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@@ Linea 1: / Linea 1: @@
-====== Il solido elastico ======
-====== Materiale elastico ======
-Chiamiamo legge costitutiva di un materiale la relazione che lega il vettore $\epsilon$ al vettore $\sigma$.
-Diremo che un certo materiale è dotato di legge costitutiva di tipo **elastico** se la relazione in questione è un [[matematica:campi conservativi|campo conservativo]], dovrà quindi essitere una funzione $\Phi (\boldsymbol{\epsilon})$ che rispetti la relazione
-$$\boldsymbol{\sigma} (\boldsymbol{\epsilon}) = \nabla \Phi (\boldsymbol{\epsilon})$$
-La funzione $\Phi (\boldsymbol{\epsilon})$ è detta **potenziale elastico di deformazione**.
-Discorso analogo può essere impostato considerando la relazione che lega il vettore $\boldsymbol{\sigma}$ al vettore $\boldsymbol{\epsilon}$ ($\boldsymbol{\sigma}$ è la variabile indipendente). Anche stavolta dovremo supporre l'esistenza di una funzione $\Psi ( \boldsymbol{\sigma } )$
-$$ \boldsymbol{\epsilon} (\boldsymbol{\sigma}) = \nabla \Psi (\boldsymbol{\sigma}) $$
-La funzione $\Psi ( \boldsymbol{\sigma} )$ è detta **potenziale elastico complementare**.
-Se $\boldsymbol{\sigma} (\boldsymbol{\epsilon})$ è un campo conservativo, anche $\boldsymbol{\epsilon} (\boldsymbol{\sigma})$ lo è, e viceversa. Altrimenti detto, l'esistenza del potenziale elastico di deformazione implica l'esistenza del potenziale elastico complementare, e viceversa.
-Dimostriamo che la prima parte dell'asserto $ \left( \exists \Phi (\boldsymbol{\epsilon}) | \boldsymbol{\sigma} (\boldsymbol{\epsilon}) = \nabla \Phi (\boldsymbol{\epsilon}) \Longrightarrow \exists \Psi (\boldsymbol{\sigma}) | \boldsymbol{\epsilon} (\boldsymbol{\sigma}) = \nabla \Psi (\boldsymbol{\sigma}) \right)$; analogamente si dimostra la relazione inversa.
-Consideriamo un qualsiasi processo di carico tra i punti $A$ e $B$ funzione della variabile $t$.
-Dalle proprietà del prodotto di derivate abbiamo che
-$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \boldsymbol{\sigma} \left(\boldsymbol{\epsilon}(t)\right) \cdot \boldsymbol{\epsilon} \left(\boldsymbol{\sigma}(t)\right) \right) =
-\sum \limits_{i=1}^{6} \left( \epsilon_i \frac{\partial \sigma_i}{\partial \epsilon_i } \frac{\mathrm{d} \epsilon_i}{\mathrm{d}t} +
-\sigma_i \frac{\partial \epsilon_i}{\partial \sigma_i } \frac{\mathrm{d} \sigma_i}{\mathrm{d}t} \right)$$
-Integrando tra i punti $A$ e $B$
-$$\int \limits_{A}^{B} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\epsilon} \right) \, \mathrm{d}t =
-\int \limits_{A}^{B} \boldsymbol{\epsilon} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{\sigma} +
-\int \limits_{A}^{B} \boldsymbol{\sigma} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{\epsilon} $$
-Applicando le proprietà dei campi conservativi, quest'ultima diventa
-$$\left[ \boldsymbol{\sigma} (B) \cdot \boldsymbol{\epsilon} (B) - \boldsymbol{\sigma} (A) \cdot \boldsymbol{\epsilon} (A) \right] =
-\left[ \Phi (B) - \Phi (A) \right] + \int \limits_{A}^{B} \boldsymbol{\sigma} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{\epsilon}$$
-da cui
-$$\int \limits_{A}^{B} \boldsymbol{\sigma} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{\epsilon} =
-\left[ \boldsymbol{\sigma} (B) \cdot \boldsymbol{\epsilon} (B) - \boldsymbol{\sigma} (A) \cdot \boldsymbol{\epsilon} (A) \right] -
-\left[ \Phi (B) - \Phi (A) \right]$$
-che ci permette di definire, a meno di una costante, il potenziale elastico complementare ricordando che, per le proprietà dei [[matematica:campi conservativi|campi conservativi]],
-$$\Psi(B) - \Psi(A) = \int \limits_{A}^{B} \boldsymbol{\sigma} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{\epsilon}$$
-Abbiamo così dimostrato l'esistenza del potenziale elastico complementare.
-====== Materiale elastico-lineare ======
-Si definisce elastico-lineare un materiale per il quale il potenziale elastico è una funzione polinominiale di secondo grado delle deformazioni. Sotto tale ipotesi è quindi possibile sostituire la funzione potenziale con il suo sviluppo in serie di Mc-laurin arrestato al secondo ordine, secondo la relazione
-$$\Psi( \boldsymbol{\epsilon} ) = \Psi( \boldsymbol{0} ) + \nabla \Psi( \boldsymbol{0} ) \boldsymbol{\epsilon} + \frac{1}{2} \boldsymbol{\epsilon} \cdot H_{\Psi} \cdot \boldsymbol{\epsilon} $$
-Considerando che ai nostri fini non è tanto importante conoscere il valore della funzione potenziale in un punto quanto la differenza che tale funzione assume tra due punti, possiamo assumere
-$$\Psi( \boldsymbol{0} ) = 0$$
-Analogamente sappiamo che
-$$\nabla \Psi( \boldsymbol{\epsilon} ) = \boldsymbol{\sigma} (\boldsymbol{\epsilon}) $$
-Per deformazioni elastiche nulle il nostro solido è in condizioni di riposo, pertanto anche le tensioni sono nulle.
-Pertanto possiamo scrivere
-$$\Psi( \boldsymbol{\epsilon} ) = \frac{1}{2} \boldsymbol{\epsilon} \cdot H_{\Psi} \cdot \boldsymbol{\epsilon} $$
-Da tale espressione possiamo ricavare
-$$\boldsymbol{\sigma} = \nabla \Psi( \boldsymbol{\epsilon} ) = H_{\Psi} \cdot \boldsymbol{\epsilon} $$
-Pertanto possiamo esprimere il potenziale elastico di deformazione nella forma
-$$\Psi( \boldsymbol{\epsilon} ) = \frac{1}{2} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\epsilon} $$
-Abbiamo visto nel paragrafo precedente che
-$$\left[ \boldsymbol{\sigma} (B) \cdot \boldsymbol{\epsilon} (B) - \boldsymbol{\sigma} (A) \cdot \boldsymbol{\epsilon} (A) \right] =
-\left[ \Phi (B) - \Phi (A) \right] + \left[ \Psi (B) - \Psi (A) \right] $$
-Sotto le ipotesi ora introdotte quest'ultima diventa più semplicemente
-$$\boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\epsilon}  =
-\Phi (\boldsymbol{\epsilon}) + \Psi (\boldsymbol{\sigma}) = \frac{1}{2} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\epsilon} + \Psi (\boldsymbol{\sigma})$$
-da cui infine ricaviamo che, sotto l'ipotesi di legge costitutiva elastico-lineare,
-$$\Psi (\boldsymbol{\sigma}) = \Phi (\boldsymbol{\epsilon}) = \frac{1}{2} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\epsilon}$$
-====== Materiale elastico-lineare-isotropo ======
-Un materiale è definito elastico-lineare-isotropo se, individuato un certo stato deformativo/tensionale $\boldsymbol{\epsilon} / \boldsymbol{\sigma}$, i relativi potenziali elastici, rimangono uguali al variare dell'orientamento del sistema di riferimento.
-Per formalizzare matematicamente tale definizione, orientiamo il sistema di riferimento lungo le direzioni principali della tensione. Il potenziale elastico complementare sarà dato da
-$$
-\Psi(\boldsymbol{\epsilon}) =
-\frac{1}{2} \left( \begin{matrix} \sigma_1 \\\\ \sigma_2 \\\\ \sigma_3 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{matrix} \right)^T
-\begin{bmatrix}H_{\Phi}\end{bmatrix}
-\left( \begin{matrix} \sigma_1 \\\\ \sigma_2 \\\\ \sigma_3 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{matrix} \right) =
-A_{1,1} \sigma_1^2 + A_{2,2} \sigma_2^2 + A_{3,3} \sigma_3^2 + A_{1,2} \sigma_1 \sigma_2 + A_{1,3} \sigma_1 \sigma_3 + A_{2,3} \sigma_2 \sigma_3 $$
-in cui i termini $A_{i,j}$ sono funzione dei cofficienti dell'hessiano di $\Psi$.
-Per la definizione sopra enunciata di materiale isotropo, dobbiamo poter scambiare i coefficienti $i$ e $j$ lasciando immutato il valore del potenziale. Si dovrà pertanto avere
-$$A_{1,1} = A_{2,2} = A_{3,3}$$
-e
-$$A_{1,2} = A_{1,3} = A_{2,3}$$
-Si introducono quindi i coefficienti $E$ e $\nu$ tali per cui
-$$\Psi = \frac{1}{2 \, E}  \left[ \sigma_1^2 + \sigma_2^2 + \sigma_3^2 - \nu \left( \sigma_1 \, \sigma_2 + \sigma_1 \, \sigma_3 + \sigma_2 \, \sigma_3 \right)  \right]$$
-Dalla cui derivazione possiamo calcolare le deformazioni
-$$ \boldsymbol{\epsilon} =
-\left( \begin{matrix} \epsilon_1 \\\\ \epsilon_2 \\\\ \epsilon_3 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{matrix} \right) =
-\begin{bmatrix}
-\frac{1}{E} & -\frac{\nu}{E} & -\frac{\nu}{E} & 0 & 0 & 0 \\\\
--\frac{\nu}{E} & \frac{1}{E} & -\frac{\nu}{E} & 0 & 0 & 0 \\\\
--\frac{\nu}{E} & -\frac{\nu}{E} & \frac{1}{E} & 0 & 0 & 0 \\\\
-& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\
-& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\
-& 0 & 0 & 0 & 0 & 0
-\end{bmatrix}
-\left( \begin{matrix} \sigma_1 \\\\ \sigma_2 \\\\ \sigma_3 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{matrix} \right) $$
-da cui si nota incidentalmente che, in un solido elastico-lineare-isotropo, le direzioni principali della tensione sono anche direzioni principali della deformazione.
-====== Il problema elastico ======
-Impostiamo il problema elastico lineare in funzione dei vettori $\boldsymbol{\sigma}$ ed $\boldsymbol{\epsilon}$.
-Le equazioni che governano il problema sono:
-  * Le equazioni indefinite di equilibrio
-$$\begin{matrix}
-\frac{\partial \sigma_{x}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{xz}}{\partial z}+f_x=0 \\\\
-\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{y}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{yz}}{\partial z}+f_y=0 \\\\
-\frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y}+\frac{\partial \sigma_{z}}{\partial z}+f_z=0
-\end{matrix} $$
-  * Le equazioni di congruenza
-$$\begin{matrix}
-\frac{\partial^2 \epsilon_x}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \epsilon_y}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 \gamma_{xy}}{\partial x \partial y} \\\\
-\frac{\partial^2 \epsilon_x}{\partial z^2}+\frac{\partial^2 \epsilon_z}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 \gamma_{xz}}{\partial x \partial z} \\\\
-\frac{\partial^2 \epsilon_y}{\partial z^2}+\frac{\partial^2 \epsilon_z}{\partial y^2}=\frac{\partial^2 \gamma_{yz}}{\partial y \partial z} \\\\
-\frac{\partial^2 \epsilon_x}{\partial y \partial z} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial \gamma_{xz}}{\partial y}+\frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z}-\frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x}\right) \\\\
-{2 \frac{\partial^2 \epsilon_y}{\partial x \partial y}={\partial}/{\partial y} \left({\partial \gamma_{yz}}/{\partial x}+{\partial \gamma_{xy}}/{\partial z}-{\partial \gamma_{xz}}/{\partial y} \right)} \\\\
-\frac{\partial^2 \epsilon_z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \gamma_{xz}}{\partial y} - \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z}\right)
-\end{matrix}$$
-A cui aggiungiamo le condizioni al contorno:
-  * statiche
-$$\begin{matrix}
-\sigma_x n_x + \tau_{xy} n_y + \tau_{xz} n_z = p_x \\\\
-\tau_{xy} n_x + \sigma_{y} n_y + \tau_{yz} n_z = p_y \\\\
-\sigma_z n_x + \tau_{yz} n_y + \sigma_{z} n_z = p_z
-\end{matrix}$$
-  * e cinematiche
-$$\boldsymbol{\eta} = \bar{\boldsymbol{\eta}}$$

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