Dividiamo la struttura nelle singole travi che la compongono. Per ciascuna trave individuiamo un punto, di coordinate $x_P, y_P$, che chiameremo polo.

Lo spostamento di ciascuna trave sarà individuata da un vettore di tre componenti

$$ \left( \begin{matrix} u \\\\ v \\\\ \varphi \end{matrix} \right) $$

in cui ($u$ e $v$) sono le componenti traslative della trasformazione e ($\varphi$) è l'angolo di rotazione attorno alo polo. Chiameremo tali componenti spostamenti polari.

Con queste posizioni possiamo scrivere gli spostamenti dei punti di ciascuna trave in funzione degli spostamenti polari. Ci interessano in particolare gli spostamenti dei punti vincolati con l'esterno o con le altre travi. Dopo avere calcolato tali spostamenti imponiamo i vincoli: nel caso dei vincoli esterni, gli spostamenti dei relativi punti di applicazione di solito hanno valore nullo, ma potremmoe immaginare di avere cedimenti vincolari diversi da zero; nel caso dei vincoli interni potremmo imporre spostamenti relativi nulli (come di solito accade nei nostri sistemi) o anche in questo cvaso potremmo pensare a spostamenti relativi diversi da zero.

Raggruppando gli spostamenti vincolari in un unico vettore $\boldsymbol{\gamma}$ e gli spostamenti polari nel vettore $\boldsymbol{\eta}$, ricorrendo alla notazione matriciale possiamo scrivere

$$\begin{bmatrix}C\end{bmatrix} \left( \eta_P \right) = \left( \gamma \right)$$

in cui $\begin{bmatrix}C\end{bmatrix}$ è detta matrice cinematica del sistema di travi.

Dividiamo la struttura nelle singole travi che la compongono.

Per ciascuna trave scriviamo le equazioni cardinali della statica. L'equilibrio a rotazione viene calcolato rispetto ad un punto diverso per ciascuna trave, di coordinate $x_P, y_P$, che chiameremo polo .

Ciascuna trave è soggetta a reazioni vincolari (esterne/interne) $R_{H,i}$, $R_{V,i}, $R_{M,i}$ applicate nei punti $x_{R,i}, y_{R,i}$, e forze esterne $F_{H,j}$, $F_{V,j}, $F_{M,j}$ applicate nei punti $x_{F,j}, y_{F,j}$

$$\rightarrow \; \sum \limits_{i=1}^{n} R_{H,i} + \sum \limits_{j=1}^{m} F_{H,j} = 0$$ $$\uparrow \; \sum \limits_{i=1}^{n} R_{V,i} + \sum \limits_{j=1}^{m} F_{V,j} = 0$$ $$\circlearrowleft \; \sum \limits_{i=1}^{n} \left[ R_{V,i} (x_{R,i} - x_P) - R_{H,i} (y_{R,i} - y_P) + R_{M,i}\right]+ \sum \limits_{j=1}^{m} \left[ F_{V,j} (x_{F,j} - x_P) - F_{H,j} (y_{F,j} - y_P) + F_{M,j}\right] = 0$$

Unendo tutte le equazioni di equilibrio e ricorrendo alla notazione matriciale possiamo scrivere

$$\begin{bmatrix}S\end{bmatrix} \left( r \right) + \left( f_P \right) = \left( 0 \right)$$

in cui

• $\begin{bmatrix}S\end{bmatrix}$ è la matrice statica
• $\left( r \right)$ è il vettore delle reazioni vincolari
• $\left( f_P \right)$ è il vettore delle forze esterne ridotte ai poli

Nel caso di un sistema di travi bidimensionale $\Lambda$, sfruttando i risultati della teoria di De Saint Venant, il teorema di reciprocità può essere scritto nella forma

$$ \begin{matrix} \sum \limits_i F^{(a)}_i \, \eta^{(b)}_i + \sum \limits_i R^{(a)}_i \, \gamma^{(b)}_i - \int \limits_{\Lambda} N^{(a)} \bar{\epsilon}_{O}^{(b)} \, \mathrm{d}s - \int \limits_{\Lambda} T^{(a)} \bar{\gamma}_{m}^{(b)} \, \mathrm{d}s \int \limits_{\Lambda} M^{(a)} \bar{\mu}^{(b)} \, \mathrm{d}s = \, \\\\ = \sum \limits_i F^{(b)}_i \, \eta^{(a)}_i + \sum \limits_i R^{(b)}_i \, \gamma^{(a)}_i - \int \limits_{\Lambda} N^{(b)} \bar{\epsilon}_{O}^{(a)} \, \mathrm{d}s - \int \limits_{\Lambda} T^{(b)} \bar{\gamma}_{m}^{(a)} \, \mathrm{d}s \int \limits_{\Lambda} M^{(b)} \bar{\mu}^{(a)} \, \mathrm{d}s \end{matrix}$$

Prima di parlare delle linee di influenza delle caratteristiche di sollecitazione interna introduciamo il concetto di distorsione localizzata.

Sia $\Delta s$ un intorno infinitesimo di un punto di ascissa $s$ della trave che stiamo analizzando. $\Delta s$ è soggetto alla deformazione impressa infinita $\Delta \bar{\boldsymbol\epsilon} = \begin{Bmatrix} \Delta \overline{\epsilon}_O \\\\ \Delta \overline{\gamma_m} \\\\ \Delta \overline{\mu}\end{Bmatrix}$. Diremo che nell'intorno infinitesimo $\Delta s$ del punto individuato dall'ascissa $s$ è applicata una distorsione se esiste finito il limite

$$\Delta \bar{\boldsymbol\eta} = \lim \limits_{\Delta s \to 0} \Delta \overline{ \boldsymbol\epsilon } \, \Delta s = \begin{Bmatrix} \Delta \overline{u} \\\\ \Delta \overline{w} \\\\ \Delta \overline{\varphi} \end{Bmatrix}$$

in cui $\Delta \bar{\boldsymbol\eta}$ è il valore della distorsione avente le tre componenti:

• $\Delta \overline{u}$ - distorsione assiale
• $\Delta \overline{w}$ - distorsione di scorrimento
• $\Delta \overline{\varphi}$ - distorsione di rotazione

Una distorsione è quindi una deformazione impressa infinita concentrata nell'intorno infinitesimo di un punto.

In presenza di una distorsione localizzata applicata in un punto $P$ di un sistema di travi, il lavoro virtuale interno rispetto alle deformazioni impresse diventa

$$ \int \limits_{l} N^{(a)} \bar{\epsilon}_{O}^{(b)} \, \mathrm{d}s + \int \limits_{l} T^{(a)} \bar{\gamma}_{m}^{(b)} \, \mathrm{d}s + \int \limits_{l} M^{(a)} \bar{\mu}^{(b)} \, \mathrm{d}s = N_{P}^{(a)} \Delta \overline{u}^{(b)} + T_{P}^{(a)} \Delta \overline{w}^{(b)} + M_{P}^{(a)} \Delta \overline{\varphi}^{(b)}$$

Definiamo duali di una distorsione le corrispondenti caratteristiche di sollecitazioni secondo la tabella

Si definisce linea di influenza di una data grandezza (grandezza cercata) rispetto ad una causa data, il diagramma che ne rappresenta la legge di variazione in funzione dell'ascissa del punto di applicazione della causa.

Per calcolare la linea di influenza determineremo il diagramma della grandezza duale della causa data (grandezza da diagrammare) nel sistema di travi soggetto ad un sistema esplorativo duale della grandezza cercata.

La grandezza cercata determina il sistema esplorativo.

La causa data determina la grandezza da diagrammare.

Supponiamo ad esempio di voler calcolare la linea di influenza dello spostamento verticale in un punto $P$ del sistema di travi per coppie viaggianti. La grandezza cercata è lo spostamento verticale, la causa data sono le coppie. Il sistema esplorativo è una forza unitaria verticale applicata nel punto $P$, duale dello spostamento verticale. La grandezza da diagrammare è la rotazione, duale della coppia. Applicheremo quindi al sistema di travi una forza unitaria verticale nel punto $P$; il relativo diagramma delle rotazioni è la linea di influenza cercata.