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@@ Linea 12: / Linea 12: @@
 La funzione $\Phi (\boldsymbol{\epsilon})$ è detta **potenziale elastico di deformazione**.
-Discorso analogo può essere impostato considerando la relazione che lega il vettore $\boldsymbol{\sigma}$ al vettore $\boldsymbol{\epsilon}$ ($\boldsymbol{\sigma}$ è la variabile indipendente). Anche stavolta dovremo supporre l'esistenza di una funzione $\Psi ( \boldsymbol{\sigma } )$
+Analogamente possiamo analizzare la relazione che lega il vettore $\boldsymbol{\sigma}$ al vettore $\boldsymbol{\epsilon}$ ($\boldsymbol{\sigma}$ è la variabile indipendente). In tal caso supponiamo esista una funzione $\Psi \left( \boldsymbol{\sigma } \right)$
 $$ \boldsymbol{\epsilon} (\boldsymbol{\sigma}) = \nabla \Psi (\boldsymbol{\sigma}) $$
-La funzione $\Psi ( \boldsymbol{\sigma} )$ è detta **potenziale elastico complementare**.
+La funzione $\Psi \left( \boldsymbol{\sigma} \right)$ è detta **potenziale elastico complementare**.
-Se $\boldsymbol{\sigma} (\boldsymbol{\epsilon})$ è un campo conservativo, anche $\boldsymbol{\epsilon} (\boldsymbol{\sigma})$ lo è, e viceversa. Altrimenti detto, l'esistenza del potenziale elastico di deformazione implica l'esistenza del potenziale elastico complementare, e viceversa.
+Se $\boldsymbol{\sigma} (\boldsymbol{\epsilon})$ è un campo conservativo, anche $\boldsymbol{\epsilon} (\boldsymbol{\sigma})$ lo è, e viceversa. Di conseguenza l'esistenza del potenziale elastico di deformazione è equivalente all'esistenza del potenziale elastico complementare.
-Dimostriamo che la prima parte dell'asserto $ \left( \exists \Phi (\boldsymbol{\epsilon}) | \boldsymbol{\sigma} (\boldsymbol{\epsilon}) = \nabla \Phi (\boldsymbol{\epsilon}) \Longrightarrow \exists \Psi (\boldsymbol{\sigma}) | \boldsymbol{\epsilon} (\boldsymbol{\sigma}) = \nabla \Psi (\boldsymbol{\sigma}) \right)$; analogamente si dimostra la relazione inversa.
+Dimostriamo la prima parte dell'asserto
+$$\exists \Phi (\boldsymbol{\epsilon}) | \boldsymbol{\sigma} (\boldsymbol{\epsilon}) = \nabla \Phi (\boldsymbol{\epsilon}) \Longrightarrow \exists \Psi (\boldsymbol{\sigma}) | \boldsymbol{\epsilon} (\boldsymbol{\sigma}) = \nabla \Psi (\boldsymbol{\sigma})$$
 Consideriamo un qualsiasi processo di carico tra i punti $A$ e $B$ funzione della variabile $t$.
@@ Linea 26: / Linea 28: @@
 Dalle proprietà del prodotto di derivate abbiamo che
-$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \boldsymbol{\sigma} \left(\boldsymbol{\epsilon}(t)\right) \cdot \boldsymbol{\epsilon} \left(\boldsymbol{\sigma}(t)\right) \right) =
+$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \boldsymbol{\sigma} \left(\boldsymbol{\epsilon}(t)\right) \cdot \boldsymbol{\epsilon} (t) \right) =
 \sum \limits_{i=1}^{6} \left( \epsilon_i \frac{\partial \sigma_i}{\partial \epsilon_i } \frac{\mathrm{d} \epsilon_i}{\mathrm{d}t} +
-\sigma_i \frac{\partial \epsilon_i}{\partial \sigma_i } \frac{\mathrm{d} \sigma_i}{\mathrm{d}t} \right)$$
+\sigma_i \frac{\mathrm{d} \epsilon_i}{\mathrm{d}t } \right)$$
 Integrando tra i punti $A$ e $B$
@@ Linea 47: / Linea 49: @@
 \left[ \Phi (B) - \Phi (A) \right]$$
-che ci permette di definire, a meno di una costante, il potenziale elastico complementare ricordando che, per le proprietà dei [[matematica:campi conservativi|campi conservativi]],
+che ci permette di definire, a meno di una costante, il potenziale elastico complementare
 $$\Psi(B) - \Psi(A) = \int \limits_{A}^{B} \boldsymbol{\sigma} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{\epsilon}$$
-Abbiamo così dimostrato l'esistenza del potenziale elastico complementare.
+Abbiamo così dimostrato che l'esistenza del potenziale elastico implica l'esistenza del potenziale elastico complementare. Procedendo in maniera analoga è possibile dimostrare che l'esistenza del potenziale elastico complementare implica l'esistenza dal potenziale elastico.
-====== Materiale elastico-lineare ======
+====== Legge costitutiva elastico-lineare ======
-Si definisce elastico-lineare un materiale per il quale il potenziale elastico è una funzione polinominiale di secondo grado delle deformazioni. Sotto tale ipotesi è quindi possibile sostituire la funzione potenziale con il suo sviluppo in serie di Mc-laurin arrestato al secondo ordine, secondo la relazione
+Si definisce elastico-lineare un materiale per il quale il potenziale elastico è una funzione polinominiale di secondo grado delle deformazioni. Sotto tale ipotesi è quindi possibile sostituire la funzione potenziale con il suo sviluppo in serie di Mc-Laurin arrestato al secondo ordine, secondo la relazione
-$$\Psi( \boldsymbol{\epsilon} ) = \Psi( \boldsymbol{0} ) + \nabla \Psi( \boldsymbol{0} ) \boldsymbol{\epsilon} + \frac{1}{2} \boldsymbol{\epsilon} \cdot H_{\Psi} \cdot \boldsymbol{\epsilon} $$
+$$\Phi( \boldsymbol{\epsilon} ) = \Phi( \boldsymbol{0} ) + \nabla \Phi( \boldsymbol{0} ) \boldsymbol{\epsilon} + \frac{1}{2} \boldsymbol{\epsilon} \cdot H_{\Phi} \cdot \boldsymbol{\epsilon} $$
 Considerando che ai nostri fini non è tanto importante conoscere il valore della funzione potenziale in un punto quanto la differenza che tale funzione assume tra due punti, possiamo assumere
-$$\Psi( \boldsymbol{0} ) = 0$$
+$$\Phi( \boldsymbol{0} ) = 0$$
 Analogamente sappiamo che
-$$\nabla \Psi( \boldsymbol{\epsilon} ) = \boldsymbol{\sigma} (\boldsymbol{\epsilon}) $$
+$$\nabla \Phi( \boldsymbol{\epsilon} ) = \boldsymbol{\sigma} (\boldsymbol{\epsilon}) $$
-Per deformazioni elastiche nulle il nostro solido è in condizioni di riposo, pertanto anche le tensioni sono nulle.
-Pertanto possiamo scrivere
+Per deformazioni elastiche nulle il nostro solido è in condizioni di riposo, pertanto anche le tensioni sono nulle. Possiamo allora scrivere
-$$\Psi( \boldsymbol{\epsilon} ) = \frac{1}{2} \boldsymbol{\epsilon} \cdot H_{\Psi} \cdot \boldsymbol{\epsilon} $$
+$$\Phi( \boldsymbol{\epsilon} ) = \frac{1}{2} \boldsymbol{\epsilon} \cdot H_{\Phi} \cdot \boldsymbol{\epsilon} $$
-Da tale espressione possiamo ricavare
+Da tale espressione ricaviamo
-$$\boldsymbol{\sigma} = \nabla \Psi( \boldsymbol{\epsilon} ) = H_{\Psi} \cdot \boldsymbol{\epsilon} $$
+$$\boldsymbol{\sigma} = \nabla \Phi( \boldsymbol{\epsilon} ) = H_{\Phi} \cdot \boldsymbol{\epsilon} $$
-Pertanto possiamo esprimere il potenziale elastico di deformazione nella forma
+che ci permette di esprimere il potenziale elastico di deformazione nella forma
-$$\Psi( \boldsymbol{\epsilon} ) = \frac{1}{2} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\epsilon} $$
+$$\Phi( \boldsymbol{\epsilon} ) = \frac{1}{2} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\epsilon} $$
 Abbiamo visto nel paragrafo precedente che
@@ Linea 86: / Linea 86: @@
 \left[ \Phi (B) - \Phi (A) \right] + \left[ \Psi (B) - \Psi (A) \right] $$
-Sotto le ipotesi ora introdotte quest'ultima diventa più semplicemente
+Considerando che il punto $A$ corrisponde al solido scarico ($\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\varepsilon} = \boldsymbol{0}$), applicando quanto visto sopra, la relazione diventa più semplicemente
 $$\boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\epsilon}  =
 \Phi (\boldsymbol{\epsilon}) + \Psi (\boldsymbol{\sigma}) = \frac{1}{2} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\epsilon} + \Psi (\boldsymbol{\sigma})$$
-da cui infine ricaviamo che, sotto l'ipotesi di legge costitutiva elastico-lineare,
+Sotto l'ipotesi di legge costitutiva elastico-lineare il potenziale elastico è uguale al potenziale elastico complementare
 $$\Psi (\boldsymbol{\sigma}) = \Phi (\boldsymbol{\epsilon}) = \frac{1}{2} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\epsilon}$$

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