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scienza_costruzioni:il_problema_di_saint_venant

Il problema di Saint Venant

Le ipotesi

Il De Saint Venant analizza il problema elastico-lineare introducendo alcune ipotesi semplificative.

  1. Il solido analizzato è un solido cilindrico, ottenuto dalla traslazione di una sezione secondo una direzione perpendicolare al piano della stessa; le sezioni iniziale e finale sono dette basi ($S_0$ e $S_l$).
  2. Il solido è composto da un materiale elastico lineare isotropo di cui conosciamo $E$, $G$ e $\nu$
  3. Il solido non è soggetto a forze di volume ($\mathbf{r}$ = $\mathbf{0}$).
  4. Il solido è soggetto a forze esterne di superficie solo sulle due basi; sulla superficie esterna ($S_m$) non agiscono quindi forze esterne
  5. L'effettiva distribuzione delle forze esterne sulle basi non è influente Ai fini dello stato tensionale e deformativo interno al solido è imposrtante conoscere la sola risultante delle forze esterne applicate sulle basi del solido, e non la loro effettiva distribuzione sulle stesse; sperimentalmente si verifica che quest' ipotesi è accettabile solo se si analizza lo stato tensionale del solido ad una distanza dalle basi maggiore di 2-3 volte la dimensione massima della sezione stessa.
  6. Scegliamo il sistema di riferimento di modo che gli assi $Y$ e $Z$ coincidano con gli assi centrali di inerzia di una delle basi; l'asse $X$ sarà pertanto ottenuto dalla traslazione del baricentro della base lungo la normale al piano della sezione; rispetto agli assi $Y$ e $Z$ i momenti statici ed il momento centrifugo della sezione devono pertanto essere nulli; questa ipotesi non è significativa dal punto di vista fisico, ma permette di semplificare notevolmente le equazioni che descrivono la soluzione del problema.

Soluzione del problema

Approccio cinematico

Non essendo significativa la distribuzione delle forze esterne sulle basi, ma solo la loro risultante, si analizzano la quattro diverse casistiche di risultanti applicabili:

  • forza normale al piano della sezione: sforzo normale
  • forza giacente nel piano della sezione: taglio
  • momento normale al piano della sezione: momento torcente
  • momento giacente nel piano della sezione: momento flettente

Sforzo normale, momento torcente e flettente riceveranno una soluzione rigorosa, rispettosa pertanto sia delle equazioni indefinite di equilibrio che delle equazioni di congruenza. Il taglio sarà risolta invece in maniera approssimata, trascurando il rispetto delle equazioni di congruenza.

Per la soluzione rigorosa dei tre casi sopra indicati si suppongono un campo tensionale ed un campo deformativo legati tra di loro dalla legge costitutiva propria dei materiali elastico, lineari, isotropi. Se questi campi rispettano le equazioni alla base del problema (equazioni indefinite di equilibrio ed equazioni di congruenza, il teorema di Kirchoff ci assicura che quella trovata è l'unica soluzione del problema.

Approccio statico

Casi di sollecitazione semplice


scienza_costruzioni/il_problema_di_saint_venant.txt · Ultima modifica: 2014/04/30 15:22 da mickele

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