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--- scienza_costruzioni:sistemi_travi [2013/05/09 16:15]
mickele
+++ scienza_costruzioni:sistemi_travi [2021/06/13 13:08]
@@ Linea 1: / Linea 1: @@
-====== Statica e cinematica di un sistema di travi ======
-===== Matrice cinematica =====
-Dividiamo la struttura nelle singole travi che la compongono. Per ciascuna trave individuiamo un punto, di coordinate $x_P, y_P$, che chiameremo polo.
-Lo spostamento di ciascuna trave sarà individuata da un vettore di tre componenti
-$$ \left(  \begin{matrix} u \\\\ v \\\\ \varphi \end{matrix} \right) $$
-in cui ($u$ e $v$) sono le componenti traslative della trasformazione e ($\varphi$) è l'angolo di rotazione attorno alo polo. Chiameremo tali componenti spostamenti polari.
-Con queste posizioni possiamo scrivere gli spostamenti dei punti di ciascuna trave in funzione degli spostamenti polari. Ci interessano in particolare gli spostamenti dei punti vincolati con l'esterno o con le altre travi. Dopo avere calcolato tali spostamenti imponiamo i vincoli: nel caso dei vincoli esterni, gli spostamenti dei relativi punti di applicazione di solito hanno valore nullo, ma potremmoe immaginare di avere cedimenti vincolari diversi da zero; nel caso dei vincoli interni potremmo imporre spostamenti relativi nulli (come di solito accade nei nostri sistemi) o anche in questo cvaso potremmo pensare a spostamenti relativi diversi da zero.
-Raggruppando gli spostamenti vincolari in un unico vettore $\boldsymbol{\gamma}$ e gli spostamenti polari nel vettore $\boldsymbol{\eta}$, ricorrendo alla notazione matriciale possiamo scrivere
-$$\begin{bmatrix}C\end{bmatrix} \left( \eta_P \right) = \left( \gamma \right)$$
-in cui $\begin{bmatrix}C\end{bmatrix}$ è detta **matrice cinematica** del sistema di travi.
-===== Matrice statica =====
-Dividiamo la struttura nelle singole travi che la compongono.
-Per ciascuna trave scriviamo le equazioni cardinali della statica. L'equilibrio a rotazione viene calcolato rispetto ad un punto diverso per ciascuna trave, di coordinate $x_P, y_P$, che chiameremo polo .
-Ciascuna trave è soggetta a reazioni vincolari (esterne/interne) $R_{H,i}$, $R_{V,i}, $R_{M,i}$ applicate nei punti $x_{R,i}, y_{R,i}$, e forze esterne  $F_{H,j}$, $F_{V,j}, $F_{M,j}$ applicate nei punti $x_{F,j}, y_{F,j}$
-$$\rightarrow \; \sum \limits_{i=1}^{n} R_{H,i} + \sum \limits_{j=1}^{m} F_{H,j} = 0$$
-$$\uparrow \; \sum \limits_{i=1}^{n} R_{V,i} + \sum \limits_{j=1}^{m} F_{V,j} = 0$$
-$$\circlearrowleft \; \sum \limits_{i=1}^{n} \left[ R_{V,i} (x_{R,i} - x_P) - R_{H,i} (y_{R,i} - y_P) + R_{M,i}\right]+ \sum \limits_{j=1}^{m} \left[ F_{V,j} (x_{F,j} - x_P) - F_{H,j} (y_{F,j} - y_P) + F_{M,j}\right] = 0$$
-Unendo tutte le equazioni di equilibrio e ricorrendo alla notazione matriciale possiamo scrivere
-$$\begin{bmatrix}S\end{bmatrix} \left( r \right) + \left( f_P \right) = \left( 0 \right)$$
-in cui
-  * $\begin{bmatrix}S\end{bmatrix}$ è la matrice statica
-  * $\left( r \right)$ è il vettore delle reazioni vincolari
-  * $\left( f_P \right)$ è il vettore delle forze esterne ridotte ai poli

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