Il wiki di IngegneriaLibera

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====== Il solido elastico ======


====== Materiale elastico ======

Chiamiamo legge costitutiva di un materiale la relazione che lega il vettore $\epsilon$ al vettore $\sigma$.

Diremo che un certo materiale è dotato di legge costitutiva di tipo **elastico** se la relazione in questione è un [[matematica:campi conservativi|campo conservativo]], dovrà quindi essitere una funzione $\Phi (\boldsymbol{\epsilon})$ che rispetti la relazione

$$\boldsymbol{\sigma} (\boldsymbol{\epsilon}) = \nabla \Phi (\boldsymbol{\epsilon})$$

La funzione $\Phi (\boldsymbol{\epsilon})$ è detta **potenziale elastico di deformazione**. 

Analogamente possiamo analizzare la relazione che lega il vettore $\boldsymbol{\sigma}$ al vettore $\boldsymbol{\epsilon}$ ($\boldsymbol{\sigma}$ è la variabile indipendente). In tal caso supponiamo esista una funzione $\Psi \left( \boldsymbol{\sigma } \right)$

$$ \boldsymbol{\epsilon} (\boldsymbol{\sigma}) = \nabla \Psi (\boldsymbol{\sigma}) $$

La funzione $\Psi \left( \boldsymbol{\sigma} \right)$ è detta **potenziale elastico complementare**. 

Se $\boldsymbol{\sigma} (\boldsymbol{\epsilon})$ è un campo conservativo, anche $\boldsymbol{\epsilon} (\boldsymbol{\sigma})$ lo è, e viceversa. Di conseguenza l'esistenza del potenziale elastico di deformazione è equivalente all'esistenza del potenziale elastico complementare.

Dimostriamo la prima parte dell'asserto 

$$\exists \Phi (\boldsymbol{\epsilon}) | \boldsymbol{\sigma} (\boldsymbol{\epsilon}) = \nabla \Phi (\boldsymbol{\epsilon}) \Longrightarrow \exists \Psi (\boldsymbol{\sigma}) | \boldsymbol{\epsilon} (\boldsymbol{\sigma}) = \nabla \Psi (\boldsymbol{\sigma})$$

Consideriamo un qualsiasi processo di carico tra i punti $A$ e $B$ funzione della variabile $t$. 

Dalle proprietà del prodotto di derivate abbiamo che

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \boldsymbol{\sigma} \left(\boldsymbol{\epsilon}(t)\right) \cdot \boldsymbol{\epsilon} (t) \right) =
\sum \limits_{i=1}^{6} \left( \epsilon_i \frac{\partial \sigma_i}{\partial \epsilon_i } \frac{\mathrm{d} \epsilon_i}{\mathrm{d}t} +
\sigma_i \frac{\mathrm{d} \epsilon_i}{\mathrm{d}t } \right)$$

Integrando tra i punti $A$ e $B$

$$\int \limits_{A}^{B} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\epsilon} \right) \, \mathrm{d}t =
\int \limits_{A}^{B} \boldsymbol{\epsilon} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{\sigma} +
\int \limits_{A}^{B} \boldsymbol{\sigma} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{\epsilon} $$

Applicando le proprietà dei campi conservativi, quest'ultima diventa

$$\left[ \boldsymbol{\sigma} (B) \cdot \boldsymbol{\epsilon} (B) - \boldsymbol{\sigma} (A) \cdot \boldsymbol{\epsilon} (A) \right] =
\left[ \Phi (B) - \Phi (A) \right] + \int \limits_{A}^{B} \boldsymbol{\sigma} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{\epsilon}$$

da cui

$$\int \limits_{A}^{B} \boldsymbol{\sigma} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{\epsilon} = 
\left[ \boldsymbol{\sigma} (B) \cdot \boldsymbol{\epsilon} (B) - \boldsymbol{\sigma} (A) \cdot \boldsymbol{\epsilon} (A) \right] -
\left[ \Phi (B) - \Phi (A) \right]$$

che ci permette di definire, a meno di una costante, il potenziale elastico complementare

$$\Psi(B) - \Psi(A) = \int \limits_{A}^{B} \boldsymbol{\sigma} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{\epsilon}$$

Abbiamo così dimostrato che l'esistenza del potenziale elastico implica l'esistenza del potenziale elastico complementare. Procedendo in maniera analoga è possibile dimostrare che l'esistenza del potenziale elastico complementare implica l'esistenza dal potenziale elastico.

====== Legge costitutiva elastico-lineare ======

Si definisce elastico-lineare un materiale per il quale il potenziale elastico è una funzione polinominiale di secondo grado delle deformazioni. Sotto tale ipotesi è quindi possibile sostituire la funzione potenziale con il suo sviluppo in serie di Mc-Laurin arrestato al secondo ordine, secondo la relazione

$$\Phi( \boldsymbol{\epsilon} ) = \Phi( \boldsymbol{0} ) + \nabla \Phi( \boldsymbol{0} ) \boldsymbol{\epsilon} + \frac{1}{2} \boldsymbol{\epsilon} \cdot H_{\Phi} \cdot \boldsymbol{\epsilon} $$

Considerando che ai nostri fini non è tanto importante conoscere il valore della funzione potenziale in un punto quanto la differenza che tale funzione assume tra due punti, possiamo assumere

$$\Phi( \boldsymbol{0} ) = 0$$

Analogamente sappiamo che

$$\nabla \Phi( \boldsymbol{\epsilon} ) = \boldsymbol{\sigma} (\boldsymbol{\epsilon}) $$

Per deformazioni elastiche nulle il nostro solido è in condizioni di riposo, pertanto anche le tensioni sono nulle. Possiamo allora scrivere

$$\Phi( \boldsymbol{\epsilon} ) = \frac{1}{2} \boldsymbol{\epsilon} \cdot H_{\Phi} \cdot \boldsymbol{\epsilon} $$

Da tale espressione ricaviamo

$$\boldsymbol{\sigma} = \nabla \Phi( \boldsymbol{\epsilon} ) = H_{\Phi} \cdot \boldsymbol{\epsilon} $$

che ci permette di esprimere il potenziale elastico di deformazione nella forma

$$\Phi( \boldsymbol{\epsilon} ) = \frac{1}{2} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\epsilon} $$

Abbiamo visto nel paragrafo precedente che

$$\left[ \boldsymbol{\sigma} (B) \cdot \boldsymbol{\epsilon} (B) - \boldsymbol{\sigma} (A) \cdot \boldsymbol{\epsilon} (A) \right] =
\left[ \Phi (B) - \Phi (A) \right] + \left[ \Psi (B) - \Psi (A) \right] $$

Considerando che il punto $A$ corrisponde al solido scarico ($\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\varepsilon} = \boldsymbol{0}$), applicando quanto visto sopra, la relazione diventa più semplicemente

$$\boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\epsilon}  =
\Phi (\boldsymbol{\epsilon}) + \Psi (\boldsymbol{\sigma}) = \frac{1}{2} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\epsilon} + \Psi (\boldsymbol{\sigma})$$

Sotto l'ipotesi di legge costitutiva elastico-lineare il potenziale elastico è uguale al potenziale elastico complementare

$$\Psi (\boldsymbol{\sigma}) = \Phi (\boldsymbol{\epsilon}) = \frac{1}{2} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\epsilon}$$
====== Materiale elastico-lineare-isotropo ======

Un materiale è definito elastico-lineare-isotropo se, individuato un certo stato deformativo/tensionale $\boldsymbol{\epsilon} / \boldsymbol{\sigma}$, i relativi potenziali elastici, rimangono uguali al variare dell'orientamento del sistema di riferimento.

Per formalizzare matematicamente tale definizione, orientiamo il sistema di riferimento lungo le direzioni principali della tensione. Il potenziale elastico complementare sarà dato da

$$
\Psi(\boldsymbol{\epsilon}) = 
\frac{1}{2} \left( \begin{matrix} \sigma_1 \\\\ \sigma_2 \\\\ \sigma_3 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{matrix} \right)^T 
\begin{bmatrix}H_{\Phi}\end{bmatrix}
\left( \begin{matrix} \sigma_1 \\\\ \sigma_2 \\\\ \sigma_3 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{matrix} \right) =
A_{1,1} \sigma_1^2 + A_{2,2} \sigma_2^2 + A_{3,3} \sigma_3^2 + A_{1,2} \sigma_1 \sigma_2 + A_{1,3} \sigma_1 \sigma_3 + A_{2,3} \sigma_2 \sigma_3 $$

in cui i termini $A_{i,j}$ sono funzione dei cofficienti dell'hessiano di $\Psi$.

Per la definizione sopra enunciata di materiale isotropo, dobbiamo poter scambiare i coefficienti $i$ e $j$ lasciando immutato il valore del potenziale. Si dovrà pertanto avere

$$A_{1,1} = A_{2,2} = A_{3,3}$$

e 

$$A_{1,2} = A_{1,3} = A_{2,3}$$

Si introducono quindi i coefficienti $E$ e $\nu$ tali per cui

$$\Psi = \frac{1}{2 \, E}  \left[ \sigma_1^2 + \sigma_2^2 + \sigma_3^2 - \nu \left( \sigma_1 \, \sigma_2 + \sigma_1 \, \sigma_3 + \sigma_2 \, \sigma_3 \right)  \right]$$

Dalla cui derivazione possiamo calcolare le deformazioni

$$ \boldsymbol{\epsilon} =
\left( \begin{matrix} \epsilon_1 \\\\ \epsilon_2 \\\\ \epsilon_3 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{matrix} \right) = 
\begin{bmatrix}
\frac{1}{E} & -\frac{\nu}{E} & -\frac{\nu}{E} & 0 & 0 & 0 \\\\
-\frac{\nu}{E} & \frac{1}{E} & -\frac{\nu}{E} & 0 & 0 & 0 \\\\
-\frac{\nu}{E} & -\frac{\nu}{E} & \frac{1}{E} & 0 & 0 & 0 \\\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\left( \begin{matrix} \sigma_1 \\\\ \sigma_2 \\\\ \sigma_3 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{matrix} \right) $$

da cui si nota incidentalmente che, in un solido elastico-lineare-isotropo, le direzioni principali della tensione sono anche direzioni principali della deformazione.
====== Il problema elastico ======

Impostiamo il problema elastico lineare in funzione dei vettori $\boldsymbol{\sigma}$ ed $\boldsymbol{\epsilon}$.

Le equazioni che governano il problema sono:

  * Le equazioni indefinite di equilibrio

$$\begin{matrix} 
\frac{\partial \sigma_{x}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{xz}}{\partial z}+f_x=0 \\\\
\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{y}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{yz}}{\partial z}+f_y=0 \\\\
\frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y}+\frac{\partial \sigma_{z}}{\partial z}+f_z=0
\end{matrix} $$

  * Le equazioni di congruenza
$$\begin{matrix}
\frac{\partial^2 \epsilon_x}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \epsilon_y}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 \gamma_{xy}}{\partial x \partial y} \\\\
\frac{\partial^2 \epsilon_x}{\partial z^2}+\frac{\partial^2 \epsilon_z}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 \gamma_{xz}}{\partial x \partial z} \\\\
\frac{\partial^2 \epsilon_y}{\partial z^2}+\frac{\partial^2 \epsilon_z}{\partial y^2}=\frac{\partial^2 \gamma_{yz}}{\partial y \partial z} \\\\
2 \frac{\partial^2 \epsilon_x}{\partial y \partial z} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial \gamma_{xz}}{\partial y}+\frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z}-\frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x}\right) \\\\
{2 \frac{\partial^2 \epsilon_y}{\partial x \partial y}={\partial}/{\partial y} \left({\partial \gamma_{yz}}/{\partial x}+{\partial \gamma_{xy}}/{\partial z}-{\partial \gamma_{xz}}/{\partial y} \right)} \\\\
2\frac{\partial^2 \epsilon_z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \gamma_{xz}}{\partial y} - \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z}\right)
\end{matrix}$$

A cui aggiungiamo le condizioni al contorno:

  * statiche

$$\begin{matrix}
\sigma_x n_x + \tau_{xy} n_y + \tau_{xz} n_z = p_x \\\\
\tau_{xy} n_x + \sigma_{y} n_y + \tau_{yz} n_z = p_y \\\\
\sigma_z n_x + \tau_{yz} n_y + \sigma_{z} n_z = p_z
\end{matrix}$$

  * e cinematiche

$$\boldsymbol{\eta} = \bar{\boldsymbol{\eta}}$$
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