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scienza_costruzioni:geometria_delle_aree_formule

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Linea 1: Linea 1:
 ====== Geometria delle aree: formule applicative ====== ====== Geometria delle aree: formule applicative ======
  
-===== Sezioni compatte =====+  * [[scienza_costruzioni:geometria_delle_aree_formule:sezioni_compatte|Sezioni compatte]] 
 +  * [[scienza_costruzioni:geometria_delle_aree_formule:sezioni_sottili|Sezioni sottili]]
  
-==== Sezione rettangolare ==== 
- 
-Si consideri una sezione rettangolare di base $b$ e altezza $h$. Ovviamente l'area è data dalla relazione 
- 
-$$A= b \cdot h$$ 
- 
-Ponendo l'origine del sistema di riferimento nel baricentro del rettangolo, e orientando l'asse $x$ parallelamente alla base, abbiamo che 
- 
-$$I_{G,xx} = \frac{b \, h^3}{12}$$ 
-$$I_{G,yy} = \frac{b^3 \, h}{12}$$ 
-$$I_{G,xy} = 0$$ 
- 
- 
-==== Settore di corona circolare ==== 
- 
-Si consideri una corona circolare di raggio esterno $R_e$ e raggio interno $R_i$. Di tale corona analizziamo il settore delimitato dai due raggi individuati dagli angoli $\alpha_i$ e $\alpha_f$ fromati con l'asse y. 
- 
-Poniamo l'origine del nostro sistema di riferimento nel centro della corona circolare. 
- 
-Per comodità di notazione poniamo inoltre 
- 
-$$ \Delta \alpha = \alpha_f - \alpha_i$$ 
- 
-Abbiamo quindi 
- 
-$$A = \frac{\Delta \alpha}{2} \left( R_e^2 - R_i^2 \right)$$ 
- 
-$$S_x = - \frac{\cos \alpha_f - \cos \alpha_i}{3} \left( R_e^3 - R_i^3 \right)$$ 
- 
-$$S_y = \frac{\sin \alpha_f - \sin \alpha_i}{3} \left( R_e^3 - R_i^3 \right)$$ 
- 
-$$I_{xx} = \left[ \frac{\Delta \alpha}{2} - \frac{\sin(2\alpha_f) - \sin(2\alpha_i) }{4} \right] \frac{R_e^4 - R_i^4}{4}$$ 
- 
-$$I_{yy} = \left[ \frac{\Delta \alpha}{2} + \frac{\sin(2\alpha_f) - \sin(2\alpha_i) }{4} \right] \frac{R_e^4 - R_i^4}{4}$$ 
- 
-$$I_{xy} = - \frac{\cos(2\alpha_f) - \cos(2\alpha_i) }{4} \frac{R_e^4 - R_i^4}{4}$$ 
- 
-Nel caso la nostra sezione sia un cerchio di raggio $r$ o diametro $d$, le formule appena viste diventano 
- 
-$$A = \pi r^2 = \pi \frac{d^2}{4}$$ 
- 
-$$I_{xx} = I_{yy} = \pi \frac{r^4}{4} = \pi \frac{d^4}{64}$$ 
- 
-$$S_{x} = S_{y} = I_{xy} = 0$$ 
- 
-==== Poligonale chiusa ==== 
- 
-Consideriamo una sezione racchiusa dai segmenti congiungenti i punti $P_i$ ci coordinate $\left(x_i, y_i \right)$. Facciamo, per comodità di calcolo, le seguenti posizioni 
- 
-$$\Delta x_i = x_{i+1} - x_{i}$$ 
- 
-$$\Delta y_i = y_{i+1} - y_{i}$$ 
- 
-Sotto tali ipotesi abbiamo 
- 
-$$A = \sum \limits_i A_{i}$$ 
- 
-$$S_y = \sum \limits_i S_{y,i}$$ 
- 
-$$S_x = \sum \limits_i S_{x,i}$$ 
- 
-$$I_{yy} = \sum \limits_i I_{yy,i}$$ 
- 
-$$I_{xx} = \sum \limits_i I_{xx,i}$$ 
- 
-$$I_{xy} = \sum \limits_i I_{xy,i}$$ 
- 
-$$\iint \limits_{S} x^3 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \sum \limits_i \iint \limits_{Si} x^3 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y$$ 
- 
-$$\iint \limits_{S} y^3 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \sum \limits_i \iint \limits_{Si} y^3 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y$$ 
- 
-$$\iint \limits_{S} x^2\, y \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \sum \limits_i \iint \limits_{Si} x^2 \, y \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y$$ 
- 
-$$\iint \limits_{S} x\, y^2 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \sum \limits_i \iint \limits_{Si} x \, y^2 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y$$ 
- 
-Dobbiamo calcolare gli integrali sopra riportati in tutti i tratti $i$; per farlo osserviamo che sono integrali del tipo 
- 
-$$\iint \limits_S x^\alpha y^\beta \; \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \int \limits_{x1}^{x2} x^ \alpha \left( \int \limits_{0}^{y(x)} y^\beta \; \mathrm{d}y\right) \; \mathrm{d}x $$ 
- 
-Sostituiamo la variabile $x$ con la variabile $\xi = \left( x - x_i \right) / \Delta x_i \rightarrow x = x_i + \Delta x_i \, \xi$ con $0 \le \xi \le 1 $. 
- 
-L'integrale diventa 
- 
-$$\int \limits_{0}^{1} \left( x_i + \Delta x_i \, \xi \right)^\alpha \left( \int \limits_{0}^{y_i + \Delta y_i \, \xi} y^\beta \; \mathrm{d}y\right) \Delta x_i \; \mathrm{d}\xi = \frac{\Delta x_i }{\beta + 1} \int \limits_{0}^{1} \left( x_i + \Delta x_i \, \xi \right)^\alpha \left( y_i + \Delta y_i \, \xi \right)^{\beta + 1} \, \; \mathrm{d}\xi $$ 
- 
-L'area della porzione i-esima è data da 
- 
-$$ \begin{align} 
-A_i & = \iint \limits_{Si} \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \Delta x_i \int \limits_{0}^{1} \left( y_i + \Delta y_i \, \xi \right) \; \mathrm{d} \xi = \\ 
-& = \Delta x_i \left( y_i + \frac{\Delta y_i}{2} \right) \\ 
-& = \frac{ x_{i+1} - x_{i} }{2} \left( y_{i+1} + y_{i} \right) 
-\end{align} $$ 
- 
-I momenti statici sono dati da 
- 
-$$ \begin{align} 
-S_{y,i} & = \iint \limits_{Si} x \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y =  \Delta x_i \int \limits_{0}^{1} \left( x_i + \Delta x_i \xi \right) \left( y_i + \Delta y_i \, \xi \right) \; \mathrm{d} \xi = \\ 
-& = \Delta x_i \left( x_i \, y_i + \frac{x_i \, \Delta y_i + y_i \, \Delta x_i}{2} + \frac{\Delta x_i \, \Delta y_i }{3} \right)  = \\ 
-& = \frac{x_{i+1} - x_{i}}{6} \left[ x_i \left( 2 y_i + y_{i+1} \right) + x_{i+1} \left( y_i + 2 y_{i+1} \right) \right] 
-\end{align} $$ 
- 
-$$ \begin{align} 
-S_{x,i} & = \iint \limits_{Si} y \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \frac{\Delta x_i}{2} \int \limits_{0}^{1} \left( y_i + \Delta y_i \, \xi \right)^2 \; \mathrm{d} \xi = \\ 
-& = \frac{\Delta x_{i}}{2} \left( y_i^2 + y_i \, \Delta y_i + \frac{\Delta y_i^2 }{3} \right) \\ 
-& = \frac{x_{i+1} - x_i}{6} \left( y_{i+1}^2+y_{i+1} \cdot y_{i} + y_{i}^2 \right) 
-\end{align} $$ 
- 
-I momenti di inerzia  
- 
-$$\begin{align} 
-I_{yy,i} & = \iint \limits_{Si} x^2 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \Delta x_i  \int \limits_{0}^{1} \left( x_i + \Delta x_i \xi \right)^2 \left( y_i + \Delta y_i \, \xi \right) \; \mathrm{d} \xi = \\ 
-& = \Delta x_i \left( x_i^2 \, y_i + x_i \, y_i \, \Delta x_i + \frac{y_i \, \Delta x_i^2}{3} + \frac{x_i^2 \, \Delta y_i}{2} + \frac{2 x_i \, \Delta x_i \, \Delta y_i }{3} + \frac{\Delta x_i^2 \Delta y_i}{4} \right) = \\ 
-& = \frac{x_{i+1} - x_i}{12} \left[ x_i^2 \left( 3 y_i + y_{i+1} \right) + 2 x_i \, x_{i+1} \left( y_i + y_{i+1} \right) + x_{i+1}^2 \left( y_i + 3 y_{i+1} \right) \right] 
-\end{align}$$ 
- 
-$$\begin{align} 
-I_{xx,i} & = \iint \limits_{Si} y^2 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \frac{\Delta x_i }{3} \int \limits_{0}^{1} \left( y_i + \Delta y_i \, \xi \right)^3 \; \mathrm{d} \xi = \\ 
-& = \frac{\Delta x_i}{3} \left( y_i^3 + \frac{3}{2} y_i^2 \, \Delta y_i + y_i \, \Delta y_i^2 + \frac{\Delta y_i^3 }{4} \right) = \\ 
-& = \frac{x_{i+1} - x_i}{12} \left( y_{i+1}^3 + y_{i+1}^2 y_i + y_{i+1} y_{i}^2 + y_{i}^3  \right)  
-\end{align}$$ 
- 
-$$ \begin{align} 
-I_{xy,i} & = \iint \limits_{Si} x \, y \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \frac{ \Delta x_i}{2} \int \limits_{0}^{1} \left( x_i + \Delta x_i \xi \right) \left( y_i + \Delta y_i \, \xi \right)^2 \; \mathrm{d} \xi = \\ 
-& = \frac{\Delta x_i}{2} \left( x_i \, y_i^2 + x_i \, y_i \, \Delta y_i + \frac{x_i \, \Delta y_i^2}{3} + \frac{y_i^2 \, \Delta x_i}{2} + \frac{2 y_i \, \Delta x_i \, \Delta y_i}{3} + \frac{\Delta x_i \, \Delta y_i^2}{4} \right) = \\ 
-& = \frac{x_{i+1} - x_i}{24} \left[ y_{i}^2 \left( 3x_{i} + x_{i+1} \right) + 2 y_{i} y_{i+1} \left(x_{i} + x_{i+1} \right) + y_{i+1}^2 \left( 3 x_{i+1} + x_{i} \right) \right] 
-\end{align}$$ 
- 
- 
-E infine i momenti del terzo ordine 
- 
-$$ \begin{align} 
-\iint \limits_{Si} x^3 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y & = \Delta x_i \int \limits_{0}^{1} \left( x_i + \Delta x_i \, \xi \right)^3 \left( y_i + \Delta y_i \, \xi \right) \; \mathrm{d} \xi = \\ 
-& = \Delta x_{i} \left( x_i^3 \, y_i + \frac{3 x_i^2 \, y_i \, \Delta x_i }{2} + x_i \, y_i \, \Delta x_i ^2 + \frac{y_i \, \Delta x_i^3}{4} + \frac{x_i^3 \, \Delta y_i }{2} + x_i^2 \, \Delta x_i \Delta y_i + \frac{3 \Delta x_i^2 \, \Delta y_i}{4} + \frac{\Delta x_i^3 \, \Delta y_i}{5} \right) = \\ 
-& = \frac{x_{i+1} - x_i}{20} \left[ x_i^2 \, x_{i+1} \left( 3 y_{i} + 2 y_{i+1} \right) + x_i^3 \left( y_{i+1} + 4 y_{i} \right) + x_{i+1}^3 \left( 4 y_{i+1} + y_i \right) + x_{i} \, x_{i+1}^2 \left( 3 y_{i+1} + 2 y_{i} \right) \right] 
-\end{align} $$ 
- 
-$$ \begin{align} 
-\iint \limits_{Si} y^3 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y & = \frac{\Delta x_i }{4} \int \limits_{0}^{1} \left( y_i + \Delta y_i \, \xi \right)^4 \; \mathrm{d} \xi = \\ 
-& = \frac{\Delta x_i }{4} \left( y_i^4 + 2 y_i^3 \, \Delta y_i + 2 y_i^2 \, \Delta y_i^2 + y_i \, \Delta y_i^3 + \frac{\Delta y_i^4}{3} \right) = \\ 
-& = \frac{x_{i+1} - x_i}{20} \left( y_{i+1}^4 + y_{i+1}^3 y_{i} + y_{i+1}^2 y_{i}^2 + y_{i+1} y_{i}^3 + y_{i}^4  \right) 
-\end{align} $$ 
- 
-$$ \begin{align} 
-\iint \limits_{Si} x^2 \, y \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y & = \frac{\Delta x_i}{2} \int \limits_{0}^{1} \left( x_i + \Delta x_i \, \xi \right)^2 \left( y_i + \Delta y_i \, \xi \right)^2 \; \mathrm{d} \xi = \\ 
-& = \frac{\Delta x_i}{2} \left( x_i^2 \, y_i^2 + x_i \, y_i^2 \, \Delta x_i + \frac{y_i^2 \, \Delta x_i }{3} + x_i^2 \, y_i \, \Delta y_i + \frac{4 x_i \, y_i \, \Delta x_i \Delta y_i }{3} + \frac{y_i \, \Delta x_i^2 \, \Delta y_i }{2} + \frac{x_i^2 \, \Delta y_i^2}{3} + \frac{x_i \, \Delta x_i \, \Delta y_i^2 }{2} + \frac{\Delta x_i^2 \, \Delta y_i^2 }{5} \right) = \\ 
-& = \frac{x_{i+1} - x_i}{60} \left[ x_i^2 \left( 6 y_{i}^2 + 3 y_i \, y_{i+1} + y_{i+1}^2 \right) + x_i \, x_{i+1} \left( 3  y_i^2 + 4 y_i \, y_{i+1} + 3 y_{i+1}^2  \right) + x_{i+1}^2 \left( 6 y_{i+1}^2 + 3 y_i \, y_{i+1} + y_i^2 \right) \right] 
-\end{align} $$ 
- 
-$$ \begin{align} 
-\iint \limits_{Si} x \, y^2 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y & = \frac{\Delta x_i}{3} \int \limits_{0}^{1} \left( x_i + \Delta x_i \, \xi \right) \left( y_i + \Delta y_i \, \xi \right)^3 \; \mathrm{d} \xi = \\ 
-& = \frac{\Delta x_i}{3} \left( y_i^3 \, x_i + \frac{3 \Delta y_i \, x_i \, y_i^2}{2} + y_i^2 \Delta x_i \, \Delta y_i + \frac{y_i^3 \, \Delta x_i }{2} + \Delta y_i^2 \, x_i \, y_i + \frac{3 y_i \, \Delta x_i \, \Delta y_i^2}{4} + \frac{\Delta x_i \, \Delta y_i^3}{5} + \frac{x_i \, \Delta y_i^3}{4} \right) = \\ 
-& = \frac{x_{i+1} - x_i}{60} \left[ y_i^3 \left( 4 x_i + x_{i+1} \right) + y_{i+1}^3 \left( x_i + 4 x_{i+1} \right) + y_i^2 \, y_{i+1} \left( 3 x_i + 2 x_{i+1} \right)  + y_i \, y_{i+1}^2 \left( 2 x_i + 3 x_{i+1} \right) \right] 
-\end{align} $$ 
- 
- 
-   
-===== Sezioni sottili ===== 
- 
-Nel seguito riportiamo alcune formule per il calcolo di area, momenti statici e momenti di inerzia di sezioni sottili con spessore costante $t$. 
- 
-==== Sezioni sottili rettilinee ==== 
- 
-Si consideri una sezione rettilinea sottile in cui: 
-  * $t$ è la dimensione minore della sezione 
-  * $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$ sono le coordinate dei due estremi della sezione 
-  * $\Delta x = x_2 - x_1$ $\Delta y = y_2 - y_1$ sono rispettivament la differenza  
-  * $l = \sqrt{\Delta x ^2 + \Delta y ^2}$ è la lunghezza della sezione 
- 
-L'area della sezione è data da 
- 
-$$A = \iint \limits_{S} \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{0}^{l} t \; \mathrm{d}s = t \, l \int \limits_{0}^{1} \mathrm{d}\xi = t \, l$$ 
- 
-I momenti del primo ordine (momenti statici) sono dati da 
- 
-$$S_y = \iint \limits_{S} x \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{0}^{l} x(s) \, t \; \mathrm{d}s = t \int \limits_{0}^{1} \left ( x_1 + \Delta x \cdot \xi \right) \; \mathrm{d}\xi = t \, l \left( x_1 + \frac{\Delta x}{2} \right)$$ 
- 
-$$S_x = \iint \limits_{A} y \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \int \limits_{0}^{l} y(s) \, t \; \mathrm{d}s = t \int \limits_{0}^{1} \left ( y_1 + \Delta y \cdot \xi \right) \; \mathrm{d}\xi = t \, l \left( y_1 + \frac{\Delta y}{2} \right)$$ 
- 
-I momenti del second'ordine (momenti di inerzia) sono dati da 
- 
-$$I_{yy} = \iint \limits_{S} x^2 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{0}^{l} x(s)^2 \, t \; \mathrm{d}s = t \int \limits_{0}^{1} \left ( x_1 + \Delta x \cdot \xi \right)^2 \; \mathrm{d}\xi = t \, l \left( x_1^2 + x_1 \cdot \Delta x + \frac{\Delta x^2}{3} \right)$$ 
- 
-$$I_{xx} = \iint \limits_{S} y^2 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{0}^{l} y(s)^2 \, t \; \mathrm{d}s = t \int \limits_{0}^{1} \left ( y_1 + \Delta y \cdot \xi \right)^2 \; \mathrm{d}\xi = t \, l \left( y_1^2 + y_1 \cdot \Delta y + \frac{\Delta y^2}{3} \right)$$ 
- 
-$$I_{xy} = \iint \limits_{S} x \, y \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{0}^{l} x(s) \, y(s) \, t \; \mathrm{d}s = t \int \limits_{0}^{1} \left ( x_1 + \Delta x \cdot \xi \right) \left( y_1 + \Delta y \cdot \xi \right) \; \mathrm{d}\xi = t \, l \left( x_1 \cdot y_1 + \frac{x_1 \cdot \Delta y + y_1 \cdot \Delta x}{2} + \frac{\Delta x \cdot \Delta y}{3} \right)$$ 
- 
-I momenti del terzo ordine sono invece 
- 
-$$\iint \limits_{S} x^3 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{0}^{l} x(s)^3 \, t \; \mathrm{d}s = t \int \limits_{0}^{1} \left ( x_1 + \Delta x \cdot \xi \right)^3 \; \mathrm{d}\xi = t \, l \left( x_1^3 + \frac{3}{2} x_1^2 \, \Delta x + x_1 \, \Delta x ^2 + \frac{\Delta x^3}{4} \right)$$ 
- 
-$$\iint \limits_{S} y^3 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{0}^{l} y(s)^3 \, t \; \mathrm{d}s = t \int \limits_{0}^{1} \left ( y_1 + \Delta y \cdot \xi \right)^3 \; \mathrm{d}\xi = t \, l \left( y_1^3 + \frac{3}{2} y_1^2 \, \Delta y + y_1 \, \Delta y ^2 + \frac{\Delta y^3}{4} \right)$$ 
- 
-$$\iint \limits_{S} x y^2 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{0}^{l} x(s) y(s)^2 \, t \; \mathrm{d}s = t \int \limits_{0}^{1} \left ( x_1 + \Delta x \cdot \xi \right) \left( y_1 + \Delta y \cdot \xi \right)^2 \; \mathrm{d}\xi = \, $$ 
-$$ \, = t \, l \left( x_1 \, y_1^2 + x_1 \, y_1 \, \Delta y + \frac{1}{3} x_1 \, \Delta y ^2 + \frac{1}{2} y_1^2 \, \Delta x + \frac{2}{3} y_1 \, \Delta x \, \Delta y + \frac{1}{4} \Delta x \, \Delta y ^2\right)$$ 
- 
-$$\iint \limits_{S} x^2 y \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{0}^{l} x(s)^2 y(s) \, t \; \mathrm{d}s = t \int \limits_{0}^{1} \left ( x_1 + \Delta x \cdot \xi \right)^2 \left( y_1 + \Delta y \cdot \xi \right) \; \mathrm{d}\xi = \, $$ 
-$$ \, = t \, l \left( x_1^2 \, y_1 + x_1 \, y_1 \, \Delta x + \frac{1}{3} y_1 \, \Delta x ^2 + \frac{1}{2} x_1^2 \, \Delta y + \frac{2}{3} x_1 \, \Delta x \, \Delta y + \frac{1}{4} \Delta x^2 \, \Delta y \right)$$ 
- 
-Detta $\alpha$ l'inclinazione della dimensione maggiore rispetto all'asse $x$, i momenti d'inerzia baricentrici possono essere calcolati più semplicemente mediante le formule 
- 
-$$I_{G,xx} = \frac{1}{12} t l^3 sin^2 \alpha$$ 
- 
-$$I_{G,yy} = \frac{1}{12} t l^3 cos^2 \alpha$$ 
- 
-$$I_{G,xy} = \frac{1}{12} t l^3 \sin \alpha \cos \alpha$$ 
- 
-==== Archi di circonferenza ==== 
- 
-Si consideri una sezione sottile costituita da un arco di circonferenza in cui 
- 
-  * $R$ è il raggio dell'arco di cerchio 
-  * $t$ è lo spessore della sezione 
-  * $\alpha_i$ è l'angolo iniziale dell'arco, formato dal raggio iniziale e dall'asse X 
-  * $\alpha_f$ è l'angolo finale dell'arco, formato dal raggio finale e dall'asse X 
-  * $\Delta \alpha = \alpha_f - \alpha_i$ è l'angolo al centro su cui insiste l'arco 
- 
-L'area della sezione è data da 
- 
-$$A = \iint \limits_{S} \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} t \, R \; \mathrm{d}\alpha = t \, R \, \Delta \alpha$$ 
- 
-I momenti del primo ordine sono dati da 
- 
-$$S_{y} = \iint \limits_{S} x \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} \left( x_{c} + R \, \cos \alpha \right) t \, R \; \mathrm{d} \alpha = t \, R \left[ x_{C} \Delta \, \alpha + R \, \left( \sin \alpha_{f} - \sin \alpha_{i} \right) \right]$$ 
- 
-$$S_{x} = \iint \limits_{S} y \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} \left( y_{c} + R \, \sin \alpha \right) t \, R \; \mathrm{d} \alpha = t \, R \left[ y_{C} \Delta \, \alpha - R \, \left( \cos \alpha_{f} - \cos \alpha_{i} \right) \right]$$ 
- 
-I momenti del second'ordine sono dati da 
- 
-$$I_{yy} = \iint \limits_{S} x^2 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} \left( x_{C} + R \, \cos \alpha \right)^2 t \, R \; \mathrm{d} \alpha = t \, R \left[ x_C^2 \Delta \alpha + 2 x_C \, R \left( \sin \alpha_f - \sin \alpha_i \right) + R^2 \left( \frac{ \Delta \alpha }{2} + \frac{\sin 2 \alpha_f - \sin 2 \alpha_i }{4} \right) \right]$$ 
- 
-$$I_{xx} = \iint \limits_{S} y^2 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} \left( y_{C} + R \, \sin \alpha \right)^2 t \, R \; \mathrm{d} \alpha = t \, R \left[ y_c^2 \Delta \alpha - 2 R \, y_C \left( \cos \alpha_f - \cos \alpha_i \right) + R^2 \left( \frac{ \Delta \alpha }{2} - \frac{\sin 2 \alpha_f - \sin 2 \alpha_i }{4} \right) \right] $$ 
- 
-$$I_{xy} = \iint \limits_{S} x \, y \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} \left( x_{C} + R \, \cos \alpha \right) \left( y_{C} + R \, \sin \alpha \right) \, t \, R \; \mathrm{d} \alpha = \, $$ 
-$$ \, = t \, R \left[ x_C \, y_C \Delta \alpha - 2 R \, x_C \left( \cos \alpha_f - \sin \alpha_f \right) + 2 R \, y_C \left( \sin \alpha_f - \sin \alpha_i \right) - R^2 \frac{\cos 2 \alpha_f - \cos 2 \alpha_i }{4} \right]$$ 
- 
-I momenti del terz'ordine infine possono essere calcolati mediante 
- 
-$$\iint \limits_{S} x^3 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} \left( x_{C} + R \, \cos \alpha \right)^3 t \, R \; \mathrm{d} \alpha = \,$$ 
-$$\, = t \, R \left[ x_{C}^3 \Delta \alpha + 3 x_{C}^2 R \left( \sin \alpha_f - \sin \alpha_i \right) + 3 x_{C} \, R^2 \left( \frac{\Delta \alpha}{2} + \frac{\sin 2 \alpha_f - \sin 2 \alpha_i }{4} \right) + R^3 \left( \sin \alpha_f - \sin \alpha_i - \frac{\sin^3 \alpha_f - \sin^3 \alpha_i }{3} \right) \right] $$ 
- 
-$$\iint \limits_{S} y^3 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} \left( y_{c} + R \, \sin \alpha \right)^3 t \, R \; \mathrm{d} \alpha \,$$ 
-$$\, = t \, R \left[ y_{C}^3 \Delta \alpha - 3 y_{C}^2 R \left( \cos \alpha_f - \cos \alpha_i \right) + 3 y_{C} \, R^2 \left( \frac{\Delta \alpha}{2} - \frac{\sin 2 \alpha_f - \sin 2 \alpha_i }{4} \right) - R^3 \left( \cos \alpha_f - \cos \alpha_i - \frac{\cos^3 \alpha_f - \cos^3 \alpha_i }{3} \right) \right] $$ 
- 
- 
-$$\iint \limits_{S} x \, y^2 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} \left( x_{C} + R \, \cos \alpha \right) \left( y_{C} + R \, \sin \alpha \right)^2 t \, R \; \mathrm{d} \alpha =  t \, R  \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} \left( x_{C} + R \, \cos \alpha \right) \left( y_{C}^2 + 2 y_{C} \, R \, \sin \alpha + R^2 \, \sin^2 \alpha \right)\; \mathrm{d} \alpha = \,$$ 
-$$\, =  t \, R  \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} \left( x_{C} \, y_{C}^2 + 2 R \, x_{C} \, y_{C} \, \sin \alpha + R^2 \, x_{C} \, \sin^2 \alpha + R \, y_{C}^2 \, \cos \alpha + 2 y_{C} \, R^2 \, \sin \alpha \, \cos \alpha + R^3 \, \sin^2 \alpha \, \cos \alpha \right)\; \mathrm{d} \alpha $$ 
-$$\, = t \, R \left[ x_{C} \, y_{C}^2 \Delta \alpha - 2 R \, x_{C} \, y_{C} \left( \cos \alpha_f - \cos \alpha_i \right) + R^2 \, x_{C} \left( \frac{\Delta \alpha}{2} - \frac{\sin 2 \alpha_f - \sin 2 \alpha_i }{4} \right) + R \, y_{C}^2 \left( \sin \alpha_f - \sin \alpha_i \right) + y_{C} \, R^2 \left( \sin^2 \alpha_f - \sin^2 \alpha_i \right) + \frac{R^3}{3} \left( \sin^3 \alpha_f - \sin^3 \alpha_i \right) \right] $$ 
- 
-$$\iint \limits_{S} x^2 \, y \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} \left( x_{C} + R \, \cos \alpha \right)^2 \left( y_{C} + R \, \sin \alpha \right) \, t \, R \; \mathrm{d} \alpha = t \, R  \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} \left( x_{C}^2 + 2 R \, x_{C} \, \cos \alpha + R^2 \, \cos^2 \alpha \right) \left( y_{C} + R \, \sin \alpha \right) \; \mathrm{d} \alpha = \,$$ 
-$$\, = t \, R  \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} \left( x_{C}^2 \, y_{C} + 2 R \, x_{C} \, y_{C} \, \cos \alpha + R^2 \, y_{C} \, \cos^2 \alpha + R \, x_{C}^2 \sin \alpha + 2 R^2 \, x_{C} \, \sin \alpha \, \cos \alpha + R^3 \, \sin \alpha \, \cos^2 \alpha \right) \; \mathrm{d} \alpha $$ 
-$$\, = t \, R \left[ x_{C}^2 \, y_{C} \Delta \alpha + 2 R \, x_{C} \, y_{C} \left( \sin \alpha_f - \sin \alpha_i \right) + R^2 \, y_{C} \left( \frac{\Delta \alpha }{2} + \frac{\sin 2 \alpha_f - \sin 2 \alpha_i }{4} \right) - R \, x_{C}^2 \left( \cos \alpha_f - \cos \alpha_i \right) +  R^2 \, x_{C} \left( \sin^2 \alpha_f - \sin^2 \alpha_i \right) - \frac{R^3}{3} \left( \cos^3 \alpha_f - \cos^3 \alpha_i \right) \right] $$ 
- 
-Supponendo che il centro dell'arco coincida con l'origine del sistema di riferimento, le formule si semplificano 
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-$$S_x = - t \, R^2 (\cos \alpha_f - \cos \alpha_i)$$ 
- 
-$$S_y = t \, R^2 (\sin \alpha_f - \sin \alpha_i)$$ 
- 
-$$I_{xx} = t \, R^3 \left( \frac{\Delta \alpha}{2} - \frac{\sin 2 \alpha_f - \sin 2 \alpha_i}{4} \right)$$ 
- 
-$$I_{yy} = t \, R^3 \left( \frac{\Delta \alpha}{2} + \frac{\sin 2 \alpha_f - \sin 2 \alpha_i}{4} \right)$$ 
- 
-$$I_{xy} = - t \, R^3 \frac { cos 2 \alpha_f - cos 2 \alpha_i }{4} $$ 

scienza_costruzioni/geometria_delle_aree_formule.1437037964.txt.gz · Ultima modifica: 2021/06/13 13:07 (modifica esterna)

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