====== Lastre piane inflesse ======

===== Equazioni di equilibrio =====

$$ \frac{\partial m_x}{\partial x} + \frac{\partial m_{xy}}{\partial y} - v_x = 0$$

$$ \frac{\partial m_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial m_{y}}{\partial y} - v_y = 0$$

$$ \frac{\partial v_{x}}{\partial x} + \frac{\partial v_{y}}{\partial y} + q = 0$$

===== Equazione di Lagrange-Germaine =====

Deriviamo una rispetto a $x$ e l'altra rispetto a $y$ le due equazioni ottenute imponendo l'equilibrio a rotazione

$$ \frac{\partial m_x}{\partial x} + \frac{\partial m_{xy}}{\partial y} - v_x = 0 \Longrightarrow \frac{\partial v_x}{\partial x} = \frac{\partial^2 m_x}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 m_{xy}}{\partial x \, \partial y}$$

$$ \frac{\partial m_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial m_{y}}{\partial y} - v_y = 0 \Longrightarrow \frac{\partial v_y}{\partial y} = \frac{\partial^2 m_{xy}}{\partial x \, \partial y} + \frac{\partial^2 m_{y}}{\partial y^2}$$

Sostituiamo le derivate del taglio $v_x$ e $v_y$ nell'equazione di equilibrio a traslazione, ottenendo

$$ \frac{\partial v_{x}}{\partial x} + \frac{\partial v_{y}}{\partial y} + q = 0 \Longrightarrow \frac{\partial^2 m_x}{\partial x^2} + 2 \frac{\partial^2 m_{xy}}{\partial x \, \partial y} + \frac{\partial^2 m_{y}}{\partial y^2} + q = 0$$

Trascurando l'influenza dello scorrimento angolare sulla deoformata possiamo scrivere

$$m_x = -D \left( \frac{\partial^2 w}{ \partial x^2} + \nu \frac{\partial^2 w}{ \partial y^2} \right) $$

$$m_y = -D \left( \nu \frac{\partial^2 w}{ \partial x^2} + \frac{\partial^2 w}{ \partial y^2} \right) $$

$$m_{xy} = -D \left( 1 - \nu \right)  \frac{\partial^2 w}{ \partial x \, \partial y}  $$

Sostituendo le ultime tre relazioni nella precedente equazione otteniamo

$$\frac{\partial^4 w}{\partial x^4} + 2 \frac{\partial^4 w}{\partial x^2 \, \partial y^2 } + \frac{\partial^4 w}{\partial y^4} = \frac{q}{D}$$

esprimibile sinteticamente nella forma

$$\nabla^4 w = \frac{q}{D}$$