scienza_costruzioni:il_solido_elastico
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scienza_costruzioni:il_solido_elastico [2013/07/04 10:04] mickele [Materiale elastico] |
scienza_costruzioni:il_solido_elastico [2021/06/13 13:08] (versione attuale) |
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|---|---|---|---|
| Linea 55: | Linea 55: | ||
| Abbiamo così dimostrato che l' | Abbiamo così dimostrato che l' | ||
| - | ====== | + | ====== |
| - | Si definisce elastico-lineare un materiale per il quale il potenziale elastico è una funzione polinominiale di secondo grado delle deformazioni. Sotto tale ipotesi è quindi possibile sostituire la funzione potenziale con il suo sviluppo in serie di Mc-laurin | + | Si definisce elastico-lineare un materiale per il quale il potenziale elastico è una funzione polinominiale di secondo grado delle deformazioni. Sotto tale ipotesi è quindi possibile sostituire la funzione potenziale con il suo sviluppo in serie di Mc-Laurin |
| - | $$\Psi( \boldsymbol{\epsilon} ) = \Psi( \boldsymbol{0} ) + \nabla \Psi( \boldsymbol{0} ) \boldsymbol{\epsilon} + \frac{1}{2} \boldsymbol{\epsilon} \cdot H_{\Psi} \cdot \boldsymbol{\epsilon} $$ | + | $$\Phi( \boldsymbol{\epsilon} ) = \Phi( \boldsymbol{0} ) + \nabla \Phi( \boldsymbol{0} ) \boldsymbol{\epsilon} + \frac{1}{2} \boldsymbol{\epsilon} \cdot H_{\Phi} \cdot \boldsymbol{\epsilon} $$ |
| Considerando che ai nostri fini non è tanto importante conoscere il valore della funzione potenziale in un punto quanto la differenza che tale funzione assume tra due punti, possiamo assumere | Considerando che ai nostri fini non è tanto importante conoscere il valore della funzione potenziale in un punto quanto la differenza che tale funzione assume tra due punti, possiamo assumere | ||
| - | $$\Psi( \boldsymbol{0} ) = 0$$ | + | $$\Phi( \boldsymbol{0} ) = 0$$ |
| Analogamente sappiamo che | Analogamente sappiamo che | ||
| - | $$\nabla \Psi( \boldsymbol{\epsilon} ) = \boldsymbol{\sigma} (\boldsymbol{\epsilon}) $$ | + | $$\nabla \Phi( \boldsymbol{\epsilon} ) = \boldsymbol{\sigma} (\boldsymbol{\epsilon}) $$ |
| - | Per deformazioni elastiche nulle il nostro solido è in condizioni di riposo, pertanto anche le tensioni sono nulle. | + | Per deformazioni elastiche nulle il nostro solido è in condizioni di riposo, pertanto anche le tensioni sono nulle. |
| - | Pertanto possiamo scrivere | + | $$\Phi( \boldsymbol{\epsilon} ) = \frac{1}{2} \boldsymbol{\epsilon} \cdot H_{\Phi} \cdot \boldsymbol{\epsilon} $$ |
| - | $$\Psi( \boldsymbol{\epsilon} ) = \frac{1}{2} \boldsymbol{\epsilon} \cdot H_{\Psi} \cdot \boldsymbol{\epsilon} $$ | + | Da tale espressione ricaviamo |
| - | Da tale espressione possiamo ricavare | + | $$\boldsymbol{\sigma} = \nabla \Phi( \boldsymbol{\epsilon} ) = H_{\Phi} \cdot \boldsymbol{\epsilon} $$ |
| - | $$\boldsymbol{\sigma} = \nabla \Psi( \boldsymbol{\epsilon} ) = H_{\Psi} \cdot \boldsymbol{\epsilon} $$ | + | che ci permette di esprimere il potenziale elastico di deformazione nella forma |
| - | Pertanto possiamo esprimere il potenziale elastico di deformazione nella forma | + | $$\Phi( \boldsymbol{\epsilon} ) = \frac{1}{2} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\epsilon} $$ |
| - | + | ||
| - | $$\Psi( \boldsymbol{\epsilon} ) = \frac{1}{2} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\epsilon} $$ | + | |
| Abbiamo visto nel paragrafo precedente che | Abbiamo visto nel paragrafo precedente che | ||
| Linea 88: | Linea 86: | ||
| \left[ \Phi (B) - \Phi (A) \right] + \left[ \Psi (B) - \Psi (A) \right] $$ | \left[ \Phi (B) - \Phi (A) \right] + \left[ \Psi (B) - \Psi (A) \right] $$ | ||
| - | Sotto le ipotesi ora introdotte quest' | + | Considerando che il punto $A$ corrisponde al solido scarico ($\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\varepsilon} = \boldsymbol{0}$), |
| $$\boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\epsilon} | $$\boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\epsilon} | ||
| \Phi (\boldsymbol{\epsilon}) + \Psi (\boldsymbol{\sigma}) = \frac{1}{2} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\epsilon} + \Psi (\boldsymbol{\sigma})$$ | \Phi (\boldsymbol{\epsilon}) + \Psi (\boldsymbol{\sigma}) = \frac{1}{2} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\epsilon} + \Psi (\boldsymbol{\sigma})$$ | ||
| - | da cui infine ricaviamo che, sotto l' | + | Sotto l' |
| $$\Psi (\boldsymbol{\sigma}) = \Phi (\boldsymbol{\epsilon}) = \frac{1}{2} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\epsilon}$$ | $$\Psi (\boldsymbol{\sigma}) = \Phi (\boldsymbol{\epsilon}) = \frac{1}{2} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\epsilon}$$ | ||
scienza_costruzioni/il_solido_elastico.1372925097.txt.gz · Ultima modifica: 2021/06/13 13:07 (modifica esterna)
