bmatrix}S\end{bmatrix} \left( r \right) + \left( f_P \right) = \left( 0 \right)$$ | + | |
- | + | ||
- | in cui | + | |
- | + | ||
- | * $\begin{bmatrix}S\end{bmatrix}$ è la matrice statica | + | |
- | * $\left( r \right)$ è il vettore delle reazioni vincolari | + | |
- | * $\left( f_P \right)$ è il vettore delle forze esterne ridotte ai poli | + | |
- | + | ||
- | ===== Linee di influenza di un sistema di travi ===== | + | |
- | + | ||
- | + | ||
- | ==== Teorema di reciprocità per sistemi di travi ==== | + | |
- | + | ||
- | Nel caso di un sistema di travi bidimensionale $\Lambda$, sfruttando i risultati della teoria di De Saint Venant, il teorema di reciprocità può essere scritto nella forma | + | |
- | + | ||
- | $$ \begin{matrix} \sum \limits_i F^{(a)}_i \, \eta^{(b)}_i + \sum \limits_i R^{(a)}_i \, \gamma^{(b)}_i - \int \limits_{\Lambda} N^{(a)} \bar{\epsilon}_{O}^{(b)} \, \mathrm{d}s - \int \limits_{\Lambda} T^{(a)} \bar{\gamma}_{m}^{(b)} \, \mathrm{d}s \int \limits_{\Lambda} M^{(a)} \bar{\mu}^{(b)} \, \mathrm{d}s = \, \\\\ | + | |
- | = \sum \limits_i F^{(b)}_i \, \eta^{(a)}_i + \sum \limits_i R^{(b)}_i \, \gamma^{(a)}_i - \int \limits_{\Lambda} N^{(b)} \bar{\epsilon}_{O}^{(a)} \, \mathrm{d}s - \int \limits_{\Lambda} T^{(b)} \bar{\gamma}_{m}^{(a)} \, \mathrm{d}s \int \limits_{\Lambda} M^{(b)} \bar{\mu}^{(a)} \, \mathrm{d}s | + | |
- | \end{matrix}$$ | + | |
- | + | ||
- | + | ||
- | ==== Distorsione localizzata ==== | + | |
- | + | ||
- | Prima di parlare delle linee di influenza delle caratteristiche di sollecitazione interna introduciamo il concetto di distorsione localizzata. | + | |
- | + | ||
- | Sia $\Delta s$ un intorno infinitesimo di un punto di ascissa $s$ della trave che stiamo analizzando. $\Delta s$ è soggetto alla deformazione impressa infinita $\Delta \bar{\boldsymbol\epsilon} = \begin{Bmatrix} | + | |
- | + | ||
- | $$\Delta \bar{\boldsymbol\eta} = \lim \limits_{\Delta s \to 0} \Delta \overline{ \boldsymbol\epsilon } \, \Delta s = | + | |
- | \begin{Bmatrix} | + | |
- | + | ||
- | in cui $\Delta \bar{\boldsymbol\eta}$ è il valore della distorsione avente le tre componenti: | + | |
- | * $\Delta \overline{u}$ - distorsione assiale | + | |
- | * $\Delta \overline{w}$ - distorsione di scorrimento | + | |
- | * $\Delta \overline{\varphi}$ - distorsione di rotazione | + | |
- | + | ||
- | Una distorsione è quindi una deformazione impressa infinita concentrata nell' | + | |
- | + | ||
- | In presenza di una distorsione localizzata applicata in un punto $P$ di un sistema di travi, il lavoro virtuale interno rispetto alle deformazioni impresse diventa | + | |
- | + | ||
- | $$ \int \limits_{l} N^{(a)} \bar{\epsilon}_{O}^{(b)} \, \mathrm{d}s + \int \limits_{l} T^{(a)} \bar{\gamma}_{m}^{(b)} \, \mathrm{d}s + \int \limits_{l} M^{(a)} \bar{\mu}^{(b)} \, \mathrm{d}s = N_{P}^{(a)} \Delta \overline{u}^{(b)} + T_{P}^{(a)} \Delta \overline{w}^{(b)} + M_{P}^{(a)} \Delta \overline{\varphi}^{(b)}$$ | + | |
- | + | ||
- | Definiamo duali di una distorsione le corrispondenti caratteristiche di sollecitazioni secondo la tabella | + | |
- | + | ||
- | ^ distorsione | + | |
- | | | + | |
- | | $\Delta \overline{w}$ | + | |
- | | $\Delta \overline{\varphi}$ | + | |
- | + | ||
- | ==== Linea di influenza ==== | + | |
- | + | ||
- | Si definisce linea di influenza di una data grandezza (**grandezza cercata**) rispetto ad una **causa data**, il diagramma che ne rappresenta la legge di variazione in funzione dell' | + | |
- | + | ||
- | Per calcolare la linea di influenza determineremo il diagramma della grandezza duale della causa data (**grandezza da diagrammare**) nel sistema di travi soggetto ad un **sistema esplorativo** duale della grandezza cercata. | + | |
- | + | ||
- | La **grandezza cercata** determina il **sistema esplorativo**. | + | |
- | + | ||
- | La **causa data** determina la **grandezza da diagrammare**. | + | |
- | + | ||
- | Supponiamo ad esempio di voler calcolare la linea di influenza dello spostamento verticale in un punto $P$ del sistema di travi per coppie viaggianti. La //grandezza cercata// è lo spostamento verticale, la //causa data// sono le coppie. Il //sistema esplorativo// | + |
scienza_costruzioni/sistemi_travi.1354472166.txt.gz · Ultima modifica: 2021/06/13 13:07 (modifica esterna)