Lastre piane inflesse
Equazioni di equilibrio
$$ \frac{\partial m_x}{\partial x} + \frac{\partial m_{xy}}{\partial y} - v_x = 0$$
$$ \frac{\partial m_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial m_{y}}{\partial y} - v_y = 0$$
$$ \frac{\partial v_{x}}{\partial x} + \frac{\partial v_{y}}{\partial y} + q = 0$$
Equazione di Lagrange-Germaine
Deriviamo una rispetto a $x$ e l'altra rispetto a $y$ le due equazioni ottenute imponendo l'equilibrio a rotazione
$$ \frac{\partial m_x}{\partial x} + \frac{\partial m_{xy}}{\partial y} - v_x = 0 \Longrightarrow \frac{\partial v_x}{\partial x} = \frac{\partial^2 m_x}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 m_{xy}}{\partial x \, \partial y}$$
$$ \frac{\partial m_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial m_{y}}{\partial y} - v_y = 0 \Longrightarrow \frac{\partial v_y}{\partial y} = \frac{\partial^2 m_{xy}}{\partial x \, \partial y} + \frac{\partial^2 m_{y}}{\partial y^2}$$
Sostituiamo le derivate del taglio $v_x$ e $v_y$ nell'equazione di equilibrio a traslazione, ottenendo
$$ \frac{\partial v_{x}}{\partial x} + \frac{\partial v_{y}}{\partial y} + q = 0 \Longrightarrow \frac{\partial^2 m_x}{\partial x^2} + 2 \frac{\partial^2 m_{xy}}{\partial x \, \partial y} + \frac{\partial^2 m_{y}}{\partial y^2} + q = 0$$
Trascurando l'influenza dello scorrimento angolare sulla deoformata possiamo scrivere
$$m_x = -D \left( \frac{\partial^2 w}{ \partial x^2} + \nu \frac{\partial^2 w}{ \partial y^2} \right) $$
$$m_y = -D \left( \nu \frac{\partial^2 w}{ \partial x^2} + \frac{\partial^2 w}{ \partial y^2} \right) $$
$$m_{xy} = -D \left( 1 - \nu \right) \frac{\partial^2 w}{ \partial x \, \partial y} $$
Sostituendo le ultime tre relazioni nella precedente equazione otteniamo
$$\frac{\partial^4 w}{\partial x^4} + 2 \frac{\partial^4 w}{\partial x^2 \, \partial y^2 } + \frac{\partial^4 w}{\partial y^4} = \frac{q}{D}$$
esprimibile sinteticamente nella forma
$$\nabla^4 w = \frac{q}{D}$$