scienza_costruzioni:il_solido_elastico
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Linea 12: | Linea 12: | ||
La funzione $\Phi (\boldsymbol{\epsilon})$ è detta **potenziale elastico di deformazione**. | La funzione $\Phi (\boldsymbol{\epsilon})$ è detta **potenziale elastico di deformazione**. | ||
- | Discorso analogo può essere impostato considerando | + | Analogamente possiamo analizzare |
$$ \boldsymbol{\epsilon} (\boldsymbol{\sigma}) = \nabla \Psi (\boldsymbol{\sigma}) $$ | $$ \boldsymbol{\epsilon} (\boldsymbol{\sigma}) = \nabla \Psi (\boldsymbol{\sigma}) $$ | ||
- | La funzione $\Psi ( \boldsymbol{\sigma} )$ è detta **potenziale elastico complementare**. | + | La funzione $\Psi \left( \boldsymbol{\sigma} |
- | Se $\boldsymbol{\sigma} (\boldsymbol{\epsilon})$ è un campo conservativo, | + | Se $\boldsymbol{\sigma} (\boldsymbol{\epsilon})$ è un campo conservativo, |
- | Dimostriamo | + | Dimostriamo la prima parte dell' |
+ | |||
+ | $$\exists \Phi (\boldsymbol{\epsilon}) | \boldsymbol{\sigma} (\boldsymbol{\epsilon}) = \nabla \Phi (\boldsymbol{\epsilon}) \Longrightarrow \exists \Psi (\boldsymbol{\sigma}) | \boldsymbol{\epsilon} (\boldsymbol{\sigma}) = \nabla \Psi (\boldsymbol{\sigma})$$ | ||
Consideriamo un qualsiasi processo di carico tra i punti $A$ e $B$ funzione della variabile $t$. | Consideriamo un qualsiasi processo di carico tra i punti $A$ e $B$ funzione della variabile $t$. | ||
Linea 26: | Linea 28: | ||
Dalle proprietà del prodotto di derivate abbiamo che | Dalle proprietà del prodotto di derivate abbiamo che | ||
- | $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \boldsymbol{\sigma} \left(\boldsymbol{\epsilon}(t)\right) \cdot \boldsymbol{\epsilon} \left(\boldsymbol{\sigma}(t)\right) \right) = | + | $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \boldsymbol{\sigma} \left(\boldsymbol{\epsilon}(t)\right) \cdot \boldsymbol{\epsilon} (t) \right) = |
\sum \limits_{i=1}^{6} \left( \epsilon_i \frac{\partial \sigma_i}{\partial \epsilon_i } \frac{\mathrm{d} \epsilon_i}{\mathrm{d}t} + | \sum \limits_{i=1}^{6} \left( \epsilon_i \frac{\partial \sigma_i}{\partial \epsilon_i } \frac{\mathrm{d} \epsilon_i}{\mathrm{d}t} + | ||
- | \sigma_i | + | \sigma_i \frac{\mathrm{d} \epsilon_i}{\mathrm{d}t } \right)$$ |
Integrando tra i punti $A$ e $B$ | Integrando tra i punti $A$ e $B$ | ||
Linea 47: | Linea 49: | ||
\left[ \Phi (B) - \Phi (A) \right]$$ | \left[ \Phi (B) - \Phi (A) \right]$$ | ||
- | che ci permette di definire, a meno di una costante, il potenziale elastico complementare | + | che ci permette di definire, a meno di una costante, il potenziale elastico complementare |
$$\Psi(B) - \Psi(A) = \int \limits_{A}^{B} \boldsymbol{\sigma} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{\epsilon}$$ | $$\Psi(B) - \Psi(A) = \int \limits_{A}^{B} \boldsymbol{\sigma} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{\epsilon}$$ | ||
- | Abbiamo così dimostrato l' | + | Abbiamo così dimostrato |
- | ====== | + | ====== |
- | Si definisce elastico-lineare un materiale per il quale il potenziale elastico è una funzione polinominiale di secondo grado delle deformazioni. Sotto tale ipotesi è quindi possibile sostituire la funzione potenziale con il suo sviluppo in serie di Mc-laurin | + | Si definisce elastico-lineare un materiale per il quale il potenziale elastico è una funzione polinominiale di secondo grado delle deformazioni. Sotto tale ipotesi è quindi possibile sostituire la funzione potenziale con il suo sviluppo in serie di Mc-Laurin |
- | $$\Psi( \boldsymbol{\epsilon} ) = \Psi( \boldsymbol{0} ) + \nabla \Psi( \boldsymbol{0} ) \boldsymbol{\epsilon} + \frac{1}{2} \boldsymbol{\epsilon} \cdot H_{\Psi} \cdot \boldsymbol{\epsilon} $$ | + | $$\Phi( \boldsymbol{\epsilon} ) = \Phi( \boldsymbol{0} ) + \nabla \Phi( \boldsymbol{0} ) \boldsymbol{\epsilon} + \frac{1}{2} \boldsymbol{\epsilon} \cdot H_{\Phi} \cdot \boldsymbol{\epsilon} $$ |
Considerando che ai nostri fini non è tanto importante conoscere il valore della funzione potenziale in un punto quanto la differenza che tale funzione assume tra due punti, possiamo assumere | Considerando che ai nostri fini non è tanto importante conoscere il valore della funzione potenziale in un punto quanto la differenza che tale funzione assume tra due punti, possiamo assumere | ||
- | $$\Psi( \boldsymbol{0} ) = 0$$ | + | $$\Phi( \boldsymbol{0} ) = 0$$ |
Analogamente sappiamo che | Analogamente sappiamo che | ||
- | $$\nabla \Psi( \boldsymbol{\epsilon} ) = \boldsymbol{\sigma} (\boldsymbol{\epsilon}) $$ | + | $$\nabla \Phi( \boldsymbol{\epsilon} ) = \boldsymbol{\sigma} (\boldsymbol{\epsilon}) $$ |
- | + | ||
- | Per deformazioni elastiche nulle il nostro solido è in condizioni di riposo, pertanto anche le tensioni sono nulle. | + | |
- | Pertanto possiamo | + | Per deformazioni elastiche nulle il nostro solido è in condizioni di riposo, pertanto anche le tensioni sono nulle. Possiamo allora |
- | $$\Psi( \boldsymbol{\epsilon} ) = \frac{1}{2} \boldsymbol{\epsilon} \cdot H_{\Psi} \cdot \boldsymbol{\epsilon} $$ | + | $$\Phi( \boldsymbol{\epsilon} ) = \frac{1}{2} \boldsymbol{\epsilon} \cdot H_{\Phi} \cdot \boldsymbol{\epsilon} $$ |
- | Da tale espressione | + | Da tale espressione |
- | $$\boldsymbol{\sigma} = \nabla \Psi( \boldsymbol{\epsilon} ) = H_{\Psi} \cdot \boldsymbol{\epsilon} $$ | + | $$\boldsymbol{\sigma} = \nabla \Phi( \boldsymbol{\epsilon} ) = H_{\Phi} \cdot \boldsymbol{\epsilon} $$ |
- | Pertanto possiamo | + | che ci permette di esprimere il potenziale elastico di deformazione nella forma |
- | $$\Psi( \boldsymbol{\epsilon} ) = \frac{1}{2} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\epsilon} $$ | + | $$\Phi( \boldsymbol{\epsilon} ) = \frac{1}{2} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\epsilon} $$ |
Abbiamo visto nel paragrafo precedente che | Abbiamo visto nel paragrafo precedente che | ||
Linea 86: | Linea 86: | ||
\left[ \Phi (B) - \Phi (A) \right] + \left[ \Psi (B) - \Psi (A) \right] $$ | \left[ \Phi (B) - \Phi (A) \right] + \left[ \Psi (B) - \Psi (A) \right] $$ | ||
- | Sotto le ipotesi ora introdotte quest' | + | Considerando che il punto $A$ corrisponde al solido scarico ($\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\varepsilon} = \boldsymbol{0}$), |
$$\boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\epsilon} | $$\boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\epsilon} | ||
\Phi (\boldsymbol{\epsilon}) + \Psi (\boldsymbol{\sigma}) = \frac{1}{2} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\epsilon} + \Psi (\boldsymbol{\sigma})$$ | \Phi (\boldsymbol{\epsilon}) + \Psi (\boldsymbol{\sigma}) = \frac{1}{2} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\epsilon} + \Psi (\boldsymbol{\sigma})$$ | ||
- | da cui infine ricaviamo che, sotto l' | + | Sotto l' |
$$\Psi (\boldsymbol{\sigma}) = \Phi (\boldsymbol{\epsilon}) = \frac{1}{2} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\epsilon}$$ | $$\Psi (\boldsymbol{\sigma}) = \Phi (\boldsymbol{\epsilon}) = \frac{1}{2} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\epsilon}$$ |
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